2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知复数满足，则　　

A．1 B． C． D．5

2．（5分）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是　　

A．和 B．和 

C．和 D．和

3．（5分）　　

A． B． C． D．

4．（5分）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数满足，则的虚部是　　

A．1 B． C． D．

5．（5分）函数的零点个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知中，，，，，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在平面四边形中，，，，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）设为复数，则下列命题中正确的是　　

A． 

B． 

C．若满足，则是纯虚数 

D．若复数，，则

10．（5分）已知向量的夹角为，且，则下列结论正确的是　　

A． 

B． 

C．在中，若，则 

D．若，则实数

11．（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是　　

A．若，则一定是等腰三角形 

B．若，则 

C．若为锐角三角形，则 

D．若，则为锐角三角形

12．（5分）已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，，则下列说法正确的有　　

A． B． C． D．可以取到3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知复数满足，则的最大值为 　　．

14．（5分）已知点，，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为 　　．

15．（5分）已知，，，，，，则　　．

16．（5分）已知圆是四边形的外接圆，，，，则圆的半径为 　　；四边形的面积为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，其中．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

18．（12分）设复数，，其中，．

（1）若复数为实数，求的值；

（2）求的取值范围．

19．（12分）已知函数．．

（1）若，求函数的零点个数；

（2）已知，，若方程在区间，内有且只有一个解，求实数的取值范围．

20．（12分）已知正六边形的边长为1，

（1）当点满足_____时，；

（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；

（3）若点是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围．

21．（12分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．

问题：设内角，，所对的边分别为，，，且______．

（1）求；

（2）若，边的中线，求的面积．

22．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

（1）若函数，求函数的伴随向量；

（2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；

（3）若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．

2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知复数满足，则　　

A．1 B． C． D．5

【解答】解：已知，

则，

即，

故选：．

2．（5分）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是　　

A．和 B．和 

C．和 D．和

【解答】解：，是平面内所有向量的一组基底，

，不共线，

与不共线，

与不共线，

与不共线，

，

故与共线，

故选：．

3．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

故选：．

4．（5分）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数满足，则的虚部是　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：由题意得，

所以，则的虚部是1．

故选：

5．（5分）函数的零点个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：函数的零点个数，就是方程根的个数，

也就是与图象交点的个数，如图：

由图象可知两个函数的交点个数为3，

故选：．

6．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

则．

故选：．

7．（5分）已知中，，，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题可得，

所以，

故选：．

8．（5分）在平面四边形中，，，，，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，

在中，由正弦定理得

即，

由余弦定理得，且，

中，由余弦定理得，，

当时，取得最小值．

故选：．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）设为复数，则下列命题中正确的是　　

A． 

B． 

C．若满足，则是纯虚数 

D．若复数，，则

【解答】解：对于，令，，，故错误，

对于，设，

，，

故，故正确，

对于，设，

，

，

，

，，

为纯虚数，故正确，

对于，设复数，，，，，，

，，，

故，

故，故正确．

故选：．

10．（5分）已知向量的夹角为，且，则下列结论正确的是　　

A． 

B． 

C．在中，若，则 

D．若，则实数

【解答】解：由向量的夹角为，且，可得，

对于选项，，即选项正确；

对于选项，，即选项正确；

对于选项，，即选项错误；

对于选项，，则，

所以，即，即选项错误，

故选：．

11．（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是　　

A．若，则一定是等腰三角形 

B．若，则 

C．若为锐角三角形，则 

D．若，则为锐角三角形

【解答】解：选项，由正弦定理及，得，即，

所以或，所以或，

故为等腰三角形或直角三角形，即选项错误；

选项，由正弦定理知，，

因为，所以，所以，即选项正确；

选项，因为锐角，所以，即，且，，

因为函数在上单调递增，所以，即选项正确；

选项，因为，所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，即选项错误．

故选：．

12．（5分）已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，，则下列说法正确的有　　

A． B． C． D．可以取到3

【解答】解：画出的图象如右图，令，则有，，其△，

关于的方程有2不等根，，且，，不妨设，，

要使已知中关于的复杂方程有4个不等实根，

则关于的2简单方程与总共有4个不等实根，

如图即与，共有4个交点，交点的横坐标即为根，

，，，，且，

当时，，

当时，代入得，选项正确，

此时，

，，．选项错误，

又，，，选项正确，

又，，

，，

，选项错，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知复数满足，则的最大值为 　　．

【解答】解：设，，，

复数满足，，

在复平面内表示圆上的点，

圆的圆心为，半径为，

表示点与点的距离，

的最大值为．

故答案为：．

14．（5分）已知点，，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为 　　．

【解答】解：在平面直角坐标系中，点，，设的倾斜角为，

则，，，，

将向量绕点按顺时针方向旋转后得向量，则与轴正方向所成的角为，

则点的横坐标为，

点的纵坐标为，

即点．

故答案为：．

15．（5分）已知，，，，，，则　　．

【解答】解：，，，，

，，，，

，，，．

，，，，

则．

再结合，，

，

故答案为：．

16．（5分）已知圆是四边形的外接圆，，，，则圆的半径为 　　；四边形的面积为 　　．

【解答】解：连接，

在中，由余弦定理知，，

所以，

由正弦定理知，，

所以圆的半径．

因为圆是四边形的外接圆，所以，

在中，由余弦定理知，，即，

解得，

所以四边形的面积

．

故答案为：；．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，其中．

（1）求，；

（2）求与的夹角的余弦值．

【解答】解：（1），

，

，，．（4分）

（2）（6分）

与的夹角的余弦值为：．（10分）

18．（12分）设复数，，其中，．

（1）若复数为实数，求的值；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，

若复数为实数，则，即，，，

解得：；

（2）由题意，

．

由于，，故，，

，则取值范围是．

19．（12分）已知函数．．

（1）若，求函数的零点个数；

（2）已知，，若方程在区间，内有且只有一个解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），

当时，△，函数有一个零点；（2分）

当时，△，函数有两个零点．（4分）

（2）等价于，

设，，

则原命题等价于两个函数与的图象在区间，内有唯一交点，

当时，在区间，内为减函数，

为增函数，且（1）（1），（2）（2），

所以函数与的图象在区间，内有唯一交点．（6分）

当时，图象开口向下，对称轴为，

所以在区间，内为减函数，为增函数．

则由，

所以．（8分）

当时，图象开口向上，

对称轴为，

所以在区间，内为减函数，为增函数．

则由，

所以．（10分）

综上所述，实数的取值范围为，．（12分）

20．（12分）已知正六边形的边长为1，

（1）当点满足_____时，；

（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；

（3）若点是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围．

【解答】解：（1）建系如图，

则

因为，设，所以，，

又因为，所以，，可得，又因为，

所以，直线，所以，为直线上的任意一点即可（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一），

（2）建系如图，

则，

设，

由，可得：，

所以，解得，

所以．

（3）设，因为点是正六边形内或其边界上的一点，则，则．

21．（12分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．

问题：设内角，，所对的边分别为，，，且______．

（1）求；

（2）若，边的中线，求的面积．

【解答】解：（1）选择条件①：

由正弦定理及，可得，

因为，所以，所以，

又，所以，即．

选择条件②：

由正弦定理及，可得，

因为，所以，

所以，即，

又，所以．

（2）由正弦定理，得，所以，

因为边的中线，

所以，

所以，

解得，

所以的面积为．

22．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

（1）若函数，求函数的伴随向量；

（2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；

（3）若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．

【解答】（1）解：，

函数的伴随向量为；

（2）解：，即，

函数在上有且只有一个零点，

当时，，

当时，，函数在上有且只有一个零点，

则的最大值为；

（3）解：由题意可知：

因此：，

所以，

由已知条件，上式对任意恒成立，必有，

若，由①知：，不满足③式，故，

由②知：，故或，

当时，则①③矛盾，

故，则，

由①③知：，

综上，原式．

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