2023-2024学年江苏省扬州市邗江区高一下学期期中数学试题

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说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. 2D.
2. 在中，若，则等于（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
3. 如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则
A. B.
C. D.
4 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
5. 已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 不确定
6. 如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（ ）米时，看A、的视角最大.
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面四边形中，，，，，，若点F为边上的动点，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 若，则不可能是纯虚数
C. 若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
D. 是关于x的方程的一个根
10. 已知平面向量，，，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则向量在上的投影向量为D. 若，则向量与的夹角为锐角
11. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若是边长为1的正三角形，则
C. 若，，，则有一解
D. 若，则是钝角三角形
12. 对于给定，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B
C. 过点的直线交于，若，，则
D. 与共线
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则______．
14. 已知且zC，则取值范围为___________.
15. 已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________.
16. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则=____， 的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数，其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m＝2，设，试求a＋b的值．
18. 中，已知.边上的中线为.
（1）求；
（2）从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②；条件③.
19 已知向量，设.
（1），求当取最小值时实数t的值；
（2）若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.
20. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，，和.
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C；
（2）若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
22. 已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，则叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内两点，．
（1）将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
（2）已知向量，且满足对任意的角成立，试求实数的取值范围．