2020年江苏省扬州市宝应县中考数学三模试卷

这是一份2020年江苏省扬州市宝应县中考数学三模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年江苏省扬州市宝应县中考数学三模试卷
一、选择题（每题3分，共24分．每小题只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列各数中比﹣2大且比4小的是（　　）
A．+（﹣2） B． C．|﹣π| D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6
C．a6÷a3＝a2 D．（a+2b）2＝a2+2ab+4b2
3．（3分）实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A．|m|＜1 B．|m|＞|n| C．mn＞0 D．m+n＞0
4．（3分）“阅读，遇见更美好的自己”．为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．3和4.5 B．4和5 C．5和5 D．6和4.5
5．（3分）下列四个几何体中，其中主视图与其它三个不相同的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）一个三角板（含30°、60°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且CD＝CE，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（1，2+） B．（2+，﹣1） C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，1）
8．（3分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题（每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上）
9．（3分）为确保我县广大中小学生顺利复学，县政府为全县中小学生备足了约1050000只口罩，请将数据1050000用科学记数法表示为　 　．
10．（3分）分解因式：m2+mn+n2＝　 　．
11．（3分）若3x＝5y（y≠0），则＝　 　．
12．（3分）如果一组数据为4、5、5、3、8，那么这组数据的方差为　 　．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，4）关于y轴对称，点C（﹣1，0），则过B、C两点的直线解析式是　 　．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为5cm，CF是对角线，则CF是　 　cm．

15．（3分）若点M（1，m）、N（4，n）都在直线y＝﹣2x+b上，则m　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
16．（3分）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，AC＝6，则∠B的正切值是　 　．

17．（3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点B在y的正半轴上，点A、C分别在第一、二象限，其中点A在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＜0）上，tan∠ACO＝，则k＝　 　．

18．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，点E是△ABC内一动点（不重复运动），且满足AE2＝BE2+CE2，则动点E经过的路径长度是　 　．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：4cos30°+（2﹣π）0﹣|﹣|；
（2）化简：÷（1﹣）．
20．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解的和．
21．（8分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
组别
体重（千克）
人数
A
37.5≤x＜42.5
10
B
42.5≤x＜47.5
n
C
47.5≤x＜52.5
40
D
52.5≤x＜57.5
20
E
57.5≤x＜62.5
10
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：
①m＝　 　，
②n＝　 　，
③在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　 　度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？

22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1、1、2．第一次从袋中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）点M的横坐标x为正数的概率是　 　；
（2）用列表法或画树状图法，求点M在第一象限的概率．
23．（10分）如图，正方形OEFG的直角顶点O为正方形ABCD的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AG、DE．
（1）求证：AG＝DE；
（2）若DE∥OC，求∠GAO的度数．

24．（10分）甲、乙两条生产线同时生产某种产品，甲比乙每小时多生产10件，甲生产300件这种产品与乙生产200件这种产品所用的时间相等．甲、乙两条生产线每小时各生产零件多少个？
25．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是中线，∠BAC的平分线交BD于点O，⊙O与AC相切于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，AB＝5，求⊙O的半径．

26．（10分）定义：有一组对角互补的四边形称为对补四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，请判断四边形ABCD　 　（填“是”或“不是”）对补四边形；
（2）如图2四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，求证：四边形ABCD是对补四边形；
（3）如图3，四边形ABCD是对补四边形，AB＝AD，∠BAD＝90°，若BC＝5cm，CD＝3cm，求AC的长．

27．（12分）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求v关于x的函数表达式；
（2）求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4000辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？

28．（12分）（1）如图1，等边△ABC中，BC＝6，点P是BC上一动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．
①当点P与点B重合时，线段MN的长是　 　；当AP的长最小时，线段MN的长是　 　；
②如图2，连接PM、PN，分别交AB、AC于点D、E．当PB为多少时，线段MN的长是2？
（2）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，求△PQR周长的最小值并简要说明理由．


2020年江苏省扬州市宝应县中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分．每小题只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列各数中比﹣2大且比4小的是（　　）
A．+（﹣2） B． C．|﹣π| D．﹣
【分析】根据实数大小比较的法则可得答案．
【解答】解：∵+（﹣2）＝﹣2，|﹣π|＝π，
∴﹣＜﹣2＜π＜4＜，
∴比﹣2大且比4小的是|﹣π|．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6
C．a6÷a3＝a2 D．（a+2b）2＝a2+2ab+4b2
【分析】各式计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝a6，正确；
C、原式＝a3，错误；
D、原式＝a2+4ab+4b2，错误．
故选：B．
3．（3分）实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A．|m|＜1 B．|m|＞|n| C．mn＞0 D．m+n＞0
【分析】直接利用数轴结合m，n的位置，进而分别判断得出答案．
【解答】解：由数轴可得：﹣2＜m＜﹣1，2＜n＜3，
A、|m|＞1，故选项A错误；
B、|m|＜|n|，故选项B错误；
C、mn＜0，故选项C错误；
D、m+n＞0，故此选项D正确．
故选：D．
4．（3分）“阅读，遇见更美好的自己”．为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进行了统计，结果如下（单位：本）：5，5，3，6，3，6，6，5，4，5，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．3和4.5 B．4和5 C．5和5 D．6和4.5
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，
故众数是5；
而将这组数据从小到大的顺序排列为3，3，4，5，5，5，5，6，6，6，处于中间位置的那两个数都是5，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是5．
故选：C．
5．（3分）下列四个几何体中，其中主视图与其它三个不相同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
【解答】解：选项A中的几何体的主视图是长方形的，
选项B中的几何体的主视图是三角形的，
选项C中的几何体的主视图是长方形的，
选项D中的几何体的主视图是长方形的，
故选：B．
6．（3分）一个三角板（含30°、60°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且CD＝CE，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】先根据△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF＝45°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，CD＝CE，∠C＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝45°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣45°＝15°，
故选：B．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD，其中点D（2，0），点B在y轴上，点C在第一象限，以BC为边在正方形OBCD外作等边△ABC，若将△ABC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（1，2+） B．（2+，﹣1） C．（﹣1，﹣2﹣） D．（﹣2﹣，1）
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，根据正方形的性质可得AF⊥BC，B（0，2），即可得EF＝2，由等边三角形的性质及勾股定理可求解AF，BF的长，进而可求解A点坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点A的坐标，发现规律，进而求出第2020次旋转结束时，点A的坐标．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，交BC于点F，

∵四边形OBCD为正方形D（2，0），
∴EF＝OB＝OD＝BC＝2，BC∥OD，
∴B（0，2），AF⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝2，BF＝1，
∴AF＝，
∴AE＝AF+EF＝2+，
∴A（1，2+），
∵正方形OBCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴发现规律：旋转4次一个循环，
∵2020÷4＝505，
∴第2020次旋转结束时，点A的坐标为（1，2+）．
故选：A．
8．（3分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m
＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上）
9．（3分）为确保我县广大中小学生顺利复学，县政府为全县中小学生备足了约1050000只口罩，请将数据1050000用科学记数法表示为　1.05×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1050000用科学记数法表示为1.05×106，
故答案为：1.05×106．
10．（3分）分解因式：m2+mn+n2＝　（m+n）2　．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：m2+mn+n2
＝（m+n）2．
故答案为：（m+n）2．
11．（3分）若3x＝5y（y≠0），则＝　　．
【分析】直接利用已知得出x＝y，进而代入求出答案．
【解答】解：∵3x＝5y（y≠0），
∴x＝y，
则＝＝＝．
故答案为：．
12．（3分）如果一组数据为4、5、5、3、8，那么这组数据的方差为　　．
【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算即可．
【解答】解：∵这组数据为4、5、5、3、8，
∴其平均数是＝5，
∴这组数据的方差为×[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2]＝，
故答案为：．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，4）关于y轴对称，点C（﹣1，0），则过B、C两点的直线解析式是　y＝x+1　．
【分析】利用对称的性质求出B的坐标，再由C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式即可．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，4）关于y轴对称，
∴B的坐标为（3，4），
设直线BC解析式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），
把B（3，4），C（﹣1，0）代入得：
，
解得：，
则过B、C两点的直线解析式为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
14．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为5cm，CF是对角线，则CF是　10　cm．

【分析】连接AC，先由正六边形的性质得∠BCD＝∠BAE＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝AF＝5cm，∠BCF＝∠BCD＝60°，再由等腰三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝30°，则∠CAF＝90°，∠ACF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，边长为5cm，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠ABC＝（6﹣2）×180°＝120°，AB＝BC＝AF＝5cm，∠BCF＝∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∠ACF＝60°﹣30°＝30°，
∴CF＝2AF＝10（cm），
故答案为：10．

15．（3分）若点M（1，m）、N（4，n）都在直线y＝﹣2x+b上，则m　＞　n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+b中，k＝﹣2＜0，
∴此函数y随着x的增大而减小，
∵1＜4，
∴m＞n．
故答案为＞．
16．（3分）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，AC＝6，则∠B的正切值是　　．

【分析】连接CO并延长交⊙O于D，连接AD，则CD＝10，根据圆周角定理可得：∠B＝∠D，∠DAC＝90°，又根据勾股定理可求得AD的长，继而求得答案．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，连接AD，则CD＝10，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵DC＝10，AC＝6，
∴AD＝＝＝8，
∴tan∠D＝，
∵∠B＝∠D，
∴∠B的正切值等于；
故答案为：．
17．（3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点B在y的正半轴上，点A、C分别在第一、二象限，其中点A在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＜0）上，tan∠ACO＝，则k＝　﹣4　．

【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，根据题意得到＝，利用反比例函数系数k的几何意义、通过证得△AOD∽△OCE，求得S△OCE＝|k|＝2，即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝×1＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵tan∠ACO＝，
∴＝，
∵∠CEO＝∠AOC＝∠ADO＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠OAD，
∴∠COE＝∠OAD，
∴△AOD∽△OCE，
＝（）2＝，
∴＝，
∴S△OCE＝|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为﹣4．

18．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，点E是△ABC内一动点（不重复运动），且满足AE2＝BE2+CE2，则动点E经过的路径长度是　　．

【分析】将△BCE绕点B逆时针旋转60°得△BE'A，连接EE'，可证得AE2＝EE'2+AE'2，得∠AE'E＝90°，则∠AE'B＝∠BEC＝150°，所以点E在BC为弦，半径为2的圆上运动，圆心角为60°，代入计算即可．
【解答】解：如图，将△BCE绕点B逆时针旋转60°得△BE'A，连接EE'，

∴BE＝BE'＝EE'，EC＝AE'，
∵AE2＝BE2+CE2，
∴AE2＝EE'2+AE'2，
∴∠AE'E＝90°，
∴∠AE'B＝∠BEC＝150°，
∴点E在BC为弦，半径为2的圆上运动，圆心角为60°，
∴动点E经过的路径长度为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：4cos30°+（2﹣π）0﹣|﹣|；
（2）化简：÷（1﹣）．
【分析】（1）先根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，绝对值进行计算，再求出答案即可；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4×+1﹣2
＝2+1﹣2
＝1；

（2）原式＝÷
＝•
＝．
20．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解的和．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜6，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜6，
∴整数解为﹣1，0，1，2，3，4，5，其整数解的和为14．
21．（8分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
组别
体重（千克）
人数
A
37.5≤x＜42.5
10
B
42.5≤x＜47.5
n
C
47.5≤x＜52.5
40
D
52.5≤x＜57.5
20
E
57.5≤x＜62.5
10
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：
①m＝　100　，
②n＝　20　，
③在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于　144　度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？

【分析】（1）①m＝20÷20%＝100，②n＝100﹣10﹣40﹣20﹣10＝20，③c＝＝144°；
（2）被抽取同学的平均体重为：（40×10+45×20+50×40+55×20+60×10）＝50（千克）；
（3）七年级学生体重低于47.5千克的学生1000×30%＝300（人）．
【解答】解：（1）①m＝20÷20%＝100，
②n＝100﹣10﹣40﹣20﹣10＝20，
③c＝＝144°；
故答案为100，20，144
（2）被抽取同学的平均体重为：
（40×10+45×20+50×40+55×20+60×10）＝50（千克）．
答：被抽取同学的平均体重为50千克．
（3）1000×30%＝300（人）．
答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人．
22．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1、1、2．第一次从袋中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）点M的横坐标x为正数的概率是　　；
（2）用列表法或画树状图法，求点M在第一象限的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数；
【解答】解：（1）点M的横坐标x为正数的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图为：

点M共有6种等可能的结果数，点M在第一象限的有2种，
∴点M在第一象限的概率为：＝．
23．（10分）如图，正方形OEFG的直角顶点O为正方形ABCD的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AG、DE．
（1）求证：AG＝DE；
（2）若DE∥OC，求∠GAO的度数．

【分析】（1）由“SAS”可证△AOG≌△DOE，可得AG＝DE；
（2）由全等三角形的性质可求∠GAO＝∠ODE＝90°．
【解答】证明：（1）∵四边形OEFG和四边形ABCD是正方形，
∴AO＝DO，OE＝OG，∠AOD＝∠GOE＝90°，
∴∠AOG＝∠DOE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE（SAS），
∴AG＝DE；
（2）∵DE∥OC，
∴∠DOC+∠ODE＝180°，
∴∠ODE＝90°，
∵△AOG≌△DOE，
∴∠GAO＝∠ODE＝90°．
24．（10分）甲、乙两条生产线同时生产某种产品，甲比乙每小时多生产10件，甲生产300件这种产品与乙生产200件这种产品所用的时间相等．甲、乙两条生产线每小时各生产零件多少个？
【分析】根据“甲生产300件这种产品与乙生产200件这种产品所用的时间相等”可得出相等关系．
【解答】解：设乙条生产线每小时生产零件x个，则甲条生产线每小时生产零件（x+10）个，
根据题意得：＝，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
x+10＝20+10＝30．
答：甲每小时生产30个零件，乙每小时生产20个零件．
25．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是中线，∠BAC的平分线交BD于点O，⊙O与AC相切于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，AB＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）过点O作OF⊥AB，垂足为F，根据角平分线的性质可得出OF＝OE，继而可得出结论；
（2）根据S△ABD＝S△AOB+S△AOD，可得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB，垂足为F，

∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵OA为∠CAB的平分线，
∴OF＝OE，即OF是⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵BD是中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝AC•BC＝×4×3＝3，
S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即3＝AB×OF+AD×OE，
∵OF＝OD＝r，AD＝DC＝AC＝2，
∴r（AB+AD）＝6，
∴7r＝6，
解得：r＝．
即⊙O的半径为．
26．（10分）定义：有一组对角互补的四边形称为对补四边形．
（1）如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，请判断四边形ABCD　是　（填“是”或“不是”）对补四边形；
（2）如图2四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，求证：四边形ABCD是对补四边形；
（3）如图3，四边形ABCD是对补四边形，AB＝AD，∠BAD＝90°，若BC＝5cm，CD＝3cm，求AC的长．

【分析】（1）根据圆内接四边形性质和“对补四边形”的定义即可得出答案；
（2）根据等腰梯形性质和“对补四边形”的定义即可证得结论；
（3）方法一：如图3，连接BD，以BD为直径作四边形ABCD的外接圆⊙O，连接AO交⊙O于点E，过点C作CF⊥AE于F，CG⊥BD于G，先证明四边形CFOG是矩形，得出CF＝OG，OF＝CG，利用勾股定理可得BD＝＝，进而得出OA＝OD＝BD＝，利用三角函数可求得OF＝CG＝，DG＝＝，即可求出AF，CF，再运用勾股定理即可求得答案；
方法二：如图3a，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明C，B，H在同一条直线上，得出CH＝CB+BH＝5+3＝8，再运用三角函数即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴四边形ABCD是对补四边形，
故答案为：是；
（2）如图2，∵四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴四边形ABCD是对补四边形；
（3）方法一：如图3，∵四边形ABCD是对补四边形，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
连接BD，以BD为直径作四边形ABCD的外接圆⊙O，
连接AO并延长交⊙O于点E，过点C作CF⊥AE于F，CG⊥BD于G，
∵OB＝OD，AB＝AD，
∴AE⊥BD，
∴∠AOD＝∠FOG＝∠CFO＝∠CGO＝∠CGD＝90°，
∴四边形CFOG是矩形，
∴CF＝OG，OF＝CG，
在Rt△BCD中，BC＝5cm，CD＝3cm，∠BCD＝90°，
∴BD＝＝＝，
∴OA＝OD＝BD＝，
∵sin∠BDC＝＝，
∴＝，
∴CG＝＝，
∴OF＝CG＝，
∵cos∠BDC＝＝，
∴＝，
∴DG＝＝，
∴CF＝OG＝OD﹣DG＝﹣＝，
∴AF＝OA+OF＝+＝，
在Rt△ACF中，AC＝＝＝4；
方法二：如图3a，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，四边形ABCD是对补四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，∠BCD＝180°﹣90°＝90°，
将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
∴∠ABH＝∠ADC，∠CAD＝∠HAB，AH＝AC，BH＝CD＝3，
∴∠CAH＝∠BAD＝90°，
∵∠ABC+∠ABH＝∠ABC+∠ADC＝180°，
∴C，B，H在同一条直线上，
∴CH＝CB+BH＝5+3＝8，
∵AH＝AC，∠CAH＝90°，
∴∠H＝45°，
∴＝sinH＝sin45°，
∴AC＝CH•sin45°＝8×＝4．




27．（12分）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
（1）求v关于x的函数表达式；
（2）求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）
（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4000辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知：当0≤x≤28时，p＝vx＝80x≤2240；当28＜x≤188时，p＝vx＝（﹣x+94）x＝﹣（x﹣94）2+4418，进而求解；
（3）由题意得：p＝（﹣x+94）x≥4400，解得88≤x≤100，而v＝﹣x+94，当x＝88时，v＝﹣x+94＝50，当x＝100时，v＝﹣x+94＝44，即可求解．
【解答】解：（1）由图象知，当0≤x≤28时，v＝80，
当28＜x≤188时，设该段一次函数表达式是v＝kx+b，
把两点坐标（28，80）（188，0）分别代入，得，解得，
∴V关于x的一次函数表达式是v＝﹣x+94（28＜x≤188），
即v＝；

（2）由题知：当0≤x≤28时，p＝vx＝80x≤2240．
当28＜x≤188时，p＝vx＝（﹣x+94）x＝﹣（x﹣94）2+4418，
当x＝94时，车流量p有最大值4418辆/时．
∴p＝，当x＝94时，车流量P有最大值4418辆/时；

（3）由题意得：p＝（﹣x+94）x≥4400，解得88≤x≤100，
而v＝﹣x+94，
当x＝88时，v＝﹣x+94＝50，当x＝100时，v＝﹣x+94＝44，
即44≤v≤50，
即上下班高峰时段车速应控制在44千米/时≤v≤50千米/时．
28．（12分）（1）如图1，等边△ABC中，BC＝6，点P是BC上一动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．
①当点P与点B重合时，线段MN的长是　6　；当AP的长最小时，线段MN的长是　9　；
②如图2，连接PM、PN，分别交AB、AC于点D、E．当PB为多少时，线段MN的长是2？
（2）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，求△PQR周长的最小值并简要说明理由．

【分析】（1）①如图1﹣1中，设PN交AC于E．解直角三角形求出BE，即可解决问题．如图1﹣2中，当AP最小时，AP⊥BC，设PA交MN于J．求出MJ，即可解决问题．
②如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H，设PB＝x．构建方程求解即可．
（2）过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1﹣1中，设PN交AC于E．

由题意，BN垂直平分线段AC，
∴∠BEC＝90°，AE＝EC＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3，
∴EN＝BE＝3，
∴MN＝2EN＝6．
如图1﹣2中，当AP最小时，AP⊥BC，设PA交MN于J．

∵△ABC是等边三角形，AP⊥BC，
∴PB＝PC＝3，∠B＝∠C＝60°，
∴PD＝PB•sin60°＝，同法可得PE＝，
由对称的性质可知，PD＝DM＝，PE＝EN＝，
∴PM＝PN＝3，
∵∠BPD＝∠CPE＝30°，
∴∠MPN＝120°，∠M＝∠N＝30°，
∴∠M＝∠BPD，
∴MN∥BC，
∵PA⊥BC，
∴PA⊥MN，
∴MJ＝JN＝PM•cos30°＝，
∴MN＝2MJ＝9．
故答案为：6，9．

②如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H，设PB＝x．

在Rt△PMF中，∠MPF＝30°，PM＝x，
∴MF＝x，PF＝x，
同理，在Rt△PNG中，∠NPG＝30°，PN＝（6﹣x），
∴NG＝（6﹣x），PG＝（6﹣x），
∵四边形MFGH是矩形，则有
NH＝NG﹣HG＝NG﹣MF＝（6﹣x）﹣x＝（3﹣x），
MH＝FG＝PF+PG＝x+（6﹣x）＝9，
在Rt△MNH中，由勾股定理得，MN2＝NH2+MH2＝3（x﹣3）2+81＝84，
解得x＝2或4，
∴PB＝2或4．

（2）过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，
则PQ＝MQ，PR＝RN，
∴△PQR周长为PQ+QR+PR＝MQ+QR+EN＝MN，
∴当点P是BC的中点时，△PQR的周长最小，

∵∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°，∠MPN＝150°，
∴∠M＝∠N＝15°，
∴∠MQB＝∠PQB＝∠B＝75°，
∴MN∥BC，PQ＝PB＝2，
同理PR＝PC＝2，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴QR＝2×PQ＝6，
∴△PQR周长的最小值是6+4．
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日期：2021/8/11 12:04:25；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298