中考数学压轴题42

每周两题（十一）

1．（2023•长郡一模24T）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．

（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是 　          　；

．平行四边形           ．矩形               ．正方形                   ．菱形

（2）如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点不与、重合），交于点，过作交于点．

①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由；

②如图2，连接，求三角形的周长；

③若四边形是“等补四边形”，求的长．

2．（2023•长郡一模25T）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，是抛物线顶点，的外接圆与轴的另一交点为，与轴的另一交点为．

①求；

②若点是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点，使得与相似？如果存在，请求出点的坐标；

（3）点是抛物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点纵坐标的取值范围．

1．（2023•长郡一模24T）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．

（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是 　　；

．平行四边形        ．矩形          ．正方形               ．菱形

（2）如图1，在边长为的正方形中，为边上一动点不与、重合），交于点，过作交于点．

①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由；

②如图2，连接，求三角形的周长；

③若四边形是“等补四边形”，求的长．

【分析】（1）根据新定义即可求解；

（2）①证明和，即可求解；

②将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，证明，则的周长；

③四边形是“等补四边形”， ，则存在、、、四种情况，当时，证明为等边三角形，进而求解；当时，证明为等边三角形，进而求解；当时，由②知，的周长为，进而求解；当时，则，而当点是的中点时，才存在，故该种情况不存在，即可求解．

【解答】

解：（1）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，

正方形是等补四边形，

故答案为：；

（2）①四边形是否为“等补四边形”，理由：

如图，连接，

四边形是正方形，

，，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

；

②连接，由①知，为等腰直角三角形，则，

将围绕点逆时针旋转到的位置，点对应点，则，，

则，

，，

，

，

则的周长；

③四边形是“等补四边形”， ，

则存在、、、四种情况，

当时，

由（1）知，，

则，则为等边三角形，如图：

则，则，

在中，，

则；

当时，

，

△，

，

而，

为等边三角形，

故该情况同的情况；

当 时，

由②知，的周长为，

设，则，

则，

解得：；

当时，则，

而当点是的中点时，才存在，

故该种情况不存在，

综上，的长度为：或．

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，新定义“等补四边形”，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确理解新定义“等补四边形”和分类求解是解题的关键．

2．（2023•长郡一模25T）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，是抛物线顶点，的外接圆与轴的另一交点为，与轴的另一交点为．

①求；

②若点是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点，使得与相似？如果存在，请求出点的坐标；

（3）点是抛物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点纵坐标的取值范围．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；

（2）①利用配方法可得抛物线顶点，过点作轴于点，过点作于点，连接，由和是等腰直角三角形，可推出，得出是的外接圆的直径，由勾股定理可得，设，利用，建立方程求解即可得出，即，再运用三角函数定义即可求得答案；

②由于点是第一象限内抛物线上时，，而，故，分两种情况：当时，或，当时，或，分别求出点的坐标即可；

（3）作的外接圆，交抛物线的对称轴直线于点、，由点、关于直线对称，可知圆心在直线上，设，，，运用勾股定理可求得，圆的半径为，进而得出，，在上取点，连接、，使，过点作于点，设与轴交于点，可证得，得出，即，求得或2，再运用三角函数定义即可求得答案．

【解答】

解：（1）抛物线与轴交于，两点，

，

解得：，

该抛物线解析式为；

（2）①，

抛物线顶点，

令，得，

，

又，

，

是等腰直角三角形，

，，

如图，过点作轴于点，过点作于点，连接，

则，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

为的外接圆的直径，

在中，，

设，则，，

在中，

在中，，

，

，即，

解得：，（舍去），

，

，

，，

，

，

；

②存在．

在中，，

在中，，

当时，或，如图，

则或，

若，即，

，

在和中，

，

，

，

即，

，

，

，

射线经过点，

设的解析式为，则，

解得：，

的解析式为，

设，

则，

解得：，

，；

若，即，

，

同理可得；

当时，或，如图，设交轴于点，

则或，

即或，

或，

，

，

，

，

，

，

设的解析式为，则，

解得：，

的解析式为，

设，则，

或，

解得：或5，

当时，，

，；

当时，，

；

，当点是第一象限内抛物线上时，，

，

综上所述，点的坐标为，或或，或；

（3）如图，作的外接圆，交抛物线的对称轴直线于点、，

，

，

点、关于直线对称，

圆心在直线上，

设，，，

，，

△是等腰直角三角形，

，

，

解得：或（舍去），

，

，

，，

解得：，，

，，

在上取点，连接、，使，过点作于点，设与轴交于点，

则，，，，

，

，

，

，

，即，

解得：或2，

点是抛物线对称轴上一动点，若为锐角，且，

锐角，

设点的纵坐标为，

或．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外接圆，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质圆的性质，圆周角定理等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．

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