2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，则复数（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算即可直接求解.

【详解】，

故选：B.

2．在中，若，则等于（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】结合正弦定理得到，即可得出结果.

【详解】由正弦定理可知，，即，

在中，，则，

所以，又，

所以或.

故选：D.

3．如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】 为 的中点， 而则

且 ，，则 故选C．

4．已知，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用和差角公式即可计算.

【详解】因为，

所以，

即，

所以.

故选：A.

5．已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．不确定

【答案】C

【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围.

【详解】由题意，设三角形为，

由三角形的几何性质，

∴，

∵三角形是锐角三角形，，

∴只需要为锐角，

∵，即，

，即，

联立解得：，

故选：C.

6．如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大.

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，

则，

则

又，且余弦函数在单调递减，

则当，即时最大.

即该人离此树6米时，看A、的视角最大.

故选：C

7．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项.

【详解】，

，

，

因为，故.

故，

故选：C.

8．如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最小值.

【详解】以为原点建立如图所示平面直角.

依题意，，，

在三角形中，由余弦定理得

.

所以，所以.

而，所以.

在三角形中，由余弦定理得.

所以，所以.

在三角形中，，所以三角形是等边三角形，

所以.

所以，设

依题意令，即，

所以，所以，

所以

.

对于二次函数，其对称轴为，开口向上，所以当时，有最小值，也即有最小值为.

故选：B

【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

二、多选题

9．已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．若，则不可能是纯虚数

C．若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为

D．是关于x的方程的一个根

【答案】ABD

【分析】根据复数的概念、复数的乘法运算、求模公式，可判断A的正误；根据纯虚数的概念，可判断B的正误；根据复数的几何意义，可判断C的正误；将代入方程，计算检验，即可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：设，则，

所以，，

所以，故A正确；

对于B：若为纯虚数，则，

上式无解，所以不可能是纯虚数，故B正确；

对于C：若，则，整理得，

所以在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形是以（0,0）为圆心，1为半径的圆及其内部，

所以面积为，故C错误；

对于D：，

所以是关于x的方程的一个根，故D正确.

故选：ABD

10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则向量在上的投影向量为 D．若，则向量与的夹角为锐角

【答案】AB

【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量在上的投影向量为，即C错误；由可得，但此时向量与的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.

【详解】若，根据平面向量共线性质可得，即，所以A正确；

若，可得，即，解得，所以B正确；

若，，由投影向量定义可知向量在上的投影向量为，即C错误；

若，则，所以；

但当时，，即此时向量与的夹角为零角，所以D错误.

故选：AB

11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（     ）

A．若，则

B．若是边长为1的正三角形，则

C．若，，，则有一解

D．若，则是钝角三角形

【答案】AD

【分析】求得关系判断选项A；求得的值判断选项B；求得有二解否定选项C；求得的形状判断选项D.

【详解】选项A：由，由正弦定理可得，则.判断正确；

选项B：是边长为1的正三角形，

则.判断错误；

选项C：由，，，可得，则，

又，则或.则有二解. 判断错误；

选项D：由，

可得，

则，则,

又，则.则是钝角三角形.判断正确.

故选：AD

12．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．过点的直线交于，若，，则

D．与共线

【答案】ACD

【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.

【详解】

如图，设AB中点为M,则,

,故A正确；

等价于等价于,即，

对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，

若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；

设的中点为,

则，

∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；

,

与垂直,又,∴与共线，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.

三、填空题

13．已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则______．

【答案】

【分析】根据二分法的定义即可求解.

【详解】依题意，

因为，

所以，

，

所以，所以零点所在的区间为；

故第二次计算的值时，，

所以，

所以，所以零点所在的区间为；

故第三次计算的值时，.

故答案为：.

14．已知且zC，则取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据复数模长性质求解即可.

【详解】因为，

所以.

故答案为：

15．已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________.

【答案】9

【分析】根据四边形是菱形,可得,作于,是的四等分靠端,将代入即可求解.

【详解】

因为平行四边形中，，

所以四边形为边长为2的菱形，且，

，，

如图所示，作于，，，

.

故答案为:9

四、双空题

16．在锐角中，角所对的边分别为，且，则=____， 的取值范围为________.

【答案】     20    

【分析】由正弦定理得到，结合和角公式得到；再由余弦定理得到，结合向量数量积公式化简得到，换元后先得到，从而得到，得到，由函数单调性得到答案.

【详解】锐角中，，所以，

由正弦定理得，故，

；

由余弦定理得，即，

，

，

故，

令，则，

因为，

所以

，

其中锐角的终边经过点，故，

因为为锐角三角形，所以，故，

注意到，，

所以，所以，

因为，所以，

从而，

因为，

故在上单调递减，

其中，，

所以的取值范围是.

故答案为：20，

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

五、解答题

17．已知复数，其中i为虚数单位．

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若m＝2，设，试求a＋b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由实部等于0得到实数的值；

（2）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出．

【详解】（1）由题意可得：，且，；

（2）若m＝2，则，

所以，

，，.

18．中，已知.边上的中线为.

(1)求；

(2)从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.

条件①：；条件②；条件③.

【答案】(1)

(2)选择条件②和条件③；.

【分析】（1）利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解；

（2）根据（1）的结果，利用余弦定理可判断条件①错误；根据条件②和条件③，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，进而得到，在中利用余弦定理可得.

【详解】（1）解：因为，

则，

，

又，解得：，故.

（2）解：由（1）得，

又余弦定理得：，所以，

而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，

由条件②，条件③，解得，

由余弦定理可得，所以.

在中，由正弦定理可得，解得，

又，所以，

因为为边上的中线，所以，

在中，由余弦定理可得，解得.

故.

19．已知向量，设.

(1)，求当取最小值时实数t的值；

(2)若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)时

(2)或

【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模；

（2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得到方程，解得即可；

【详解】（1）解：当时，，

所以

所以，所以当时

（2）解：依题意，

若，则，又，，

所以，

又因为，

所以，，

，

则有，且，

整理得，解得或，

所以存在或满足条件．

20．如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，，和.

（1）求烟囱AB的高度；

（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.

【答案】（1）米；（2）米.

【解析】（1）设AB的高度为，利用直角三角形中的特殊角函数值及即可求的值.

（2）由（1）确定的长度，结合余弦定理求，进而求CE的长.

【详解】（1）设AB的高度为在中，，有.

在中，因为，可得.

由题意得，解得.

（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，

所以在中，，得CE=.

答：AB的高为米，CE的长为米.

21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求C；

(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出，进而根据角的范围得出答案；

（2）解法一：由已知可推出，然后根据正弦定理可求出，进而求出，.设，，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出，然后同解法一求得.设，表示出四边形的面积，根据的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得，设点C到BD的距离为h，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD是的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.

【详解】（1）因为，

在中，由正弦定理得，.

又因为，

所以，

展开得，

即，

因为，故，即.

又因为，所以.

（2）解法一：

如图1

设的外接圆的圆心为O，半径为R，

因为，所以，

即，所以，

故BD是的直径，所以.

在中，，，所以.

在中，.

设四边形ABCD的面积为S，，，则，

，

当且仅当时，等号成立.

所以四边形ABCD面积最大值为.

解法二：

如图1

设的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影向量为，

所以.

又，所以，

所以在上的投影向量为，

所以.

故BD是的直径，所以.

在中，，，所以，

在中，.

设四边形ABCD的面积为S，，，

则，，

所以，

当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为.

解法三：

如图1

设的外接圆的圆心为O，半径为R，

因为，所以，即，

所以.

故BD是的直径，所以.

在中，，，所以.

在中，.

设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h，

则，

当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为.

解法四：

设的外接圆的圆心为O，半径为R，

在中，，，

故外接圆的半径.

即，所以.

如图2，以外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，

则，.

 因为C，D为单位圆上的点，设，，

其中，.

所以，，

代入，即，可得，

即.

由可知，

所以解得或，即或.

当时，A，D重合，舍去；当时，BD是的直径.

设四边形ABCD的面积为S，

则，

由知，所以当时，即C的坐标为时，S最大，

所以四边形ABCD面积最大值为.

22．已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，则叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内两点，．

(1)将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；

(2)已知向量，且满足对任意的角成立，试求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据新定义，利用平面向量的坐标运算即可求解（2）根据新定义以及平面向量数量积的坐标运算，将不等式恒成立问题分离参数转化成求最值即可求解

【详解】（1）易得，，

由于将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，

依据题设定义，得．

所以．

设点的坐标为，则有，

从而 解得 ．

所以点的坐标为．

（2）由（1）及题设，得．

因为，

所以

．

因为不等式对任意的角恒成立，

即对任意的角恒成立，

记，则只须．

由于，所以，

所以，

所以，

显然，所以．

故所求实数的取值范围为是．