2022-2023学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且，那么实数(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程即可求解k的值．

【详解】∵，，且，

∴－2×(－2)＝1×k，

解得k＝4．

故选：C．

2．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：

则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.

【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.

【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.

3．将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”.根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由题设公式以及复数的几何意义求解即可.

【详解】

即表示的复数对应的点的坐标为，位于复平面中的第二象限.

故选：B

4．=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式及和角余弦公式，即可求值.

【详解】原式.

故选：C

5．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意和三角函数的同角关系求出，利用正弦定理计算即可求出a.

【详解】因为，，

所以，

由正弦定理，得，

所以.

故选：A.

6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.

【详解】由正弦定理得，即，

由于为三角形内角，所以.

故选：C.

7．在边长为2的等边△ABC中，D为AC的中点，M为AB边上一动点，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】以为基底向量，利用向量的线性运算可得，再根据数量积可得，结合二次函数求最小值．

【详解】如图：以为基底向量，

设

∵

∴当时，取到最小值

故选：D．

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.

【详解】因为，，

所以或；

若，则，

此时（舍）；

若，则，

此时（符合题意），

所以，

即；

因为且，

所以且，

解得，，

则，

所以.

故选：C.

二、多选题

9．下列有关复数的叙述正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则的虚部为

C．若，则不可能为纯虚数 D．若复数z满足，则

【答案】ACD

【分析】根据复数的运算、复数的概念判断各选项即可．

【详解】对A，，所以，A正确；

对B，，虚部是，B错误；

对C，，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；

对于D，设，因为，

由得，则，所以D正确.

故选：ACD．

10．已知向量，，它们的夹角为60°，则（    ）

A． B．

C． D．向量与向量的夹角为90°

【答案】ABD

【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，即可判断；对于D，判断是否为0即可.

【详解】对于选项A，，所以A正确；

对于选项B，，所以B正确；

对于选项C，，所以C错误；

对于选项D，，所以，所以D正确，

故选：ABD

11．(多选题)下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C．cos2－sin2 D．

【答案】AC

【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用切化弦以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用正切的二倍角公式的可求解D；

【详解】A符合，原式；

B不符合，原式；

C符合，原式；

D不符合，原式..

故选：AC.

12．在中，内角、、所对应边分别为、、，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若点为的重心，则

C．若，的三角形有两解，则的取值范围为

D．若点为内一点，且，则

【答案】ABD

【分析】利用余弦函数的单调性可判断A选项；利用重心的几何性质可判断BD选项；数形结合求出的取值范围，可判断C选项的正误.

【详解】对于A选项，因为且余弦函数在上为减函数，

所以，，A对；

对于B选项，连接交边于点，则为的中点，且，如下图所示：

，

所以，，所以，，B对；

对于C选项，若，的三角形有两解，如下图所示：

由图可得，即，C错；

对于D选项，若点为内一点，且，

作，，则，则为的重心，

由重心的几何性质可知，设，

因为，所以，，同理可得，，

所以，，因此，，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．若是方程的解，则在区间________内(填序号).

①；②；③；④.

【答案】③

【分析】构造函数，利用零点存在定理即可判断函数零点所在区间，即方程的根所在区间.

【详解】构造函数，则，，

显然函数f(x)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点，

，，则函数的零点在区间上，

所以的解在区间上．

故答案为： ③．

14．若（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________.

【答案】

【分析】利用复数的运算，求得，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，复数，

又由复数为纯虚数，则，即，解得.

【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

15．已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为________．

【答案】

【分析】利用投影向量的定理可得结果.

【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为.

故答案为：.

四、双空题

16．如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里；小岛C与小岛D之间的距离为___________海里．

【答案】         

【分析】由正弦定理求解，由余弦定理求解

【详解】圆的内接四边形对角互补，C为锐角，，

在三角形中，由正弦定理得，得.

在三角形中，由余弦定理得

解得，（负根舍去）.

故答案为：    

五、解答题

17．已知复平面内复数，，所对应的点分别为，，．

(1)求，的值；

(2)求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据复数在复平面内的坐标得到复数，，，再根据复数代数形式的运算法则计算可得；

（2）首先求出，，再根据向量的夹角公式计算可得；

【详解】（1）解：因为复平面内复数，，所对应的点分别为，，，

所以，，，

所以，

（2）解：因为，，，

所以，，

所以，

，

所以

18．在中，，，分别为内角，，的对边，且满.

（1）求的大小；

（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由题中条件，根据正弦定理，得到，再由余弦定理，即可求出结果；

（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出，再由余弦定理，求出，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出，得到，进而可求出三角形面积.

【详解】（1）因为，

又由正弦定理，得

，

即，

所以，

因为，

所以.

（2）方案一：选条件①和②.

由正弦定理，得.

由余弦定理，得

，

解得.

所以的面积.

方案二：选条件①和③.

由余弦定理，得

，

则，所以.

所以，

所以的面积.

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.

19．已知，为锐角，，

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】根根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，转化为，即可求解；

根据已知得与的值，由，即可求解．

【详解】（1）；

（2）因为，所以，

，，

又，为锐角，所以，

，

，

 所以

20．已知函数.

(1)求函数的值域；

(2)在中，角的对边分别为，若，求的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简，进而可求值域；

（2）根据结合正弦型函数的性质可得，进而由余弦定理以及不等式即可求解.

【详解】（1）解：，

∴的值域为．

（2）解：由（1）知，即，

由 ,得

∴，即，

又由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立．

∴，

∴的面积的最大值为，当且仅当时取得．

21．如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且；

(1)求线段的长度，

(2)设与相交于点，求的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，把作为基底，再根据题意将用基底表示出来，然后求出其模即可，

（2）将用表示出来，然后利用向量的夹角公式求解即可

【详解】（1）设，则，

，即.

（2）因为，

所以

所以.

因为

所以.

因为，

所以

22．在平面四边形ABCD中，，，，，△BCD的面积为．

(1)求的值；

(2)求边BC的长．

【答案】(1)

(2)14

【分析】（1）由已知结合同角平方关系先求出，然后结合三角形内角和及诱导公式即可求解；

（2）在△ABD中，由正弦定理，结合诱导公式可求得，结合三角形的面积公式可求得，最后利用余弦定理可求解.

【详解】（1）解由题意得：

在△ABD中，因为

所以

故

．

（2）由（1）得

又，所以．

在△ABD中，由正弦定理，

因为，所以

在△BCD中，

所以．