2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期中数学试卷

一.单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，0，1，，集合，则　　

A．，1， B．，1， C．，0， D．，0，

2．（5分）命题“，，”的否定是　　

A．，， B．， 

C．，， D．，，

3．（5分）若函数是幂函数，且图象关于原点对称，则实数为　　

A．2 B． C．4 D．2或

4．（5分）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

5．（5分）为了防止新冠疫情输入校园．省锡中后勤采用喷洒消毒对学校教学区域和物体表面进行消毒．喷洒后该药品浓度随时间的变化关系为，则一段时间后药品的最大浓度为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知函数，是定义在上的函数，，则“函数为偶函数”是“函数，均为偶函数”的　　

A．充要条件 B．充分而不必要条件 

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知函数为奇函数，若函数与图象在，的交点为，，，，，，，则　　

A．1 B． C．2 D．5

8．（5分）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（5分）下列函数在其定义域中，既是奇函数又是增函数的　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．， 

B．， 

C．存在，等式成立 

D．，使得函数为偶函数

11．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，，则 

D．若，，则

12．（5分）对于函数（其中，其中，选取，一组计算（1）和，所得的正确结果可能是　　

A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知函数，则（3）　　．

14．（5分）不等式的解集是　　．

15．（5分）已知，，若中有且只有三个整数，则正数的取值范围为　　．

16．（5分）已知正数，，满足，，则的最小值　　．

四.解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）（1）已知：，求的值；

（2）求值：．

18．（12分）已知集合，_____

试从以下两个条件中任取一个补充在以上的问题中，并完成解答．

①不等式的解集；

②不等式的解集为．

（1）当时，求；

（2）若，求实数取值范围．

19．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若不等式在有解，求实数取值范围．

20．（12分）设函数，．

（1）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围；

（2）求关于的不等式的解集．

21．（12分）已知定义域为的函数满足，当时．

（1）求函数的解析式；

（2）运用函数的单调性定义，证明函数在区间是单调增函数；

（3）若，试比较和的大小，并说明理由．

22．（12分）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交．

（1）写出函数的解析式；

（2）若函数，，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；

（3）若对于任意，，，总有求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，0，1，，集合，则　　

A．，1， B．，1， C．，0， D．，0，

【分析】进行交集的运算即可．

【解答】解：，，0，1，，，

，1，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．（5分）命题“，，”的否定是　　

A．，， B．， 

C．，， D．，，

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题“，，”的否定是：，，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．（5分）若函数是幂函数，且图象关于原点对称，则实数为　　

A．2 B． C．4 D．2或

【分析】根据幂函数的定义域和单调性建立条件关系即可得到结论．

【解答】解：函数是幂函数，

，

即，

解得或，

幂函数图象关于原点对称，

为奇数，

，

故选：．

【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，利用幂函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．

4．（5分）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】求出对，，恒成立的的取值范围，然后结合充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案．

【解答】解：由，得，

函数在，上的最小值为2．

若对，，，成立，则，

由，得成立，反之不成立，

则是“，，”为真命题的一个充分不必要条件；

是““，，”为真命题的一个充分必要条件；

与是“，，”为真命题的不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查充分必要条件的判定方法，考查恒成立问题的求解方法，是基础题．

5．（5分）为了防止新冠疫情输入校园．省锡中后勤采用喷洒消毒对学校教学区域和物体表面进行消毒．喷洒后该药品浓度随时间的变化关系为，则一段时间后药品的最大浓度为　　

A． B． C． D．

【分析】时间是一个正数，对浓度与时间关系式进行转化，利用函数单调性即可解决．

【解答】解：，令，当最小时，取到最大值，

则，，此时达到最大为：3，

故选：．

【点评】本题考查了函数的性质，基本不等式的最值求法，属于基础题．

6．（5分）已知函数，是定义在上的函数，，则“函数为偶函数”是“函数，均为偶函数”的　　

A．充要条件 B．充分而不必要条件 

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．

【解答】解．若“，均为偶函数”，

则有，，

，

“为偶函数”，

故“函数为偶函数“是” ，均为偶函数”的必要条件；

而反之取，，是偶函数，

而，均不是偶函数”，

故由“函数为偶函数”推不出“函数，均为偶函数”，

故“函数为偶函数”不是“函数，均为偶函数”的充分条件，

故选：．

【点评】本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断，是一道基础题．

7．（5分）已知函数为奇函数，若函数与图象在，的交点为，，，，，，，则　　

A．1 B． C．2 D．5

【分析】有一张分析可得函数与已知函数都关于点对称，则交点也关于点对称，进而可以求解．

【解答】解：由已知函数是奇函数可得：函数图象关于点对称，

又函数也关于点对称，

则函数与函数在，上的5个交点都关于点对称，

所以一定有一个交点坐标为，其它4个点关于点对称，

所以，

故选：．

【点评】本题考查了函数的奇偶性以及函数的对称性，属于基础题．

8．（5分）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】先由已知可得函数为单调递增函数，再根据分段函数判断单调性的方法建立不等式即可求解．

【解答】解：由已知可得函数为上的单调递增函数，

则由分段函数的单调性的判断方法可得：

，解得，

故选：．

【点评】本题考查了分段函数的单调性的问题，属于基础题．

二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（5分）下列函数在其定义域中，既是奇函数又是增函数的　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．

【解答】解：对于，，是偶函数，不符合题意；

对于，，，是奇函数，也是增函数，符合题意；

对于，，为指数函数和一次函数的复合函数，不是奇函数，不符合题意；

对于，，是奇函数，又是增函数，符合题意；

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．

10．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．， 

B．， 

C．存在，等式成立 

D．，使得函数为偶函数

【分析】直接利用函数的图象判断和的结论，直接利用数据的运算判断的结论，直接利用赋值法判定的结论．

【解答】解：对于：根据函数的图象

故错误；

对于：对于，不成立，故错误；

对于：根据函数和函数，

利用函数的图象如图所示：

故正确；

对于：当时，函数为偶函数，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，存在性问题和恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

11．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，，则 

D．若，，则

【分析】中，由得出；

中，由得出；

中，由，得出；

中，由，得出．

【解答】解：对于，当时，，，

又，所以；选项错误；

对于，当时，，

所以；

又，所以，选项错误；

对于，当，时，，

又，，

又，所以，选项错误；

对于，当时，，所以，

又，所以，即，选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的简单性质应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．

12．（5分）对于函数（其中，其中，选取，一组计算（1）和，所得的正确结果可能是　　

A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2

【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，则有（1），分析可得（1）的值为偶数，分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，

则，

则有，

故（1），

又由，则（1）的值为偶数，

分析选项：符合（1）的值为偶数，

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知函数，则（3）　26　．

【分析】根据题意，由函数的解析式求出与（3）的值，相加即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，

则，（3），

故（3），

故答案为：26．

【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．

14．（5分）不等式的解集是　　．

【分析】问题转化为，求出不等式的解集即可．

【解答】解：，

，即，

解得：，

故不等式解集是，

故答案为：．

【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．

15．（5分）已知，，若中有且只有三个整数，则正数的取值范围为　，　．

【分析】利用换元法求出函数的值域，得到集合，利用二次函数的性质求出函数的值域，得到集合，求出，结合题意确定三个整数是0，1，2，从而得到，求出正数的取值范围．

【解答】解：对于函数，

设，则，即，

，

集合，，

对于函数，

集合，，

，，

中有且只有三个整数，

三个整数是0，1，2，

，

解得：或，

又为正数，

．

故答案为：，．

【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了集合间的基本关系，是中档题．

16．（5分）已知正数，，满足，，则的最小值　9　．

【分析】直接利用关系式的变换和基本不等号式的应用求出结果．

【解答】解：已知，，

所以，故，所以，

所以，

由于，当且仅当，，时，等号成立．

故最小值为9．

故答案为：9．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

四.解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）（1）已知：，求的值；

（2）求值：．

【分析】（1）对的两边平方即可求出，然后对两边平方即可求出的值，从而求出的值；

（2）进行对数的运算即可．

【解答】解：（1），

，

，，

；

（2）原式．

【点评】本题考查了完全平方式的运用，对数的运算性质，对数的换底公式，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）已知集合，_____

试从以下两个条件中任取一个补充在以上的问题中，并完成解答．

①不等式的解集；

②不等式的解集为．

（1）当时，求；

（2）若，求实数取值范围．

【分析】求出集合，（1）求出的补集，从而求出其和的交集即可；（2）求出，通过讨论，得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：选①时，由，得：，

故，即，解得：，

选②时，由，解得：，

故，，

（1）当时，，，

故，，，

故，，；

（2）若，则，

若，则，解得：，

若，则解得：，

综上：故的范围是．

【点评】本题考查了集合的运算以及不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．

19．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若不等式在有解，求实数取值范围．

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解得，验证是否为奇函数，即可得答案；

（2）根据题意，由（1）的结论，可得的解析式，不等式变形可得，设，，利用换元法求出的最小值，分析可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，为定义在上奇函数，，解得，

当时，，，

满足，为奇函数，

故；

（2）根据题意，由（1）的结论，，

不等式，即，变形可得，

设，

设，，，则，

又由，则，时等号成立，

即，的最小值，

若不等式在有解，即在有解，必有，

解可得：，即的取值范围为．

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义，将不等式进行转化是解决本题的关键．属于中档题．

20．（12分）设函数，．

（1）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围；

（2）求关于的不等式的解集．

【分析】（1）由题意可得它的判别式小于零，由此求出实数的取值范围．

（2）不等式即，分类讨论，求出它的解集．

【解答】解：（1） 无解，故，且△，求得，

可得实数的取值范围为，．

（2）关于的不等式，即，

即．

当时，关于的不等式即，不等式无解，不等式的解集是，

时，，解得：或，故不等式的解集是或，

时：，解得：，故不等式的解集是，

时，，解得：，故不等式的解集是．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，属于中档题．

21．（12分）已知定义域为的函数满足，当时．

（1）求函数的解析式；

（2）运用函数的单调性定义，证明函数在区间是单调增函数；

（3）若，试比较和的大小，并说明理由．

【分析】（1）根据函数的奇偶性得到关于的方程，求出的值，通过讨论的范围，求出函数的解析式即可；

（2）根据函数的单调性的定义证明即可；

（3）根据函数的单调性求出，，从而判断和的大小．

【解答】解：（1），

是奇函数，则，

故，解得：，

，，

当时，，，

，则，

；

（2）设，

则

，

，，，

，在递增；

（3）在上是奇函数，且在上递增，

在上递增，

，，，

，

，

，，

，

，

．

【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查函数的单调性的定义，是一道中档题．

22．（12分）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交．

（1）写出函数的解析式；

（2）若函数，，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；

（3）若对于任意，，，总有求实数的取值范围．

【分析】（1）由题意可得，且，可得，进而得到的解析式；

（2），设，，，可设，对称轴方程为，假设存在实数，使得的最小值为0．讨论对称轴和区间的关系，运用单调性可得最小值，解方程可得所求值；

（3）分别求得由，，，讨论当，，，结合单调性，解不等式可得所求范围．

【解答】解：（1）由题意可得，即，

又的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，可得，，

；

（2）由，，可得，设，，，

所以，对称轴方程为，

假设存在实数，使得的最小值为0．

当，即时，在，上递增，可得，解得，符合题意；

当，即时，在，上递减，可得（1），解得，不符合题意；

当，可得，则．

综上可得，；

（3）由，可得，，，

①当，即，因为在，递增，在递减，

可得，，

由，即，即，

②当，即，有，，

所以；

③当，即时，由题意可得，

即为，所以，即，可得，

综上可得的取值范围是，．

【点评】本题考查函数的解析式的求法、函数的最值求法，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:23:29；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394