2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）已知数列是等差数列，若，，则等于　　

A．10 B．12 C．15 D．18

3．（5分）若，都是正整数，则成立的充要条件是　　

A． B． 

C．且 D．，至少有一个为1

4．（5分）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为　　

A． B． C． D．

5．（5分）在三棱锥中，已知是的中点，且，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．令，数列的前项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（5分）若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，，且，则的斜率为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）下列命题正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，则

10．（5分）如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则　　

A． 

B． 

C．向量与向量的夹角是 

D．异面直线与所成的角为

11．（5分）某集团公司有一下属企业从事一种高科技产品的生产．企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．集团公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．则　　

A． B． 

C． D．当时，

12．（5分）我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则　　

A．曲线是黄金双曲线 

B．如果双曲线是黄金双曲线，那么为半焦距） 

C．如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 

D．过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线交于、两点，为坐标原点，若，则双曲线是黄金双曲线

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知空间向量，，，，，，若，则　　．

14．（5分）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面是一个矩形，面积为，房屋正面每平方米的造价为1500元，房屋侧面每平方米的造价为1000元，屋顶的造价为6000元．如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为　　时，能使房屋的总造价最低（结果用根式表示）．

15．（5分）已知点在抛物线上，过其焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则的面积为　　．

16．（5分）将正奇数按如图所示的规律排列：

则2021在第　　行，从左向右第　　个数．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）设，命题，命题．

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若对，，都有成立，求的最大值．

19．（12分）已知是各项均为正数的等比数列，若，的等比中项是81，且，数列的前项和满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）求证：是等差数列，并求数列的前项和．

20．（12分）已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．

（1）求双曲线的方程；

（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．

21．（12分）如图，已知为正方形，平面，，且，且，．

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）设为的中点，为正方形内一点（包含边界），当平面时，求线段的最小值．

22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且过定点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设平行于的直线与椭圆交于，两点（如图所示）．

①线段的长度是否有最大值？并说明理由；

②若直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标为，，求证：为定值．

2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．【解答】解：命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．

故选：．

2．【解答】解：，

则，

则，

，

，

解得，

，

故选：．

3．【解答】解：因为，

所以．

而，，所以，所以．

所以或．

故选：．

4．【解答】解：如图所示建立直角坐标系，

设抛物线的方程为：，

点的纵坐标坐标为，

横坐标为，

所以点的坐标为，代入抛物线方程可得：

，所以抛物线方程为：，

在点时，，则，

则限制高度为，

解得，

故选：．

5．【解答】解：在三棱锥中，是的中点，

，

，

，，，

．

故选：．

6．【解答】解：抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，可得焦点坐标，

所以，解得，

所以双曲线的渐近线方程为：．

故选：．

7．【解答】解：由题意，可知

，，，

，，成等比数列，

，即，

解得，

故，，

，

则

，

对于，不等式恒成立，

．

故选：．

8．【解答】解：由已知可知椭圆的右准线方程为：，所以，即，

又由已知可得：，且，

联立方程解得：，，

所以椭圆的方程为：，

①当的斜率不存在时，与轴垂直，方程为，不符题意，

②当直线的斜率存在时，设的方程为：，

联立方程，消去可得：，

设，，，，则，，

由可得：，，则，

所以，，联立解得，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．【解答】解：．由，取，，则不成立，故错误；

．当时，由，可得，故错误；

．当时，，又，，故正确；

．，由不等式的基本性质，可知，故正确．

故选：．

10．【解答】解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，

所以，

故，故选项正确；

又，

又，

所以，，

则，故选项正确；

，

所以，

因此与的夹角为，故选项错误；

因为，分别是，的中点，

所以，1，，，1，，

则，

所以，

又异面直线的夹角大于小于等于，

所以异面直线与所成的角为，故选项正确；

故选：．

11．【解答】解：第一年年底剩余资金，

第二年年底剩余资金，

故选项错误；

第三年年底剩余资金，

所以第年年底剩余资金为，

故选项正确；

因为

，

所以

，

因为，

所以，

所以，即，

故选项正确；

当时，，

故选项错误．

故选：．

12．【解答】解：对于，曲线为双曲线的方程，且，，，

则，可得，故错误；

对于，如果双曲线是黄金双曲线，则，

可得，即为，即，即，故正确；

对于，如果双曲线是黄金双曲线，可得，

那么右焦点到一条渐近线的距离等于，

若，可得，这与矛盾，故错误；

对于，设，令，可得，，

若，可得，可得，由选项可得正确，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．【解答】解：空间向量，，，，，，，

，

解得，，

．

故答案为：13．

14．【解答】解：设底面的长为，宽为，则，

设房屋总造价为，

则

（元．

当且仅当，即时，上式等号成立，此时．

故把地面矩形较长的一边设计为时，能使房屋的总造价最低．

故答案为：．

15．【解答】解：把点代入抛物线方程可得：，所以，

则抛物线方程为：，

所以抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为，

所以直线的方程为：即，代入抛物线方程可得：

，设，，，，

则，，所以，

而点到直线的距离为，

所以三角形的面积为，

故答案为：．

16．【解答】解：由题意知，第一行有1个奇数，第二行有3个奇数，第行有个奇数，

则前行共有正奇数个，

所以第行的最后一个正奇数为，

当时，第31行的最后一个正奇数为1921

当时，第32行的最后一个正奇数为2047，

所以2021在第32行，

前31行共有个正奇数，2021是第1011个正奇数，

，

所以2021在第32行，从左向右第50个数．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）由题意可得为真命题时，，

解得，即，

所以实数的取值范围为；

（2）由（1）得，由命题得，

因为是的充分不必要条件，

所以，且等号不同时成立，

解得：，

故实数的取值范围为，．

18．【解答】解：（1）即为，

可得，

当时，，可得；

当时，解得；

当时，解得．

所以时，解集为；时，解集为；时，解集为；

（2），，都有成立，

可得，即对，恒成立，

可令，

当即时，原不等式显然成立；

当时，，即对恒成立，

由，当且仅当，时，取得等号，

所以的最小值为，

则，即的最大值为．

19．【解答】解：（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，，

由，的等比中项是81，且，

可得，解得，

又，

由，，可得，即，即有，

则，解得（负的舍去），，

所以，；

（2）证明：数列的前项和满足，且，

可得时，，解得舍去），

当时，，又，

两式相减可得，

即为，

由于，可得，

则是首项为3，公差为2的等差数列，

所以数列的前项和为．

20．【解答】解：（1）由题知，，，

因为，的坐标分别为，．

直线的方程为，即，

原点到直线的距离，

解得，

，

所以双曲线的方程为．

（2）由（1）知点坐标为，

设直线为，，，，，

当时，直线与双曲线交点，分别为双曲线的左右顶点，

此时成以为顶点的等腰三角形，

所以此时直线的方程为，

当时，由，得，

因直线与双曲线有两个交点，

所以且△，

所以且，

所以，，

，

要使得成以为顶点的等腰三角形，则，

取中点，点坐标为，，即，，

，即，解得或，

又因为且，

所以，

所以直线的方程为或．

21．【解答】解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，

则，，

设平面的法向量为，

则有，

令，则，，

所以，

而平面的法向量为，

设平面与平面所成二面角为，显然二面角的平面角为锐角，

则有；

（2）设，，，，，，

根据题意可得，

所以，

因为平面，

所以，即，

所以，

又因为函数，其对称轴为，图象开口向上，

所以函数在，上单调递减，

故当时，有最小值为，此时，

所以线段的最小值为．

22．【解答】解：（1）由题意可得，解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）①由，可得直线的斜率为，

由题意设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与椭圆的方程，整理可得：，

△，可得：，即，

且，，

所以弦长，

当时，弦长的值最大，且为，

所以线段的长度有最大值4；

②证明：直线的方程为：，令，则，

所以可得，，

同理可得，，

所以由题意可得

，

而，，

所以，

，

，

所以，

可证得：为定值．

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日期：2021/4/10 17:51:01；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394