专题21 三角形中位线定理的应用（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题21 三角形中位线定理的应用

1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

3．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．

一、三角形的中位线

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．

二、三角形中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

三、由三角形中位线定理可以推出：

1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．

2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．

3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．

例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

证明：连接BD．

∵E、H是AB、AD的中点，

∴EHBD．

∵F、G是BC、CD的中点，

∴FGBD，

∴EHFG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

例2、已知，如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点．求证：EF<(AB＋CD)．

证明：取BC的中点G，连接EG、FG．

∵E为AC的中点，G为BC的中点，

∴EG=AB．

∵F为BD的中点，G为BC的中点，

∴FG=CD．

在△EFG中，EF<EG＋FG，

∴EF<(AB＋CD)．

1．（2022·全国）厨房角柜的台面是三角形（如图），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．易证明此图中分割的四个三角形的面积都相等．所以黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3．

【详解】

解：如图，

∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点

∴DF=BE=EC，EF=AD=BD，DE=AF=FC

∴△BDE≌△ADF≌△CEF≌△DEF

∴S△BDE=S△ADF=S△CEF=S△DEF

∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3．

故选：C．

2．（2022·湖南新田县·九年级期中）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3

【答案】B

【分析】

根据三角形的中位线定理，可得 ， ，从而 ，即可求解．

【详解】

解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，

∴ ， ，

即 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴：S四边形DBCE=1：3．

故选：B．

3．（2022·浙江诸暨市暨阳初级中学）如图，已知在△ABC中∠BAC ＞ 90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（    ）

A．∠C＝∠EFD B．∠B＝∠BFD C．BF∥DE D．△ABC的面积等于△BDF的面积

【答案】D

【分析】

根据折叠的性质直接可判断选项A，连接CF，再根据中点的性质和折叠的性质可得DF＝CD，继而即可判断选项B，根据中位线定理即可判断选项C，利用中点的性质判定选项D．

【详解】

解：连接CF，

∵将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，

∴∠C＝∠EFD，DF＝CD，EF＝CE故选项A说法正确，

∵点D为BC的中点，

∴BD＝CD，

∴BD＝DF，

∴∠B＝∠BFD，故选项B说法正确，

∵∠EAF＝∠B＋∠ACB,∠AFE＝∠DFE＋∠BFD，

∴∠EAF＝∠AFE,

∴AE＝EF，

∴AE＝CE，

又BD＝CD，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BF∥DE，故选项C说法正确，

由折叠的性质可得：△CDE≌△FDE，

∴S△CDE＝S△FDE，

∴AE＝CE，

∴S△ADE＝S△CDE，S△AEF＝S△CEF，

∴S△ABC＝S△ABD＋2S△ADE，S△BDF＝S△ABD＋S△ADF，故选项D说法错误，

故选：D．

4．（2022·西城·北京四中）如图，在中，点D，点E分别是的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】

根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形计算，得到答案．

【详解】

解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC=7（cm），

在Rt△AFC中，点E是AC的中点，

∴FE=AC=5（cm），

∴DF=DE-EF=2（cm），

故选：B．

5．（2020·四川省内江市第六中学九年级月考）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　）

A．19 B．18 C．17 D．16

【答案】C

【分析】

根据全等三角形的判定证得△ABN≌△EBN，从而得到BA＝BE，AN＝NE，同理证得CA＝CD，AM＝MD，再由中位线的性质得到DE的长，然后由线段之间的关系即可得到结果．

【详解】

∵BN平分∠ABC，

∴∠ABN＝∠EBN，

∵BN⊥AE，

∴∠ANB＝∠ENB＝90°，

在△ABN和△EBN中，，

∴△ABN≌△EBN（ASA），

∴BA＝BE，AN＝NE，

同理可得：CA＝CD，AM＝MD，

∵AN＝NE，AM＝MD，MN＝，

∴DE＝2MN＝3，

∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BE+BC+CD＝BC+BC+DE＝17．

故选：C．

6．（2022·杭州市十三中教育集团（总校））如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．

【详解】

解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，

设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵DE=，
∴.

故选：A．

7．（2022·浙江九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．

【答案】3

【分析】

过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．

【详解】

解：过E作EG∥BC，交AC于G，

∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，

∴DG=CG，，

∴EG=6，

又∵AD：DC=1：2，

∴AG：AC=2：3，

∵EG∥BC，

∴，

∴FC=9，

∵BC=12，

∴BF=BC-FC=3，

故答案为：3．

8．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级）如图，正方形ABCD，延长BC至点E，使CE＝CD．直线EF分别交AB、CD于点F、G，在FG上取点H，使∠BHF＝45°，若FH＝6，△DEF的面积为130，则DG的长为___．

【答案】

【分析】

作DM⊥EF于M，BT⊥FE于T，截取NE=MD，连接CM、CN，根据正方形的性质可得C、M、D、E四点共圆，

根据AAS可得△CMD≌△CNE，由等腰直角三角形的判定与性质可得∠CNM=∠FHB=45°，再根据中位线性质及相似三角形的判定与性质及三角形面积公式可得答案．

【详解】

解：作DM⊥EF于M，BT⊥FE于T，截取NE=MD，连接CM、CN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCE=∠DME=∠DCB=90°，

∴C、M、D、E四点共圆，

∴∠MDC=∠NEC，∠DCM=∠ECN，

∴△CMD≌△CNE（AAS），

∵∠ECN+∠DCN=90°，MC=NC，

∴∠MCG+∠NCG=90°，即∠MCN=90°，

∴△MNC为等腰直角三角形，

∴∠CNM=∠FHB=45°，

∴CN∥BH，

∵BC=CE，

∴CN是△BHE的中位线，设NE=NH=MD=x，

∵S△DEF=x（6+2x）=130，

∴x=10，FE=6+10×2=26，

∵∠ABC=∠BTF=90°，∠BFE=∠TFB，

∴△BFE∽△TFB，

∴TB2=TF•TE，

设TF=a，

∴TB=TH=6-a，TE=26-a，

∴a=1，TB=5，

∴FB=，

∴CG=，

∴BE=，

故答案为：．

9．（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）如图，在正方形中，对角线．

（1）在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

（2）在（1）中，连接，于，交边于点，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）先作BC的垂直平分线与BC交于E点，连接AE与BD交于F，即为所求；

（2）延长交于点，过作，先证明，得到，再证明，得到，由此求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，点即为所求；

先作BC的垂直平分线与BC交于E点，连接AE与BD交于F，即为所求；

如图所示，G为AD的中点，连接CG交BD于H，

∵E是BC的中点，G是AD的中点，四边形ABCD是正方形，

∴AG=EC，AG∥EC，

∴四边形AGCE是平行四边形，

∴EF∥CG，

∴FE是△BCH的中位线，

∴BF=FH，

同理得到DH=FH，

∴DF=2BF；

（2）解：延长交于点，过作，

，．

，且，

．

，

，

，

，

，

，

，

．

在正方形中，，，

，，

，

．

10．（2022·重庆市南华中学校九年级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF=AB，连接DE，AD，EF，DF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．

【答案】（1）见解析；（2）EF=5．

【分析】

（1）证DE是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DE=AB，证出DE=AF，DE∥AF，即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出EF=AD，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得AD=BC=5，即可得出答案．

【详解】

（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DE=AB，

∵AF=AB，

∴DE=AF，DE∥AF，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，

∴EF=AD，

∵AB=6，AC=8，BC=10，

∴AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

∵点D是BC的中点，

∴AD=BC=5，

∴EF=AD=5．