2022-2023学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 科克曲线

2.  如果，那么下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式，从左到右变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在平面直角坐标系内，将先向左平移个单位，再向下平移个单位，移动后的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    )

A. 三边的中垂线的交点 B. 的三条中线的交点
C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点

7.  现有甲、乙两种运输车将吨物资运往地甲种运输车载重吨，乙种运输车载重吨，每种车都不能超载已安排甲种车辆，要一次性完成该物资的运输，则至少安排乙种车辆．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  用反证法证明“若，则，至少有一个不小于”时，第一步应假设(    )

A. ，都小于 B. ，不都小于 C. ，都不小于 D. ，都大于

10.  在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，则下列四个结论：；；是等边三角形；的周长是其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则 ______ 度

13.  如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是______ ．

14.  如图，将直角三角形沿方向平移的长度得到三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为______．

15.  如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边的中点，，绕点旋转分别交线段，于，两点，连接，周长的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组；
分解因式：．

17.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法；
求证：．

18.  本小题分
今年科技节，学校要对获得“最强大脑”和“综合能力大赛”的共个获奖者进行颁奖，要求“综合能力大赛”的获奖人数不少于“最强大脑”获奖人数的倍．
求“最强大脑”获奖者最多为多少人？
如果颁发给“最强大脑”获奖者的奖品单价是元，颁发给“综合能力大赛”获奖者的奖品单价是元，那么“最强大脑“获奖者是多少人时，奖品总金额最少？

19.  本小题分
智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，．
操作与实践：
步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的．
应用与求解：
智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______ ．

20.  本小题分
如图，的高、交于点，．
求证：是等腰三角形；
连接，证明平分．

21.  本小题分
已知直线：，：．
当时，求直线与的交点坐标；
若直线与的交点在第一象限，求的取值范围；
若等腰三角形的底边长、腰长分别为中的整数解，直接写出该三角形的面积是______ ．

22.  本小题分
材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
如图，将一个边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于，的等式：______ ．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
如图，将一个棱长为的正方体木块挖去一个棱长为的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式： ______ ，将等式右边因式分解，即 ______ ；
根据以上探究的结果，如图所示，拼叠的正方形边长是从开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为，求阴影部分的面积．
计算：．

23.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，．
求出 ______ ；
若平分，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
，
，
故B不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意，
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
则，
，
解得：，
在数轴上表示为：
．
故选：．
直接解不等式，进而在数轴上表示即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平移后的坐标为，即坐标为，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握平移规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得到三条角平分线的交点到三条边的距离相等．
故选：．
由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：设乙种车安排了辆，
，
解得．
因为是正整数，所以最小值是．
则乙种车至少应安排辆．
故选：．
现用甲，乙两种运输车将吨抗旱物资运往灾区，此题的等量关系是：甲种车运输物资数乙种车运输物资数吨．设乙种运输车应安排辆，根据不等关系就可以列出不等式，求出的值．
本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，理解汽车的载重量与货物的数量之间的关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，





．
故选：．
首先根据，可得，然后把化成，再把代入计算即可．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是要明确完全平方公式并能应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：“若，则，至少有一个不小于”第一步应假设：，都小于．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

10.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，
所以正确；
绕点逆时针旋转，得到，
，，
为等边三角形，
所以正确，
，，
，
，即，
，
所以错误；
，，
的周长，
所以错误．
故选：．
根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，于是根据平行线的判定可对进行判断；由绕点逆时针旋转，得到得到，，则根据边三角形的判定方法得到为等边三角形，于是可对进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，于是可对进行判断；最后利用，和三角形周长定义可对进行判断．
本题考查了旋转的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找到公因式．直接提取公因式即可．
【解答】

解：，
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，
，，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
由题意得到是等腰直角三角形，于是得到．
本题考查等腰直角三角形，关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集是．
故答案为：．
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】 

【解析】解：直角三角形沿方向平移的长度得到三角形，
，，
，
，
，
故答案为．
根据阴影部分的面积等于梯形的面积求解即可．
本题考查平移变换，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
是等腰直角三角形，
，，，
是的中点，
，，，
，
，
，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
的周长，
当的长最小时，的周长最小，
当时，的长最小，
此时，
：：，
，
，
是的中位线，
，
的周长最小值是．
故答案为：．
连接，由条件可以证明≌，得到，，因此是等腰直角三角形，得到，于是的周长，当时，的长最小，由三角形中位线定理求出的长，即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，关键是连接，证明≌，得到的周长．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：；



． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答；
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作：

证明：连接，如图，
，
，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
利用基本作图作已知线段的垂直平分线作出垂直平分；
连接，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质得，则，接着计算出，利用含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到结论．
 

18.【答案】解：设“最强大脑”获奖者有人，则“综合能力大赛”的获奖人数为人，由题意得，
，
解得，
为整数，
的最大值为，
答：“最强大脑”获奖者最多为人；
设“最强大脑“获奖者有人，奖品总金额为元，
，
，
随着的增大而减小，
由可知，的最大值为，
当时，有最小值为元，
答：“最强大脑“获奖者是人时，奖品总金额最少． 

【解析】设“最强大脑”获奖者有人，则“综合能力大赛”的获奖人数为人，由题意列出不等式即可得出答案；
设“最强大脑“获奖者有人，奖品总金额为元，得出，由一次函数的性质可得出答案．
此题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出函数关系式和不等式．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，、为所作；

如图，绕点旋转得到，即旋转中心的坐标为．
故答案为：．
先利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点得到；再利用点和点的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律得到点、的坐标，然后描点得到
；
连接、、，它们都经过点，则将绕点旋转得到，然后写出点坐标得到旋转中心的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

20.【答案】证明：、是的高，
与是直角三角形，
在与中，
，
≌，
，
，
即是等腰三角形；
证明：≌，
，，
，
，
即，
、是的高，
点在的平分线上，
即平分． 

【解析】先利用证明与全等，然后根据全等三角形对应角相等可得，再根据等角对等边的性质可得，所以是等腰三角形；
根据中≌，然后利用全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得，然后利用等角对等边可得，相减可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，证明出全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】或 

【解析】解：当时，，
，
联立，
解得，
直线与的交点坐标为；
联立，
解得，
直线与的交点坐标为，
直线与的交点在第一象限，
，
解得，
的取值范围是；
取得整数解为，，
分情况讨论：
当，时，如图所示：

过点作于点，
则，
根据勾股定理，得，
的面积为；
当，时，如图所示：

作于点，
则，
根据勾股定理，，
的面积为，
综上所述，等腰三角形的面积为或，
故答案为：或．
当时，联立，即可确定两直线交点坐标；
联立，求出两直线交点坐标，再根据直线与的交点在第一象限，可得，解一元一次不等式组求解即可；
取得整数解为，，分情况讨论：当，时，当，时，分别求出底边上的高，再进一步求三角形面积即可．
本题考查了一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，熟练掌握求一次函数交点坐标的方法是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：由题意得，．
故答案为：．
；
等式右边因式分解得，

故答案为：，
由题意得，



答：阴影部分的面积为．



．
根据图即可得出答案；
根据图，分别得出每个立体图形的体积，然后加起来，即可得出答案．
利用平方差公式求出每一小部分阴影的面积，即可得出正确结果．
根据第小题所得的等式，把算式进行分解即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式与因式分解的应用，学会运用数形结合得思想解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：点，点，
，，
过点作于，

直线轴，点在轴上，
，
．
故答案为：；
设点，
直线轴，
，
平分，
，
，
，即，
解得：或，
即点或．
根据三角形的面积公式即可得到结论；
证明，即，即可求解．
本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积公式，等腰三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，根据等腰三角形的判定和平行线的性质证得是解决问题的关键．