中考数学压轴题51

5（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，进行计算即可解答；

（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，先求出点A的坐标，再求出直线AC的解析式为yx﹣3，然后设点D的坐标为（t，t2t﹣3），则点E的坐标为（t，t﹣3），从而可得DEt2﹣3t，最后根据△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），

∴OB＝1，

∵OC＝3OB，

∴OC＝3，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

把B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2+3ax+c中得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为yx2x﹣3；

（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，

当y＝0时，x2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝1，

∴A（﹣4，0），B（1，0），

∴OA＝4，

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

把A（﹣4，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b中得：

，

解得：，

∴直线AC的解析式为yx﹣3，

设点D的坐标为（t，t2t﹣3），则点E的坐标为（t，t﹣3），

∴DEt﹣3﹣（t2t﹣3）t2﹣3t，

∴△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积

DE•AFDE•OF

DE•（AF+OF）

DE•OA

•（t2﹣3t）•4

t2﹣6t

（t+2）2+6，

∴当t＝﹣2时，△ACD面积有最大值，最大值为6，

∴△ACD面积的最大值为6．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

25．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD﹣DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．

（1）求梯形ABCD的高和∠A的度数；

（2）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；

（3）试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，证Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE＝BF＝3（cm），再证∠ADE＝30°，则∠A＝60°，然后由勾股定理求出DE即可；

（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，得DQ＝EP＝2﹣t，再由AP＝AE+EP，得2t＝3+2﹣t，即可求解；

（3）求出S梯形ABCD＝15（cm2），分两种情况：①若点Q在CD上，即0≤t≤2；②若点Q在AD上，即2＜t≤4；分别由面积关系得出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示：

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AD＝BC，AB∥CD，

∴DE⊥CD，CF⊥CD，

∴∠DEF＝∠CFE＝∠CDE＝90°，

∴四边形CDEF是矩形，

∴DE＝CF，DC＝EF＝2cm，

在Rt△ADE和Rt△BCF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），

∴AE＝BF，

∴AE＝BF（AB﹣EF）（8﹣2）＝3（cm），

∵AD＝6cm，

∴AEAD，

∴∠ADE＝30°，

∴∠A＝60°，

DE3（cm），

∴梯形ABCD的高为3cm；

（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示：

同（1）得：四边形CDEF是矩形，

当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，

∵CQ＝t，

∴DQ＝EP＝2﹣t，

∵AP＝AE+EP，

∴2t＝3+2﹣t，

解得：t；

（3）存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下：

∵S梯形ABCD（8+2）×315（cm2），

当S四边形PBCQS梯形ABCD时，

①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示：

则CQ＝t，BP＝8﹣2t，

S四边形PBCQ（t+8﹣2t）×3，

解得：t＝3（不合题意舍去）；

②若点Q在AD上，即2＜t≤4，

过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示：

则AQ＝AD+DC﹣t＝6+2﹣t＝8﹣t，

在Rt△AGQ中，∠A＝60°，

∴∠AQG＝90°﹣60°＝30°，

∴AGAQ，

∴QGAQ（8﹣t），

同理：QHDQ（8﹣8+t﹣2）（t﹣2），

∵S四边形PBCQS梯形ABCD，

∴S△APQ+S△CDQ＝S四边形PBCQ，

∴2t（8﹣t）2（t﹣2），

整理得：t2﹣9t+17＝0，

解得：t1（不合题意舍去），t2，

综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰梯形的性质和勾股定理，证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解题的关键，属于中考常考题型．

26．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0）与反比例函数y（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．

（1）求一次函数的解析式．

（2）求点C和点D的坐标以及反比例函数的解析式．

（3）直接写出在第三象限内，x取何值时ax+b．

【分析】（1）根据待定系数法即可求解；

（2）证明△DEF≌△BEO（AAS），则OF＝OE+EF＝3，故D（﹣3，﹣2），然后利用相似得C（﹣4，0），进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（3）根据图象即可求得．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0），

∴，

解得，

∴一次函数的解析式为yx+2；

（2）作DF⊥x轴于F，

∵B（0，2），E点坐标（，0），

∴OB＝2，OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BE＝ED，

∵DF⊥x轴，BO⊥x轴，

∴∠DFE＝∠BOE＝90°，

∵∠DEF＝∠BEO，

∴△DEF≌△BEO（AAS），

∴OB＝DF＝2，EF＝OE，

∴OF＝OE+EF＝3，

∴D（﹣3，﹣2），

∵点D在反比例函数y的图象上，

∴k＝6，

∴反比例函数的解析式y，

设OC＝AF＝x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

又∵DF⊥AC，

∴△DCF∽△ADF，

∴，即DF2＝CF•AF，

∴22＝（x﹣3）•x，

解得x＝4或﹣1（舍去），

∴OC＝4，

∴C（﹣4，0）；

（3）由图象可知，在第三象限内，当﹣3＜x＜0时ax+b．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．