2022-2023学年广东省佛山市禅城区荣山中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市禅城区荣山中学七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用科学记数法表示数，其结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知：如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是(    )

A. 相等
B. 互余
C. 互补
D. 互为对顶角

5.  如图，下列说法不正确的是(    )

A. 与是同位角
B. 与是同位角
C. 与是内错角
D. 与是同旁内角

6.  一个正方形的边长为，若它的边长增加，则面积增加了．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若一个正方体的棱长为米，则这个正方体的体积为(    )

A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米

9.  “百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度单位：米分与时间单位：分之间的大致图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：；；如果，则有；其中正确的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知，则的余角为______
 

12.  如图，，若，，则的度数为______．

13.  一个长方形的长、宽分别为、，周长为，面积为，则 ______ ．

14.  如图，为的中线，为的中线若的面积为，，则中边上的高为______ ．

15.  甲、乙两车分别从，两地同时相向匀速行驶当乙车到达地后，继续保持原速向远离的方向行驶，而甲车到达地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达地设两车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，与之间的函数关系如图所示，当甲车到达地时，乙车距离地______ 千米．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；

 

18.  本小题分
如图，在小明的一张地图上，有、、三个城市，但是图上城市已被墨迹污染，只知道，，你能用尺规帮他在图中确定城市的具体位置吗？

 

19.  本小题分
填空并完成以下证明：
已知，如图，，，于，求证：．
证明：已知
______．
已知
______
____________
已知
____________
______
____________
．

20.  本小题分
如图，在四边形中，点为对角线上一点，，，且．
证明：≌；；
若，，请求出的长度．

21.  本小题分
阅读下面的材料，然后解答后面的问题：
在数学中，“算两次”是一种常用的方法其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立例如，我们运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到等式．
理解：运用“算两次”的方法计算图中最大的正方形的面积，可以得到的等式是______ ；
应用：七班某数学学习小组用个直角边长为、的全等直角三角形拼成如图所示的中间内含正方形与的正方形，运用“算两次”的方法计算正方形的面积，可以得到的等式是______ ；
拓展：如图，已知中，，，，，点是上一动点求的最小值．

 

22.  本小题分
星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店．买到彩笔后继续往家走．如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
自变量是______，因变量是______；
小颖家与学校的距离是______米；
小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？
买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是多少米分？

23.  本小题分
将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起如图，其中，，．
若，求的度数；
试猜想与的数量关系，请说明理由；
若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案．
本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据零指数幂的运算法则计算即可．
本题主要考查了零指数幂的运算．任何非数的次幂等于．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：图中，对顶角相等，
又，
，
，
两角互余．
故选：．
根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余．
本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：、和是同位角，说法正确，故选项不符合题意；
B、和是同位角，说法正确，故选项不符合题意；
C、和是内错角，说法正确，故选项不符合题意；
D、和不是同旁内角，说法错误，故选项符合题意．
故选：．
根据同位角、内错角和同旁内角的定义判断即可，同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
本题主要考查了“三线八角”，同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
先根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】
解：根据题意得：


，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
，
解得．
故选：．
根据完全平方公式求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

8.【答案】 

【解析】解：正方体的体积，
，
，
故选：．
根据正方体的体积公式计算，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解．
本题考查了负整数指数幂的运算，按照幂的运算性质进行计算即可，比较简单，本题要注意科学记数法的表示形式．
 

9.【答案】 

【解析】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与轴平行；最后米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡．
故选项B符合题意．
故选：．
根据小雅的速度的变化判断即可．
本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
故正确；

故正确；
，
，，
与不平行，
故错误；
，
即，
又，
，
故正确；
综上，正确，
故选：．
根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断与平行；由题意得，，得；综上，即可得．
本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的余角，
故答案为：．
根据“和为的两个角互为余角”求解即可．
此题考查了余角，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由，利用平行线的性质先求出的度数，再求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质定理，熟练运用性质定理是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：长方形的周长为，面积为，
，，
，，
．
故答案为：．
根据，，应用完全平方公式，求出的值是多少即可．
此题主要考查了完全平方公式的应用，以及长方形的周长和面积的求法，要熟练掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：作，

为的中线，为的中线，
，，，
的面积为，，
，
解得，
故中边上的高为．
故答案为：．
根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出的面积，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了三角形的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知：，甲，乙两车小时相遇，
，
甲车小时到达地，
甲的速度为，
乙的速度为，
当甲车到达地时，也就是小时的时候，乙车走了，
乙车距离地，
故答案为：．
由图可知之间的距离为，甲，乙小时相遇，可以求出甲乙两车的速度和，小时的时候，两车之间的距离开始减小，说明甲车到达地，开始返回，从而求出甲车的速度，进一步得到乙车的速度，问题便迎刃而解了．
本题考查了函数的图象，明白函数表示的两车之间的距离，认真分析图象中的起点和拐点的含义是解题的关键．
 

16.【答案】解：


．
当，时，原式． 

【解析】根据整式的四则运算顺序先乘除，后加减及整式的运算法则对代数式进行化简，然后将、的值代入．
本题考查整式的混合运算，关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则．
 

17.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用单项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：如图所示，点为求作的点． 

【解析】连接，以为边，为顶点作，以为顶点作，两边交于点，如图所示．
此题考查了作图应用与设计作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
 

19.【答案】  同位角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等    等量代换  同位角相等，两直线平行    两直线平行，同位角角相等 

【解析】证明：已知，
．
已知，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
，两直线平行，同位角角相等
．
故答案为：；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角角相等．
先根据垂直的定义得出，再由得出，故可得出，根据得出，所以，由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：在与中，
，
≌；
由得，≌，
，
；
解：≌，
，，
． 

【解析】由证明与全等即可；
根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；
根据与全等的性质解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：从整体上看为边长为的正方形，
所以面积为，
从各个部分的面积和为，
所以；
正方形的边长，因此面积为，
也可以看做边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形的面积，
即，
因此有：；
由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得，
当时，最短，
由三角形的面积可得，
，
即，
，
答：的最小值为．
利用“算两次”方法，先从整体上看是边长为的正方形的面积，再利用块“分面积”的和即可；
正方形的边长为，因此面积为，也可以看做边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形的面积；
当时，最短，由三角形的面积计算可得．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．
 

22.【答案】时间  距离   

【解析】解：根据题意可得，
自变量是时间，因变量是距离．
故答案为：时间，距离；
根据题意可得，
小颖家与学校的距离是米；
故答案为：；
根据题意可得，
米，
答：小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是米；
根据题意可得，
米分．
答：买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是米分．
根据自变量和因变量的定义进行判定即可得出答案；
根据图象可知，当时间时，距离为米，即可得出答案；
根据函数图象可得，先走米，再返回米，此时距离家的距离是米，计算即可得出答案；
根据图象可得知，买到彩笔后，小颖距离家的距离是米，所用时间为分钟，计算即可得出答案．
本题主要考查了函数的图象及常量与变量，准确理解函数图象中的信息进行求解求解是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
．
理由如下：
，
，
；
当或时，．
如图，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图，根据内错角相等，两直线平行，
当时，． 

【解析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．
由，，可得出的度数，进而得出的度数；
根据中的结论可提出猜想，再由，可得出结论；
根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．