2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，B={0，1，2，3，4}，则A∩B中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】化简集合A，根据交集运算即可求解.

【详解】，B={0，1，2，3，4}，

，

即元素数是3个.

故选：B

2．若命题，则：（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：因为为全称量词命题，所以．

故选：A

3．某校第34届校田径运动会在今年11月顺利举行，该校高一2001班共有50名学生，有20名学生踊跃报名，其中报名参加田赛的同学有10人，报名参加径赛的同学有13人，则既参加田赛又参加径赛的同学有（    ）

A．2人 B．3人 C．4人 D．5人

【答案】B

【分析】根据题中条件，由参加田赛的人数加上参加径赛的人数减去参赛总人数，即可得出结果.

【详解】因为有20名学生踊跃报名，其中报名参加田赛的同学有10人，报名参加径赛的同学有13人，则既参加田赛又参加径赛的同学有人.

故选：B.

4．命题 使得 成立，若是假命题，则实数的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由是假命题，则命题的否定为真命题，写出命题的否定，利用分离参数的方法求解即可．

【详解】命题，使得成立，若是假命题，

则命题的否定为：，成立，为真命题．

所以在上恒成立，

由，当且仅当时取得等号，

所以 .

故选：A

5．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】∵是偶函数

∴

当时，，又

∴

故选D

6．若正数满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由得到，推出，根据基本不等式即可求出结果.

【详解】因为正数满足，所以，

所以，当且仅当，即时，等号成立.

故选A

【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

7．已知定义在R上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，，，，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】不妨设，利用奇函数关于原点对称，得函数的图象与轴交点关于原点对称，从而可得，再根据一元二次不等式的解法即可得解.

【详解】解：因为函数是定义在R上的奇函数，

则，且函数的图象与轴交点关于原点对称，

不妨设，

则，

所以，

则不等式，

即为，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A.

8．设定义在上的奇函数满足，对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，可知函数为奇函数，并推导出函数在上为减函数，由此可知函数在上也为减函数，且有，然后分和两种情况解不等式，即可得解.

【详解】构造函数，对任意、，且，不妨设，

由可得，即，

所以，，所以，函数在上单调递减，

函数的定义域为，由于函数为奇函数，

则，

所以，函数为奇函数，所以，函数在上也为减函数.

，，从而.

①当时，由可得，即，解得；

②当时，由可得，即，解得.

综上所述，不等式的解集为.

故选：A.

【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则．

二、多选题

9．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解.

【详解】因为集合，集合，

所以等价于即，

对比选项，、均为的充分不必要条件.

故选：BD.

【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.

10．已知，则的值可能为（    ）

A． B． C．24 D．

【答案】BC

【分析】由对数的运算性质求解

【详解】由题意得，，

则时，，同理时，

故选：BC

11．已知关于的不等式的解集为或，则（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．

D．不等式的解集为或

【答案】ABD

【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C．

【详解】由题意可知，A选项正确；

是方程的两根，

则，C选项错误；

不等式即为，解得，B选项正确；

不等式即为，即，解得或，D选项正确．

故选：ABD．

12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数.如，，，以下关于“高斯函数”的性质应用是真命题的有（　　）

A．，

B．，，则

C．，

D．若的定义域为，值域为M，的定义域为N，则

【答案】AB

【分析】A选项可举出实例；B选项可进行推导；C选项可举出反例；

D选项求出和，从而求出并集.

【详解】时，，故A为真命题；

设，则，，∴，故B为真命题；

，时，有，但，故C为假命题．

因为的定义域为，值域为，

的定义域为:，解得：，

所以，对于D，，所以D不正确.

故选：AB

三、填空题

13．函数零点是__________．

【答案】

【分析】令，求解即可.

【详解】令，得，解得或.

故答案为：

14．已知，则_______．

【答案】；

【分析】首先利用换元法求出的表达式，然后代入求值即可.

【详解】令,则，将其代入中得，，即,则.

故答案为：

15．若方程的两个根都在区间内，则实数m的取值范围为_________．

【答案】

【分析】结合已知条件，利用二次函数图像性质即可求解.

【详解】由可知对称轴为：，

因为函数的两个根都在区间内，

所以，

故实数的取值范围为.

故答案为：

四、双空题

16．已知a>0，b>0，a+b=1，则：(1)的最小值是______；(2)的最小值是_________.

【答案】     ##0.8     ##

【分析】对于(1)，配凑变形，利用“1”的妙用求解即得；对于(2)，展开变形成，再将1换成即可利用均值不等式作答.

【详解】（1）因a>0，b>0，a+b=1，则，

于是得，

当且仅当，即时取“=”，

所以，当时，的最小值是；

（2）因a>0，b>0，a+b=1，

则，

当且仅当，即时取“=”，

所以当时，的最小值是.

故答案为：；

五、解答题

17．（1）化简：；

 （2）求值：

【答案】（1）；（2）65

【分析】（1）根据根式的性质与指数幂运算法则即可计算;

（2）由对数运算法则运算即可

【详解】（1）；

（2）

18．已知集合．

(1)求；

(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)根据集合的交集、补集运算的定义直接求解；(2)利用真子集的定义求解.

【详解】（1）由解得或,

∴或

∴

∵

∴．

（2）若，则，不存在这样的实数；

若，因为集合是集合的真子集,

所以或，

解得或,

.综上，实数k的取值范围是或.

19．已知函数f（x）＝x2－ax＋2．

(1)若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；

(2)当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值；

（2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围．

【详解】（1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b]

所以，解得

（2）由f（x）≥1－x2得对恒成立

即在区间恒成立，所以

又，当且仅当时，取等号

所以，即，故实数的取值范围为

20．函数是定义在上的奇函数，且.

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)；

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；

（2）根据函数单调性的定义可证明；

（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.

【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，

经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，

又，解得，

故；

（2）解：函数在上为增函数.证明如下：

在任取且，

则，

因为，

所以，即，

所以在上为增函数.

（3）解：因为为奇函数所以，

不等式可化为，即，

又在上是增函数，所以 ，解得

所以关于的不等式解集为.

21．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每年产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）；

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.

【解析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；

（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．

【详解】（1）因为每件商品售价为6元，则万件商品销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时， ，

所以；

（2）当时，，

此时，当时，取得最大值万元，

当时，，

此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元，

因为，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，

最大利润为15万元.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的选择与应用，考查分段函数，考查基本不等式的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质和基本不等式，属于常考题.

22．已知函数在区间上是单调函数.

（1）求实数的所有取值组成的集合；

（2）试写出在区间上的最大值；

（3）设，令，对任意、，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】（1）对二次函数在区间上是增函数或减函数进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围，由此可得出集合；

（2）利用（1）中的结论可求得关于的表达式；

（3）作出函数的图象，由题意可知，当时，，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出和，进而可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.

①若函数在区间上为增函数，则，解得；

②若函数在区间上为减函数，则，解得.

综上所述，或；

（2）由（1）可知，当时，函数在区间上为增函数，则；

当时，函数在区间上为减函数，则.

综上所述，；

（3）由已知条件可得.

对任意的、，都有成立，则.

作出函数的图象如下图所示：

由题意可得，

①当时，在上单调递减，，，

所以，，解得，不合乎题意；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，，，

所以，，解得，此时；

③当时，在上单调递减，在上单调递增，

，，

所以，，整理得，

解得或，此时；

④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

由图象可得，，

所以，，解得，此时；

⑤当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

由图形可知，，，

所以，，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．