2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．（5分）设有下面四个命题：

，；

，；

，；

，．

其中真命题为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知角终边上一点的坐标为，则的值为　　

A． B． C． D．

3．（5分）对于集合，，我们把集合且叫作集合与的差集，记作．若，，则为　　

A． B． C． D．

4．（5分）下列四个函数中，以为最小正周期且在区间，上单调递增的函数是　　

A． B． C． D．

5．（5分）“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价，第二次降价；乙平台两次都降价（其中，则两个平台的降价力度　　

A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．大小不能确定

6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）若为第二象限角，则化简为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）已知幂函数的图象经过点，则　　

A．的定义域为， B．的值域为， 

C．是偶函数 D．的单调增区间为，

10．（5分）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点　　

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 

B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍 

C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度 

D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度

11．（5分）已知实数，，满足，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数，则　　

A．函数的值域是，1， 

B．函数是周期函数 

C．函数的图象关于对称 

D．方程只有一个实数根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）函数的定义域为　　．

14．（5分）关于的方程的唯一解在区间，内，则的值为　　．

15．（5分）已知，为正实数，且，则的最小值为　　．

16．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为，按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数的函数关系式是　　，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的，则可以推测该生物的死亡时间距今约　　年．（参考数据：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．

已知角为锐角，_____．

（1）求角的大小；

（2）求的值．

18．（12分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数，，的图象经过点，，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．

（1）求的解析式；

（2）求在，上的单调增区间．

20．（12分）已知定义在上的函数．

（1）若是奇函数，求函数的零点；

（2）是否存在实数，使在上调递减且在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：、百公里耗油量（单位：与速度（单位：的数据关系如表：

为描述与的关系，现有以下三种模型供选择，，．

（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是，，，，，（单位：，问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时最小？

22．（12分）已知函数和的定义域分别为和，若足对任意，恰好存在个不同的实数，，，使得（其中，2，，，，则称为的“重覆盖函数．”

（1）判断，是否为，的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．

（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；

（3）若，为的“重覆盖函数”（其中，请直接写出正实数的取值范围（用表示）（无需解答过程）．

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．【解答】解：设有下面四个命题：

对于，不成立，故该命题为假命题；

，当时，，故该命题为假命题；

，，该命题为真命题；

，由于中△，故不存在实根，故该命题为假命题；

故选：．

2．【解答】解：由题意，点到原点的距离是，

故

故选：．

3．【解答】解：集合，

，

．

故选：．

4．【解答】解：函数的周期为，又，，则，

所以在区间，上不是单调递增，故选项错误；

函数的周期为，故选项错误；

函数的周期为，且在区间，上单调递增，故选项正确；

函数的周期为，故选项错误．

故选：．

5．【解答】解：由题意可知，

甲平台的降价力度为：，乙平台的降价力度为：，

作差得：，

所以乙平台的降价力度大，

故选：．

6．【解答】解：由图象可知，函数是偶函数，则为奇函数，则图象关于原点对称，排除，，

在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除，

故选：．

7．【解答】解：为第二象限角，，

原式．

故选：．

8．【解答】解：函数，

当时，，

当时，，

当时，，

作出函数的图象可知，

当时，函数有3个不同的零点．

，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．【解答】解：设幂函数，

过点，

，，

，

故函数的定义域是，，正确，错误，

值域是，，正确，正确，

故选：．

10．【解答】解：把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得的图象；

再将横坐标变为原来的倍，可得的图象．

或把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到的图象；

再向左平移个单位长度，可得的图象．

故选：．

11．【解答】解：因为实数，，满足，

则函数为单调递增函数，所以，故选项正确；

不妨取，则，，所以，故选项错误；

不妨取，则，，所以，故选项正确；

因为和所对应的角是哪一个象限角不确定，故和无法比较大小，故选项错误．

故选：．

12．【解答】解：，

所以是偶函数，而不是周期函数，为周期函数，

对于，当时，，

当时，，

所以，，，，，

故正确，由是偶函数，则为偶函数，

时，成周期性，但起点为，所以在上不是周期函数，故不正确；

函数的图象关于对称，不关于对称，故不正确；

，当时，，当时，，与只有交点即方程只有一个实数根，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【解答】解：要使函数的解析式有意义，

自变量须满足：

解得：．

故函数的定义域为，

故答案为，

14．【解答】解：设，

，，

，所以．

由零点定理知，在区间，内一定有零点，所以．

故答案为：2．

15．【解答】解：因为，为正实数，且，

所以，当且仅当时取等号，

解得，或（舍，

则的最小值为6．

故答案为：6．

16．【解答】解：由题意知，，

当时，有，即，

，

，

可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．

故答案为：；3820．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：若选择条件①，

（1）由于，可得，可得，即，

因为为锐角，

可得；

（2）．

若选择②，

（1）由于，，可得，解得，或（舍去），

因为为锐角，可得．

（2）．

若选择③，

（1）因为，可得，或，

因为为锐角，，可得，可得；

（2）．

18．【解答】解：由题意得，，．

（1）时，，

．

（2）因为，，若是的必要不充分条件，

则，所以，

解之得，

所以实数的取值范围是，．

19．【解答】解：（1）由题意可得，，所以，

所以，

又图象经过点，，

所以，即，

因为，所以，

所以．

（2）令，，

解得，，

再根据，，可得函数的单调增区间为，，，．

20．【解答】解：（1）因为是奇函数，所以，

即，可得，

所以，

令，

即，

所以，解得，

即函数的零点为．

（2）当时，函数在上单调递增，不符合题意；

当时，令，当时，，当时，，

因为在上单调递减且在上单调递增，

所以在上单调递减且在上单调递增，

所以，

解得，

故存在实数，使在上单调递减且在上单调递增．

21．【解答】解：（1）填表如下：

由题意可得符合的函数模型需满足在时，都可取，三种模型都满足，

且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，

若选择第二种模型，代入，，

得，解得，

则，此时，，，

与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，

经观察，第三种函数模型最符合实际，代入，，，

则，解得，

．

（2），

当时，取得最小值9，

所以该型号汽车应在外侧车道以的速度行驶时最小．

22．【解答】解：（1）因为，，，，

则对，，个不同的实数，，，，使得，2，，，

即，，则，，

所以对于，，都能找到一个，使，

所以是的“重覆盖函数”，故；

（2）因为，其定义域为，

即对，存在2个不同的实数，，使得，，

即，

即对任意，要有两个实根，

当时，已有一个根，

故只需时，仅有一个根，

①当时，，有一个根；

②当时，则必须满足（1），解得；

③当时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；

综上可得，实数的取值范围为．；

（3）正实数的取值范围为．

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日期：2021/4/10 17:46:42；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394