人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时课时练习

第三章　3.2　3.2.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C )

A．2  B．2

C．4　　  D．4

[解析]　将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.

2．“m＝1”是“双曲线－＝1的离心率为2”的( C )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　∵双曲线－＝1的离心率为2，

∴a2＝m>0，b2＝3.

∵e＝＝＝＝2，

∴m＝1.

∴“m＝1”是“双曲线－＝1的离心率为2”的充要条件．故选C.

3．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( A )

A．1　　  B．2

C．4　　  D．8

[解析]　设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，e＝＝，所以a＝1.

4．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( D )

A.  B．2

C．6  D．4

[解析]　双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0得：y2＝12，y＝±2 ，∴|AB|＝4.选D.

5．(多选)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( CD )

A．当a>b时，e1>e2 B．当a＜b时，e1＜e2

C．当a>b时，e1＜e2 D．当a＜b时，e1>e2

[解析]　 依题意得e1＝＝，

e2＝＝，

因为－＝＝，

由于m>0，a>0，b>0，所以当a>b时，＜，2＜2，即e1＜e2，

当a＜b时，>，2>2，即e1>e2，

所以当a>b时e1＜e2，当a＜b时e1>e2.

二、填空题

6．双曲线C：－＝1的左、右焦点为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则|PF1|－|QF1|＝_4__.

[解析]　a＝2.由双曲线的对称性知，点Q在双曲线C的左支上，且|PF2|＝|QF1|，所以由双曲线的定义得|PF1|－|QF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a＝4.

7．已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝_－3__.

[解析]　依题意得m<0，双曲线的方程可表示为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.

8．以下三个关于圆锥曲线的命题：

①设A，B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．

其中真命题的序号为_②③__(写出所有真命题的序号)．

[解析]　①平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k(k＜|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k＝|AB|时，表示射线，∴①不正确；

②方程2x2－5x＋2＝0的两根是2和，2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心率，②正确；

③双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1的焦点都是(±，0)，有相同的焦点，③正确；故答案为②③.

三、解答题

9．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．

[解析]　∵点A与圆心O连线的斜率为－，

∴过A的切线的斜率为4.

∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.

设双曲线方程为x2－＝λ.

∵点A(4，－1)在双曲线上，

∴16－＝λ，λ＝.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

10．设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．

[解析]　由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为c得，＝c.

将b＝代入，平方后整理得，

162－16·＋3＝0.

解关于的一元二次方程得＝或.

∵e＝，∴e＝或e＝2.

因0<a<b，故e＝＝＝>，

所以应舍去e＝，故所求离心率e＝2.

B组·素养提升

一、选择题

1．(多选)双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为( BC )

A.  B．

C．  D．

[解析]　当焦点在x轴上时，＝，

∴e＝＝＝，

当焦点在y轴上时，＝，

∴e＝＝＝，故选BC.

2．(2023·江西模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是( D )

A.  B．

C.或  D．1＋

[解析]　由题意易知F(－c,0)，A(a,0)，设B(0，b)，

则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2.

由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|，

即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得c2－2a2－2ac＝0，

又e＝，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±，

又双曲线中e>1，所以e＝1＋.

3．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且<α<，则双曲线的离心率的取值范围是( B )

A．(1，)　  B．(，2)

C．(1,2)  D．(2,2)

[解析]　∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y＝x，则tan α＝.

∵<α<，

∴1<tan α<，即1<<，

∴1<＝<3，

求得<<2.

故选B.

4．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为________厘米．( A )

A．20　　  B．30

C．40　　  D．50

[解析]　由题意作出轴截面如图：

M点是双曲线与截面的一个交点，

设双曲线的方程为：－＝1，(a>0，b>0)．

花瓶的最小直径A1A2＝2a＝16 cm，则a＝8，

离心率为，可得c＝，

所以b＝＝，则双曲线的方程为

－＝1，由颈部高为20厘米，得yM＝10，

代入双曲线方程化简可得－＝1，解得xM＝10，

所以瓶口直径为20厘米．

二、填空题

5．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为_(3,0)__，C的焦点到其渐近线的距离是 　.

[解析]　双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.

6．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为 　.

[解析]　 记r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，由r1＝3r2及r1－r2＝2a，得r1＝3a，r2＝a，又由余弦定理知，r＋r－2r1r2cos∠F1PF2＝4c2，得7a2＝4c2，从而e＝＝.

7．(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值_2__.

[解析]　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，

∴≤4，

∴e2＝＝1＋≤5，

又e>1，∴e∈(1，]，

∴填写(1，]内的任意值均可．

三、解答题

8．若F1、F2是双曲线－＝1的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

[解析]　由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，

所以c＝5.

由双曲线的定义得，

||PF1|－|PF2||＝2a＝6.

上式两边平方得，

|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100，

由余弦定理得，

cos∠F1PF2＝

＝＝0，

所以∠F1PF2＝90°.

9．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．

(1)求双曲线方程；

(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．

[解析]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为

－＝1(a>0，b>0)，则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝，∴所求的双曲线方程为x2－＝1.

(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，

∴l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)．

令x＝0得M(0,2k)，

∵||＝2||且M、Q、F共线于l，

∴＝2或＝－2，

当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，

∴Q，

∵Q在双曲线x2－＝1上，

∴－＝1，∴k＝±，

当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－＝1，∴k＝±，

则所求的直线l的方程为：

y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．