江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高一上学期期中数学试题（含答案）

苏州市吴江区2020-2021学年第一学期期中试卷
高一数学
一､选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 已知集含，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数，则等于（ ）
A. 0 B. C. 3 D.
4. 若a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. “，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 对，用表示，中较大者，记为，若，则的最小值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 4
7. 有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L，则值为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数满足，若函数的图像与的图像有4个交点，分别为，，，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2a
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 下列函数中，对，满足的是（ ）
A. B. C. D.
10. 记全集为U，在下列选项中，是的充要条件的有（ ）
A. B. C. D.
11. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A. xy最大值为 B. 的最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为4
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程无解 B. 的最小值为2
C. 图像关于对称 D. 的单调递增区间为和
三､填空题：(本题共4小题，每题5分，共20分
13. 命题“，”的否定为_____.
14. 函数对∀x∈R，有f(x)+f(x)=0，则实数a的值为_____.
15. 图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是______；图③的建议是_____.

16. 已知，，则的最小值为_____.
四､解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 幂函数过点.
（1）求的值，并证明在是增函数；
（2）幂函数是偶函数且在是减函数，请写出的一个表达式（直接写结果，不需要过程）.
18. 设全集为R，，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的___________条件，求实数a的取值范围.
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题.
19. 已知
（1）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）解关于x不等式.
20. 某居住小区为了居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地面，造价为210元，再在四个空角上铺草坪，造价为80元．


（1）设总造价为S元，AD长为，试建立S关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，总造价S最小？并求出这个最小值．
21. 已知函数.

（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图像，并根据图像写出函数的单调区间；
（2）设函数在上的最小值为.
①求的表达式；
②若，求的最大值.
22. 已知函数.
（1）若在上，使得成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数在区间上最大值是5，求a的取值范围




苏州市吴江区2020-2021学年第一学期期中试卷
高一数学
一､选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 已知集含，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据Venn图表示的集合运算结果求解．
详解】图中阴影部分表示，，
∴．
故选：B．
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可判断“”能否证得“”，然后判断“”能否证得“”，即可得出结果.
【详解】当时，集合，满足，
故“”可以证得“”， “”是“”的充分条件，
若，则的值为、都可，
故“”不是“”的必要条件，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出若则，如果可以证得，则说明是的充分条件，如果可以证得，则说明是的必要条件，考查推理能力，是中档题.
3. 已知函数，则等于（ ）
A. 0 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
整体代换，令，代入计算．
【详解】令，则，∴．
故选：A．
4. 若a，b，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断，可举反例说明不等式不一定成立．
【详解】A不一定成立，如，；
B一定成立，∵由已知因此有；
C不一定成立，若，则；
D不一定成立，如，．
故选：B．
5. “，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将分离，可得，令，只需 ，再求即可求解.
【详解】由，可得：，
令 ，只需 ，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，
故选：A
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
6. 对，用表示，中较大者，记为，若，则的最小值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义求出的表达式，然后根据单调性确定最小值．
【详解】由解得：或，
的解集为或，的解为，
∴，

∴时，是减函数，时，是增函数，
∴．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是确定新定义函数的解析式，根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式，然后根据分段函数研究新函数的性质．
7. 有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出队伍前进的总时间，传令兵从队尾到队头的时间和从队头到队尾的时间，利用传令兵往返总时间与队伍前进时间相等即可得出，进而求解.
【详解】由题可得队伍前进的总时间为，传令兵从队尾到队头的时间为，从队头到队尾的时间为，
由传令兵往返总时间与队伍前进时间相等可得，
整理可得，
即，解得（舍去）或，
.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用传令兵往返总时间与队伍前进时间相等建立方程求解.
8. 已知函数满足，若函数的图像与的图像有4个交点，分别为，，，，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2a
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得两个函数都关于对称，则可判断交点也关于对称，即可列出式子求出结果.
【详解】函数满足，关于对称，
也关于对称，
两个函数的交点关于对称，
不妨设和，和对称，
，则，
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题的关键是通过关系式或函数解析式判断出函数图象都关于对称，继而利用交点对称求出结果.
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 下列函数中，对，满足的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
求出每个选项中函数的定义域，对每个选项中的函数的解析式是否满足进行验证，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，该函数的定义域为，则，合乎要求；
对于B选项，，该函数的定义域为，则，不合乎要求；
对于C选项，，该函数的定义域为，则，合乎要求；
对于D选项，，该函数的定义域为，不合乎要求.
故选：AC.
10. 记全集为U，在下列选项中，是的充要条件的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
画出Venn图，通过Venn观察各选项可得．
【详解】，用图表示：

等价的只有AD．
故选：AD．
11. 已知x，y是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A. xy最大值为 B. 的最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为4
【答案】AB
【解析】
【分析】
选项ABC直接利用基本不等式求解即可；选项D将原式乘以后展开，利用基本不等式求解.
【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，由选项A得，则，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，又x，y是正数，故等号不成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.
故选：AB.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程无解 B. 的最小值为2
C. 的图像关于对称 D. 的单调递增区间为和
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，利用可判断；对于B，取可判断；对于C，证明即可判断；对于D，利用导数求出单调递增区间可判断.
【详解】对于A，要使，则，即，，故方程无解，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，所以的图像关于对称，故C正确；
对于D，，令，解得或，故的单调递增区间为和，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查函数性质的应用，C选项可通过来判断对称性，D选项通过导数求解更为的便捷.
三､填空题：(本题共4小题，每题5分，共20分
13. 命题“，”的否定为_____.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】因为特称命题的否定为全称命题，
则命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
14. 函数对∀x∈R，有f(x)+f(x)=0，则实数a的值为_____.
【答案】
【解析】
分析】
根据已知得函数为奇函数，利用奇函数定义求解．
【详解】∵，娵，∴为奇函数，
∴时，，则，∴．
故答案为：．
15. 图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是______；图③的建议是_____.

【答案】 (1). 增加票价，运营成本不变 (2). 票价不变，降低运营成本
【解析】
【分析】
由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，根据图②③中的斜率截距变化即可得出.
【详解】由图①可以看出，直线的斜率的实际意义是票价，在y轴上的截距的相反数表示运营成本，
图②中，直线的斜率增加，在y轴上的截距不变，即表示增加票价，运营成本不变，
图③中，直线斜率不变，直线的截距增加，即表示票价不变，降低运营成本.
故答案为：增加票价，运营成本不变；票价不变，降低运营成本.
16. 已知，，则的最小值为_____.
【答案】．
【解析】
【分析】
由已知条件凑配出积为定值，，由基本不等式可得最小值．
【详解】∵，，∴，，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
四､解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 幂函数过点.
（1）求的值，并证明在是增函数；
（2）幂函数是偶函数且在是减函数，请写出的一个表达式（直接写结果，不需要过程）.
【答案】（1），证明见解析；（2）（答案不唯一）.
【解析】
【分析】
（1）将点代入函数的解析式，可求得的值，可得出，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）根据幂函数的基本性质可写出符号条件的函数的一个解析式.
【详解】（1）把点代入，得，解得，所以，
任取、，且，
则
因为，所以，所以，所以，
即，
所以在是增函数；
（2）（答案不唯一）.
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，其步骤如下：
（1）取值，规定大小关系；
（2）作差变形，因式分解；
（3）判断各因式的符号，进而判断差值符号；
（4）下结论.
18. 设全集为R，，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的___________条件，求实数a的取值范围.
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题.
【答案】（1），或；（2）选择①，；选择②，；选择③，无解.
【解析】
【分析】
（1）先求出集合A，B，再根据交集补集的定义即可求出；
（2）选择①，则AÜB，分和两种情况讨论；选择②，则BÜA，则，解出即可；选择③，则，可得实数无解.
【详解】（1）时，，
因为，解得，所以，
所以，或.
（2）若选择①充分不必要条件作答，则AÜB，
当时，，即时，满足AÜB，
当时，则，不等式无解，
综上，的取值范围为.
若选择②必要不充分条件，则BÜA，
所以，解得，
综上，的取值范围为；
若选择③充要条件，则，实数无解.
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分、必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
19. 已知.
（1）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由函数的零点的定义，结合二次函数图象的性质列出不等式组，求解即可；
（2）将化简为，讨论的大小关系，从而得出该不等式的解集.
【详解】（1）因为在上有两个不相等的实数根
所以
解得.
所以实数的取值范围为
（2）不等式，即，等价于
当，即时，，不等式无解；
当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为
综上，当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
当时，不等式解集为
【点睛】在解不等式时，关键是讨论的大小关系，利用一元二次不等式的解法进行求解.
20. 某居住小区为了居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地面，造价为210元，再在四个空角上铺草坪，造价为80元．


（1）设总造价为S元，AD长为，试建立S关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，总造价S最小？并求出这个最小值．
【答案】（1）（）；（2）当，总造价S最小为118000元.
【解析】
【分析】
（1）设，由面积关系和造价即可求出关系式；
（2）利用基本不等式即可求出.
【详解】（1）设，则，
，
，
（）；
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
当，总造价S最小为118000元.
【点睛】本题考查函数关系的建立，考查基本不等式的应用，属于基础题.
21. 已知函数.

（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图像，并根据图像写出函数的单调区间；
（2）设函数在上的最小值为.
①求的表达式；
②若，求的最大值.
【答案】（1）图象见解析，增区间，减区间；（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）时，，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；
（2）①时，，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；
②时，，根据单调性即可求出.
【详解】（1）时，，函数图象如图:

增区间；减区间.
（2）①因为，
所以.
若，即时，在上单调递增，
所以；
若，即时，
在上递减，在上递增，
所以；
若，即时，在上单调递减，
所以，
综上；
②时，，
因为在单调递增，
所以在单调递增，
所以的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数最值的求解以及函数最值问题，解题的关键是讨论二次函数对称轴的位置，再结合二次函数的单调性求解，对于函数最值问题，解题的关键是求出函数的单调性，利用单调性求出最值.
22. 已知函数.
（1）若在上，使得成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数在区间上的最大值是5，求a的取值范围
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）用单调性定义证明在上递减，在上递增．然后求得在上的取值范围，从而得的最大值，即得的范围；
（2）设，得，不等式可变形为，求出在时的最小值即可得的范围；
（3）时，，然后分类讨论，，，求得最大值，由最大值为5得的范围．
【详解】（1）设，且，
则.
因，且，
所以
所以在单调递减.
同理，在单调递增
所以，
所以，
所以，
因为，使得成立，
只需
所以.
（2）设，则
由题意对恒成立，
所以.
因为；
在时有最小值，
所以
（3）因为，
所以.
①当时，
所以的最大值，
即(舍去)
②当时，，
此时命题成立.
③当时，
则或
解得或
综上，实数的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立与能成立问题，考查分类讨论求函数的最大值．
（1）不等式恒成立；
（2）存在，使得成立；
（3），在上单调递减，在上单调递增．