初中数学中考复习 专题57：第12章压轴题之开放探究类-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（原卷版）

57第12章压轴题之开放探究类

一、单选题

1．已知关于、的二元一次方程组给出下列结论：①当时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程的解，则；③无论整数取何值，此方程组一定无整数解、均为整数)，其中正确的是　　

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②

2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（      ）

A．0 B．1 C． D．

4．在平面上，边长为的正方形和短边长为的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积．

甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；

甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积大小不变．

乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．

丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是个图形中最小的．

下列说法正确的是（    ）

A．甲、乙、丙都对 B．只有乙对 C．只有甲不对 D．甲、乙、丙都不对

二、填空题

5．（1）如图①，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________

（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_________

（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________

（4）如图④，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_________

6．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（-2，0），C（a，-a），△ABC的面积小于10，则a的取值范围是__________________．

7．如图，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点为线段上一点，若第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的点坐标________________．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是_____．

三、解答题

9．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”．

（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）；

（2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法）

（3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长．

②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．

10．如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连结、.

（1）若为等边三角形，试探究与有何数量关系？证明你的结论；

（2）若为等边三角形，当的值为多少时，？

（3）当不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.

11．如图，以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，连结．

（1）比较与的大小，并说明理由．

（2）当时，若，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并解答

12．问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，，的两边分别交直线，于点，，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系．

（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：________；

（2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系；

（3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，，请直接写出的长和此时的面积．

13．综合与实践

问题情境

从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．

如图1，在中，，，为边上的中线，为上一点，将以点为旋转中心，逆时针旋转90°得到，的延长线交线段于点．探究线段，，之间的数量关系．

数学思考

（1）请你在图1中证明；

特例探究

（2）如图2，当垂直于时，求证：；

类比再探

（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

14．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．

（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=     ；

（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

15．如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点．

（1）求出的长度；

（2）求的面积；

（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

16．综合与实践

将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，．

特例研究

（1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______；

（2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；

探究发现

（3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；

知识应用

（4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值．

17．解答下列各题：

（1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN＝2∠MON．

（2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由．

18．如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．

（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；

（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．

①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；

②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．

19．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）探究的度数；

（3）探究EF、DF、CF之间的关系．

20．综合与探究

问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．

问题发现：（1）如图1，当时，____________°；

（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；

拓展探究

（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；

（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．

21．综合实践

数学课上，各小组进行了特殊四边形的探究活动，如图所示，在中，分别以，，为边在的同侧作等边三角形，等边三角形，等边三角形．

（1）奋进小组发现：四边形是平行四边形，请你完成证明；

（2）当四边形是矩形时，求的度数；

（3）当四边形是菱形时，若，请直接写出与之间的数量关系．

22．如图，PQ⊥MN，垂足为O，点A、B分别在射线OM、OP上，直线BF平分∠PBA，且与∠BAO的平分线交于点C．

（1）若∠BAO=45°，求∠ACB的度数；

（2）若点A、B分别在射线OM、OP上移动，试探索∠ACB的大小是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请求出变化的范围．

23．已知点为线段上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，∠ACD=∠BCE， 直线AE与BD交于点F．

（1）如图， 若， 则          ．

（2）如图， 若， 则          (用含的代数式表示)；

（3）将图中的点顺时针旋转， 探究与的数量关系，画出图形并证明你的结论．

24．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

操作发现：

（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE､CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）

类比探究：

（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE､BG，则线段CE､BG有什么关系？说明理由．

灵活运用：

（3）如图3，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长．