2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）是虚数，复数　　

A． B． C． D．

2．（5分）在中，若，则的形状为　　

A．等边三角形 B．等腰三角形 

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

3．（5分）已知、是不共线的向量，，、，当且仅当　　时，、、三点共线．

A． B． C． D．

4．（5分）若非零向量，满足，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知是关于的方程的根，则实数　　

A． B． C．2 D．4

6．（5分）当复数满足时，则的最小值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为　　

A． B． C．3 D．

8．（5分）以为钝角的中，，，当角最大时，面积为　　

A．3 B．6 C．5 D．8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A． B．复数的共轭复数为 

C． D．

10．（5分）下列说法中正确的为　　

A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 

C．非零向量，，满足且与同向，则 

D．非零向量和，满足，则与的夹角为

11．（5分）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则有两解 

C．若为钝角三角形，则 

D．若，，则面积的最大值为

12．（5分）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是　　

A．是等边三角形 

B．若，则，，，四点共圆 

C．四边形面积最大值为 

D．四边形面积最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知为虚数单位，则的虚部是　　．

14．（5分）在中，若，，，则的外接圆半径长为　　．

15．（5分）如图，正方形边长为1，点在线段上运动，则的取值范围为 　　．

16．（5分）如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边，分别交于，两点，则的最小值为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．平面内给定三个向量，，．

（1）若，求实数；

（2）若，求实数．

18．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值．

19．如图，在菱形中，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．

20．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．

问题：的内角，，的对边分别为，，，已知_____．

（1）求；

（2）若为的中点，，求的面积的最大值．

21．如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设．

（1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度；

（2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

22．如图，海上有，两个小岛，在的正东方向，小船甲从岛出发以海里小时的速度沿北偏东方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过小时与小船甲相遇．

（1）若相距2海里，为海里小时，小船乙从岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；

（2）若小船乙先从岛以16海里小时匀速沿射线方向行驶小时，再以8海里小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值．

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】直接利用分子分母同乘以分母的共轭复数求解．

【解答】解：．

故选：．

2．【分析】由已知利用向量的减法可得，即可判断得解．

【解答】解：若，

则若，

则为等边三角形．

故选：．

3．【分析】设、、三点共线，则向量、共线，根据向量共线的条件列式即可解出、满足的等式，得到本题答案．

【解答】解：设、、三点共线，则向量、共线，

即存在实数，使得

且

，可得，解之得

因此，当且仅当时，、、三点共线．

故选：．

4．【分析】根据题意，设与的夹角为，，由向量垂直的判断方法可得，求出的值，结合的范围，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，设与的夹角为，，则，

若，则，

即，

又由，则，

故选：．

5．【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数．

【解答】解：已知是关于的方程的根，

是关于的方程的根，

，

解得，

故选：．

6．【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．

【解答】解：

的最小值是．

故选：．

7．【分析】利用角平分线的性质，分别在，中，利用余弦定理用表示出，，然后列方程求出的值，最后再求出，，最后求出的值．

【解答】解：因为，

所以由正弦定理可得，

可得，

因为，

所以，

所以，由，，

所以，

在，中，由余弦定理得：，

，

故，解得：，故，

在中，由余弦定理得：，即，

故．

故选：．

8．【分析】建立坐标系，设，，，，，根据向量的几何意义可得，分别求出，，根据两角和的正切公式，求出的最大值，即可求出的面积．

【解答】解：中，，，

，即，

其几何意义：在方向上的正投影长度始终为4，过作，垂足为，

设，，，，，

，，

，

，

，（当且仅当，即时去等号），

当时，角最大，此时边上的高，的面积．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．【分析】由题设利用复数的相关概念及运算法则逐个选项判断正误即可．

【解答】解：，，，故选项、正确；

又，故选项错误；

，选项正确，

故选：．

10．【分析】直接利用平面向量的数量积，向量的夹角的应用，向量的共线的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：已知，，由于与的夹角为锐角，

故，且，故实数的取值范围是，故错误；

对于：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故正确；

对于：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故错误；

对于：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为，故正确．

故选：．

11．【分析】由已知结合正弦定理可检验；结合正弦定理及三角形大边对大角可检验选项；结合余弦定理可检验选项；结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项．

【解答】解：，正确；

因为，，，

由正弦定理得，，

故，

因为，

所以，

故有两角，正确；

为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则不一定成立，不符合题意；

因为，，

由余弦定理得，，当且仅当时取等号，

故，

面积，即最大值为，正确．

故选：．

12．【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；

利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；

设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．

【解答】解：，

，即，

由，可得，或．

又．，故正确；

若四点，，，共圆，则四边形对角互补，由正确知，

在中，，，，故错；

等边中，设，，

在中，由余弦定理，得，

由于，，代入上式，得，

，

，，

四边形面积的最大值为，无最小值，

故正确，错误，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：，

的虚部是．

故答案为：．

14．【分析】设的外接圆半径为，由余弦定理求得，进而可求得，再由正弦定理可得答案．

【解答】解：设的外接圆半径为．

由余弦定理得：

由正弦定理得，

故答案为：

15．【分析】借助正方形的两邻边建立直角坐标系，将向量的运算转化为坐标形式的运算，利用向量的坐标形式的数量积公式表示成二次函数，通过配方找出对称轴，求出最值．

【解答】解：以， 为，轴建立直角坐标系则，，，，

设，，

，，，

，

所以当时，函数有最大值；

当时函数有最小值．

故答案为：，．

16．【分析】利用重心的性质得到，由，，三点共线，得，再求出，利用基本不等式求最值即可．

【解答】解：设，，，，，

则，

，，三点共线，，即，

，

当且仅当时取等号，的最小值为．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【分析】（1）利用向量坐标运算法则求出，，再由，列方程能求出实数．

（2）利用向量坐标运算法则求出，，再由，能求出实数．

【解答】解：（1）向量，，．

，，

，

，

解得实数．

（2），，

，

，

解得实数．

18．【分析】（Ⅰ）设，且，由条件可得①，②．由①②联立的方程组得、的值，即可得到的值；

（Ⅱ）根据实部为0，虚部不为0即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）设，，，．

由题意：．①

，

得，，②

①②联立，解得．；

得．

（Ⅱ）；

由题意可知；

解得．

19．【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，即可．

（2）利用已知向量，表示数量积的向量，然后求解即可．

（3）利用向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可．

【解答】解：（1）因为，，

所以，，

所以，，

故．

（2），

为菱形，

，即．

（3）

，，

的取值范围：．

20．【分析】（1）选①，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；

选②，由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；

（2）由已知得，然后结合向量数量积性质及基本不等式可求的范围，再由三角形面积公式可求．

【解答】解：（1）选①，

由正弦定理得，

因为，

所以得，即，

所以；

选②，

由正弦定理得，，

因为，

所以，

即，

所以，

所以；

（2）若为的中点，则，

所以，

即，

所以，

的面积，即面积最大值．

21．【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角三角形，可求的值，求得是等边三角形，即可得解．

（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由于以为顶点时，和的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．

（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求的面积关于的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．

【解答】解：（1）在三角形中，由余弦定理得，

所以，

所以三角形是直角三角形，

所以，．

由于，

所以，

所以是等边三角形，周长为，也即防护网的总长度为．

（2）时，在三角形中，由正弦定理得，

在三角形中，，

由正弦定理得．

所以．

以为顶点时，和的高相同，

所以，

即人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍．

（3）在三角形中，，

由正弦定理得．

在三角形中，，

由正弦定理得．

所以

．

由于，

所以当，时，最小值为．

22．【分析】（1）设乙速度为海里小时，利用余弦定理列方程求得的值；

（2）由题意利用余弦定理可得关于的一元二次方程，利用换元法与判别式，即可求得的最大值．

【解答】解：（1）设乙速度为海里小时，

由余弦定理可知，

整理得；

由于，

所以；

答：乙的速度为海里小时．

（2）由题意知，

两边同除以得：，

设，其中，

则有，其中，

即关于的方程在上有解，

则必有△，

解得，

当时，可得，

因此为最大值为．

答：小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值海里小时．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2022/3/11 19:08:18；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367