专题20 多边形内角和定理的应用（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题20 多边形内角和定理的应用

1.了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．

2.会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；

3.能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．

一、多边形

1.        多边形：

在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．

多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．

2.多边形的对角线：

从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．

3．多边形的角：

n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.

【特别提醒】

（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.

（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.

（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.

例1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）

A．60° B．65° C．55° D．50°

【答案】A

【解析】

解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，

∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，

∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，

∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，

∴∠P=180°﹣120°=60°．

故选：A．

二、平面图形的镶嵌

1．镶嵌的定义

用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．

2．平面图形的镶嵌

(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；

(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；

(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.

【特别提醒】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.

例2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是(　　)

A．正方形和正六边形           B．正三角形和正方形

C．正三角形和正六边形         D．正三角形、正方形和正六边形

【答案】A.

【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝

360°，但是m、n没有正整数解，故选A.

【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.

1．（2022·北京清华附中朝阳学校）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】

利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．

【详解】

解：360°÷60°=6．

故该正多边形的边数为6．

故选：D．

2．（2022·仪征市实验初中）正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（  ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【分析】

设正六边形的中心是，一边是，过作于，在直角中，即可求得边长．

【详解】

解：如图，∵这个多边形为正六边形，

∴这个多边形的一个内角的度数为，

∴∠OAB=60°，

∴∠AOG=30°，

在中，，

∴，

∴

故选A．

3．（2022·重庆字水中学九年级）一个多边形的每个外角都是36° ，则该多边形的内角和为（　　 ）

A．900° B．1800° C．1440° D．1080°

【答案】C

【分析】

利用外角和除以外角的度数可得正多边形的边数，再利用内角和公式可得正多边形的内角和．

【详解】

解：多边形的边数：360÷36=10，

内角和：180°×（10-2）=1440°，

故选：C．

4．（2022·云南昭通·）如图，在学习折叠时，嘉嘉惊奇地发现将等边三角形的沿着与两边相交的一条直线折叠，无论折痕在哪里，只要落到内，都是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设折痕EF交AB于点E，交AC于点F，点A的对应点落在点D处，根据△ABC为等边三角形，可得 ， ， ，再利用四边形的内角和定理，可求出，最后利用邻补角的定义，即可求解．

【详解】

解：如图，设折痕EF交AB于点E，交AC于点F，点A的对应点落在点D处，

∵△ABC为等边三角形，

∴ ， ， ，

在四边形AEDF中，

∴ ，

∵ ， ，

∴，

∴．

故选：C．

5．（2022·全国）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．

【详解】

延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，

∵

∴

同理得

∵

∴

∵

∴

∴

∴,

故选：A．

6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】

根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．

【详解】

解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：

，

解得x=，

则BD=，

∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，

，

则∠BFD=22.5°，

∴外接圆直径d=BF=，

根据题意知周长÷d==，

故选：C．

7．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）中心角为30°的正多边形边数为_____．

【答案】12

【分析】

根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．

【详解】

解：因为360°÷30°=12．

所以这个正多边形的边数为12．

故答案为：12．

8．（2022·济南市章丘区实验中学九年级月考）一个正多边形的内角和等于720°，则它的边数是_____．

【答案】6

【分析】

根据正多边形的内角和公式（n−2）×180°列方程求解．

【详解】

解：（n−2）×180°＝720°，
n−2＝4，
∴n＝6．
故答案为：6．

9．（2022·河北）（1）填表：

（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？

（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．

【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析

【分析】

（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；

（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；

（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．

【详解】

解：（1）∵三角形中只有一个钝角，

∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；

∵四边形的内角和为360°，

∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；

∵五边形的内角和为540°，

∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；

答案：1，2，3；

（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．

即m＝n﹣2；

（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；

设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，

∵凸n边形的n个外角和为360°，

∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，

讨论n≠8时的情况：

（1）当时n＞8，m的值是7；

（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；

（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；

综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．

10．（2022·山东滨州市·九年级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道，计算边形的对角线条数公式为：．如果一个边形共有20条对角线，那么可以得到方程．整理得；解得或，为大于等于3的整数，不合题意，舍去．，即多边形是八边形．根据以上内容，问：

（1）若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；

（2）小明说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为小明同学说法正确吗?为什么?

【答案】（1）多边形是六边形；（2）多边形的对角线不可能有10条．

【分析】

（1）根据多边形的对角线公式列出方程求解即可；

（2）根据多边形的对角线公式列出方程，根据所求得的解要为正整数分析即可．

【详解】

解：（1）根据题意得：，整理得：，

解得：或．

为大于等于3的整数，

不合题意，舍去．

，即多边形是六边形；

（2）小明同学说法是不正确的，理由如下：当时，

整理得：，

解得：，

符合方程的正整数不存在，

多边形的对角线不可能有10条．