江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

江苏省吴江2020-2021学年高一下学期期中数学试题

一、单选题（共8题；共40分）

1. 下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角.其中正确命题的个数是（    ）

A. 1个  B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

3.已知函数，为其图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

4.欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（    ）

A. 1 B. 0 C. -1 D.

5.甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

6.已知，且，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

7.在中，角，，所以对的边分别为，，，若，的面积为，，则（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或3

8.已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（    ）

A. -4 B. -1 C. 1 D. 4

二、多选题（共4题；共20分）

9.已知复数的实部与虚部之和为-2，则的取值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

10.在中，.若，则的值可以等于（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

11.甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（    ）

A. 甲楼的高度为  B. 甲楼的高度为

C. 乙楼的高度为 D. 乙楼的高度为

12.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 最小正周期是  B. 是偶函数

C. 在上递增 D. 是图象的一条对称轴

三、填空题（共4题；共20分）

13.定义运算，则符合条件的复数对应的点在第________象限.

14.在中，，，若，，则的取值范围为________.

15.若函数的图象关于点对称，则实数__________.

16.在中，角，，的对边，，为三个连续偶数，且，则__________，最大角的余弦值为__________.

四、解答题（共6题；共70分）

17.已知，向量，.

（1）若向量与平行，求的值；

（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.

18.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.

（1）求和的值；

（2）若，求的值.

19.在中，角，，的对边分别是，，，且.

（1）若，，求的值；

（2）求的取值范围.

20.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）若，，求；

（2）求的取值范围.

21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足.

（1）求证：、、三点共线；   

（2）已知、，，的最小值为5，求实数的值.

22.如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶.

（1）求山的高度；

（2）现山顶处有一塔从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为（）若点处高度，则为何值时，视角最大？

答案解析部分

一、单选题（共8题；共40分）

1.【答案】 B  

【考点】象限角、轴线角，弧度制、角度制及其之间的换算   

【解析】【解答】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；

对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误；

对于③：显然是第一象限角.故③错误；

对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④错误；

对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；

对于⑥：因为，所以，是第四象限角.故⑥正确.

综上，①⑥正确.

故选：B.

【分析】利用象限角的判断方法结合角度制与弧度制的互化方法，进而结合已知条件找出正确命题的个数.

2.【答案】 D  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义   

【解析】【解答】解：设，则，

因为，

所以，

所以在如图所示有阴影上，

因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，

所以的最大值为.

故选：D.

【分析】设，再利用复数的加法运算法则结合复数的模求解公式，进而结合已知条件因为，推出，再利用复数的模的几何意义，得出表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，再结合几何法求出的最大值.

3.【答案】 D  

【考点】函数的单调性及单调区间，图形的对称性   

【解析】【解答】因为为图象的对称中心，所以，

因为，是该图象上相邻的最高点和最低点，，

所以，∴，，

因此，

∵，∴，

∴，

有，，

化简得，.

故选：D.

【分析】因为为图象的对称中心，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，所以，因为、是该图象上相邻的最高点和最低点，，所以，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而结合的取值范围求出的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递增区间.

4.【答案】 C  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，运用诱导公式化简求值   

【解析】【解答】根据，

可知.

故选：C.

【分析】利用欧拉公式结合代入法和诱导公式，进而求出的值.

5.【答案】 C  

【考点】余弦定理的应用   

【解析】【解答】如图，

行驶半小时后，设甲船到达，乙船到达，依题意可知，

，且，在中，由余弦定理得：

，

所以，，即半小时后，两船的距离是.

故选：C.

【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出行驶半小时后两船的距离.

6.【答案】 A  

【考点】两角和与差的正切公式   

【解析】【解答】∵，，

∴，

∴，

∵，，，

∴，，

∴，

∴.

故选：A.

【分析】利用已知条件结合角之间的关系式，再利用两角和的正切公式，进而求出角的正切值，再利用角之间的关系式结合两角和的正切公式，进而求出的值，再利用，，，从而结合不等式的基本性质，进而求出角的取值范围，从而选出满足要求的角的值.

7.【答案】 D  

【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算   

【解析】【解答】由，由正弦定理得，又，

得，得，得，又，得，

则，则，由余弦定理，

得，得或.

故选：D.

【分析】利用已知条件结合正弦定理，和三角形面积公式，得出的值，再利用，进而求出的值，再结合代入法求出角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出角的余弦值，再结合余弦定理，进而求出的值.

8.【答案】 B  

【考点】平面向量数量积的运算   

【解析】【解答】.

【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，进而结合数量积的定义，从而求出数量积的值.

二、多选题（共4题；共20分）

9.【答案】B，C

【考点】复数的基本概念

【解析】【解答】由题得，

所以，

所以，

所以或，

因为，

所以，，.

故选：BC

【分析】利用已知条件复数的实部与虚部之和为-2，再结合复数的实部与虚部的定义，得，再利用二倍角的余弦公式，进而解一元二次方程求出角的余弦值，再利用角的取值范围，进而求出满足要求的角的值.

10.【答案】A，D  

【考点】两角和与差的正弦公式，运用诱导公式化简求值，正弦定理   

【解析】【解答】因为，

所以，

在中，因为，

所以，

即，

解得或，

当时，因为，

所以，，，

，，，

当时，由正弦定理得：，

所以，

综上所述：或.

故选：AD

【分析】利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式和两角和的正弦公式，进而推出，在中，因为，所以，解得或，再利用分类讨论的方法结合已知条件，再结合正弦定理，进而求出的值.

11.【答案】A，C  

【考点】余弦定理的应用   

【解析】【解答】如图示，

在中，，，

∴，

在中，设，

由余弦定理得：，即，

解得：，

则乙楼的高度分别为.

故答案为：AC

【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出甲楼和乙楼的高度.

12.【答案】A，B，C  

【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，三角函数的周期性及其求法，图形的对称性   

【解析】【解答】

.

对选项A，，故A正确.

对选项B，，，

所以是偶函数，故B正确.

对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确.

对选项D，或，故D错误.

故选：ABC

【分析】利用同角三角函数基本关系式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，将函数转化为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式求出余弦型函数的最小正周期，再利用偶函数的定义判断出余弦型函数为偶函数，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图像判断出余弦型函数在给定区间的单调性，再结合余弦函数的图像求出余弦型函数得一条对称轴，从而选出说法正确的选项.

三、填空题（共4题；共20分）

13.【答案】 二  

【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算   

【解析】【解答】解：由题意将，化简得，

，

所以，

所以复数对应的点在第二象限.

故答案为：二.

【分析】利用定义运算，结合已知条件，化简得，再利用复数的乘除法运算法则求出复数，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数的共轭复数，再利用复数的几何意义，进入求出共轭复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限.

14.【答案】

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【解析】【解答】∵，，

∴，

∵，∴，

∴，即，

∴，

设，则，代入得：

，整理得：，

要使关于的方程有根，只需，

解得：，

所以的取值范围为.

故答案为：.

【分析】利用已知条件结合数量积的定义，得出的值，再利用已知条件结合数量积的运算法则，得出，设，则，代入，整理得，要使关于的方程有根结合判别式法，进而求出的取值范围，从而求出的取值范围.

15.【答案】 3  

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，图形的对称性   

【解析】【解答】由题得，

所以，

所以，

当时，函数的图象关于点对称.

故答案为：3.

【分析】利用函数的图象关于点对称，得，进而求出的值.

16.【答案】8；

【考点】正弦定理，余弦定理   

【解析】【解答】解：设，，分别为，，，

因为，所以，即，

由正弦定理得，

所以，化简得，

所以，

化简，整理得，解得或（舍去），

所以，，，

所以角最大，

所以.

故答案为：8，.

【分析】 在中，因为角，，的对边，，为三个连续偶数，所以设，，分别为，，，因为，所以，再结合二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，化简得，所以，化简整理得，进而求出的值，从而求出，，的值，再利用大边对应大角，所以角最大，再利用余弦定理求出角的余弦值.

四、解答题（共6题；共70分）

17.【答案】（1）解：由向量，，

所以，

又与平行，所以，

解得或.

（2）解：若向量与的夹角为锐角，

则，

解得；

由（1）知，当时，与平行，

所以的取值范围是.

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积表示两个向量的夹角

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和共线向量的坐标表示，进而求出的值.

（2）利用数量积求向量夹角公式结合向量与的夹角为锐角，则，从而求出的取值范围，由（1）知，当时，与平行，从而求出实数的取值范围.

18.【答案】（1）解：∵图象相邻两个最高点的距离为，

∴的最小正周期为，

∴，又解得：.

∵的图象关于直线对称，

∴，又，解得：.

（2）解：由（1）知，，

∴，所以.

因为，所以，

所以，

所以

.

【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，图形的对称性，同角三角函数间的基本关系

【解析】【分析】(1)利用函数图象相邻两个最高点的距离为，从而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再利用函数图象关于直线对称结合的取值范围，进而求出的值.

（2）由（1）知函数的解析式为，再结合代入法得出，再利用角的取值范围结合同角三角函数基本关系式，进而求出的值 ， 再利用角之间的关系式结合两角差的余弦公式，进而求出的值.

19.【答案】（1）解：∵，，∴，即.

又，由余弦定理得：，

∴，

配方得：，

所以.

（2）解：∵，∴，∴，

∴

，

∵，

∴，

∴的取值范围是.

【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，余弦定理

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的定义，进而求出的值，再利用余弦定理结合配方法，进而求出的值.

（2）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，得出，再利用两角差的正弦公式结合三角形这角的取值范围，进而结合余弦型函数的图像，从而求出的取值范围.

20.【答案】（1）解：由，得，得，得，

在，∴，

由余弦定理，

得，

即，解得或.

当时，，，即为钝角（舍），

故符合.

（2）解：由（1）得 ，

所以，

∴，

∵为锐角三角形，∴，∴，

∴，

∴，

故的取值范围是.

【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角的余弦值，再利用三角形中角的取值范围，进而求出角的值，再利用余弦定理，进而求出的值，再利用分类讨论的方法，进而找出满足要求的的值.

（2）由（1）得，再利用三角形内角和为180度的性质，所以，再利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式，从而得出，再利用三角形为锐角三角形，从而求出角的取值范围，再结合正弦型函数的图像，进而求出的取值范围.

21.【答案】（1）证明：因为，

所以，又与有公共点，

所以，，三点共线.

（2）解：因为，，

所以，，

故，，

从而

，

关于的二次函数的对称轴为，

因为，所以，又区间的中点为.

①当，即时，当时，，

由得或，又，所以；

②当，即时，当时，，

由得，又，所以.

综上所述：的值为-3或.

【考点】向量的共线定理，平面向量的坐标运算，数量积的坐标表达式，三点共线

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则，得出，再结合向量共线定理，所以，又因为与有公共点，所以，，三点共线.

（2）利用已知条件结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再结合平面向量基本定理结合向量的坐标运算，得出，，再利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，得出，，从而结合同角三角函数基本关系式，进而求出函数的解析式，再利用二次函数的图像求最值的方法结合分类讨论的方法，进而求出函数的最小值，再结合函数的最小值为5，进而求出的值.

22.【答案】（1）解：因为，为锐角，所以，，

所以

，

在中，过作于，

因为，

所以，

在中，，

所以山的高度为.

（2）解：过作于，因为，所以，

因为在上，，所以，

所以，，

所以

，，

令，则，

所以，

当且仅当，即，时，取得最大值，

所以当时，视角最大.

【考点】两角和与差的正切公式，三角函数模型的简单应用   

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再利用角为锐角，进而求出，，再利用角之间的关系式结合两角差的余弦公式，进而求出的值，在中，过作于，因为， 再利用余弦函数的定义，进而求出的长， 在中结合余弦函数的定义，进而求出的长，从而求出山的高度.

（2）过作于，因为，所以，因为在上，，所以，再利用正切函数的定义求出，的值，再利用两角差的正切公式，进而求出，，令，则，从而结合均值不等式求最值的方法，进而求出当，时，取得最大值，所以当时，视角最大.