2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．（5分）已知，，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）关于的不等式的解集为　　
A．， B．，
C．，， D．，
3．（5分）设等差数列的前项和为，公差，且，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）若不等式的解集为，则的值为　　
A． B．0 C． D．1
5．（5分）已知等比数列中，，，则　　
A． B． C．2 D．4
6．（5分）已知在数列中，，则的值为　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．9
8．（5分）已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.
9．（5分）下列说法正确的有　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充要条件
10．（5分）已知等差数列的前项和为，且，，则　　
A．
B．当且仅当时，取得最大值
C．
D．满足的的最大值为12
11．（5分）已知，均为正实数，且，则　　
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最大值为 D．的最大值为4
12．（5分）对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有　　
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.
13．（5分）命题“，”的否定是　　．
14．（5分）在等比数列中，已知，则的值为　　．
15．（5分）已知，，，则的最小值为　　．
16．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为　　，此数列的通项公式　　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，②的对称轴为，③（1）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．
已知二次函数，若_____，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围．
18．（12分）已知数列是公比的等比数列，若，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求满足条件的自然数的最小值．
19．（12分）已知数列中，，且满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：对于数列，的充要条件是．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为，到河两岸距离，相等，，分别在两岸上，．为方便游客观赏，拟围绕区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即的周长）为．设百米．
（1）试用表示线段的长度；
（2）求关于的函数解析式，并求的最小值．

22．（12分）已知数列为等差数列，公差为，前项和为．
（1）若，，求的值；
（2）若，中恰有6项在区间内，求的取值范围；
（3）若，，集合，问能否在集合中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列，使得此新数列满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：数叫作数和数的调和平均数）．

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．（5分）已知，，则　　
A． B． C． D．
【分析】由不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：若，则，故错误；
若，，则，，故错误；
，，取，，，，则，故错误；
，由，可得，
所以，即，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
2．（5分）关于的不等式的解集为　　
A．， B．，
C．，， D．，
【分析】根据题意，原不等式变形可得或，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，或，
解可得：或，
即不等式的解集为或；
故选：．
【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．
3．（5分）设等差数列的前项和为，公差，且，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先根据求和公式和等差数列的性质可得，即可求出．
【解答】解：由，且，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．
4．（5分）若不等式的解集为，则的值为　　
A． B．0 C． D．1
【分析】不等式的解集是，故，2是方程的两个根，由根与系数的关系求出，．
【解答】解：由题意不等式的解集是，故，2是方程的两个根，
，
，

故选：．
【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．
5．（5分）已知等比数列中，，，则　　
A． B． C．2 D．4
【分析】设等比数列的公比为，由，，可得，解得．又，解得．利用通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列的公比为，，，
，解得．
又，解得．
则．
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）已知在数列中，，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．
【解答】解：数列中，，所以，
所以，
所以，
故．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
7．（5分）已知，，，则的最小值为　　
A． B． C． D．9
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由，，，可得，
则，
当且仅当且即，时取等号，
故选：．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
8．（5分）已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【分析】根据函数为递减数列可得，分类讨论，根据数列的函数特征即可求出．
【解答】解：数列是单调递减数列，
则，
当为偶数时，，即，
由于为递增数列，则数列的最小值20，
，
即，
当为奇数时，，即，
由于为递减数列，则数列的最大值，
，
，
综上所述实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了数列的函数特征，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.
9．（5分）下列说法正确的有　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充要条件
【分析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．
【解答】解：．“” “”，反之不成立，因此“”是“的充分不必要条件，正确；
．“”与“”相互推不出，因此“”是“”的既不充分又不必要条件，正确；
．“” “”，反之不成立，因此“”是“”的必要不充分条件，正确；
．“” “”，反之不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，因此不正确．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）已知等差数列的前项和为，且，，则　　
A．
B．当且仅当时，取得最大值
C．
D．满足的的最大值为12
【分析】利用通项公式可得：．根据，可得，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．
【解答】解：，
，
，
，
，
为递减数列，
，
由，，解得，
数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，
，当或7时，取得最大值，故正确，错误；
，，
，故正确；
，
解得，
满足的的最大值为12，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知，均为正实数，且，则　　
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最大值为 D．的最大值为4
【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，均为正实数，且，
由可得，，当且故正确；
由，当且仅当时取等号，
所以在，上单调递减，当时取得最小值，错误；
，
故即时取等号，正确；
，
当且仅当即时取等号， 正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是性质的熟练掌握．
12．（5分）对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有　　
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
【分析】对于，根据函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，即可判断；
对于，设，通过数列的递推关系可得数列是以2为周期的周期数列，
对于，若，分了为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．
【解答】解：对于：函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，
可知数列数列单调递增，则数列不是单调递增，例如：，则，，故错误；
对于：数列是常数列，可设，则，
，
数列不是常数列，
，
，
整理可得，
，
数列是以2为周期的周期数列，故正确；
对于，若，则，
①当为偶数时，且单调递增，
，
，且数列单调递增，此时，
①当为奇数时，且单调递减，
，
，且数列单调递减，此时，
综上所述列既有最大值，也有最小值，故错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查了新定义数列的问题，解决问题的关键是明确新定义的相关命题实际考查了数列的单调性和周期性的问题，尤其是对于数列中的项的最值问题，需要通过数列的单调性来确定，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.
13．（5分）命题“，”的否定是　，　．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题“，”的否定是，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．（5分）在等比数列中，已知，则的值为　100　．
【分析】根据等比数列的性质即可求出．
【解答】解：，
故答案为：100．
【点评】本题考查了等比数列的性质，属于基础题．
15．（5分）已知，，，则的最小值为　6　．
【分析】由于要求的最小值，故在解题时注意把看为一个整体，需将已知方程中的利用基本不等式转化为的形式．
【解答】解：由于，，，
则，
，
当且仅当时，取“”
则此时，
由于，，解得，
故
故答案为6．
【点评】本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题，属于基础题，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．
16．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为　180　，此数列的通项公式　　．
【分析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．
【解答】解：根据前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，
则奇数项为：，，，，，，
偶数项为：，，，，，，
所以第19项为：．
所以数列的通项公式为．
故答案为：180；．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，②的对称轴为，③（1）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．
已知二次函数，若_____，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围．
【分析】选①：，结合已知二次函数代入可得，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；
选②：的对称轴为，结合已知二次函的对称轴方程可得，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；
选③：（1），直接代入可得，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：选①，
，
，
整理可得，，
，
对任意的恒成立，
当时，对任意的恒成立，
，解得，
故；
选②：的对称轴为，
，
，
对任意的恒成立，
当时，对任意的恒成立，
，解得，
故；
选③：（1），
即，
对任意的恒成立，
当时，不恒成立，
当时，，解得，
故．
【点评】本题主要考查了二次函数性质在解析式求解中的应用及不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．
18．（12分）已知数列是公比的等比数列，若，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求满足条件的自然数的最小值．
【分析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及的最小值．
【解答】解：（1）数列是公比的等比数列，若，且是，的等差中项．
所以，
整理得，解得，
故．
（2）由于，
所以，
所以，
若对恒成立，
只需满足即可，
故，
即满足条件的自然数的最小值为4．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式，裂项相消法在数列求和中的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19．（12分）已知数列中，，且满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：对于数列，的充要条件是．
【分析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式；
（2）利用数列的递推关系式的应用求出结果．
【解答】证明：（1）数列中，，且满足．
整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以，
所以．
证明：（2）由于，
所以①，
当时，，
当时，②，
①②得：，
所以，（首项符合通项），
所以，
即数列，的充要条件是．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，构造新数列的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意可得，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；
（2）计算，令，，，由题意可得恒成立，即有，运用在，的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．
【解答】解：（1）当时，，
由，即，化为，
即，可得，
则解集为；
（2），
则，
令，因为，，可得，，
由题意可得恒成立，
即有，
而在，递增，可得（2），
则，解得，
则的取值范围是，．
【点评】本题考查指数函数的单调性和值域的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21．（12分）如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为，到河两岸距离，相等，，分别在两岸上，．为方便游客观赏，拟围绕区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即的周长）为．设百米．
（1）试用表示线段的长度；
（2）求关于的函数解析式，并求的最小值．

【分析】（1）由已知证明，得，由，得，，再由勾股定理求；
（2）写出的表达式，然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：（1），
，
在中，，
，则，
．
，，，
，
则；
（2），．
，
．
当且仅当，且，
即时取“”．
，
故景观桥总长的最小值为百米．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
22．（12分）已知数列为等差数列，公差为，前项和为．
（1）若，，求的值；
（2）若，中恰有6项在区间内，求的取值范围；
（3）若，，集合，问能否在集合中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列，使得此新数列满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：数叫作数和数的调和平均数）．
【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；
（2）设从第项开始在，内，运用等差数列的通项公式可得，的不等式组，解不等式可得所求范围；
（3）分别讨论①新数列中有两个相同和一个不同项，，；②新数列中有三个不同项，，，推理论证即可判断存在性．
【解答】解：（1）因为，，又因为，
所以；
（2）设从第项开始在，内，则
，即有，解得，
所以，解得，，
所以，所以，；
（3）因为，，所以，，所以，
①新数列中有两个相同和一个不同项，，，若，矛盾；
若，解得，
所以，是两个不同项，且，，所以，
所以新数列中有两个相同和一个不同项是不成立的；
②新数列中有三个不同项，，，设，，，且，，，
则，即，
解得，设第四项为，则，
即，
设第五项为，则，即，
由数学归纳法可得，即，，
当非常大时，趋向于1，
则，即（与假设矛盾），故三项不同的数列也不存在．
综上可得，不存在．
【点评】本题考查数列的综合运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于难题．
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日期：2021/2/23 14:36:22；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394