2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学二调试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学二调试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D. 无解

6.  已知点在反比例函数的图象上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点，，均在上，若，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  某机械厂七月份生产零件万个，第三季度共生产零件万个设该厂八，九月份平均每月的增长率为，则可以得到关于的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在同一时刻，身高米的小丽在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则这棵树的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.  游泳池完成换水需要经过“排水清洗注水”三个过程如图，图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系则该游泳池清洗所用的时间为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  把用科学记数法表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围为______ ．

13.  计算的结果是______ ．

14.  把多项式分解因式的结果是______ ．

15.  不等式组的解集是______ ．

16.  抛物线的顶点坐标是______ ．

17.  不透明的布袋中装有个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是______ ．

18.  已知扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为______．

19.  等腰三角形的面积为，，那么 ______ 或______ ．

20.  如图，在正方形中，点在上，在延长线上，连接与对角线交于点，连接，若，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

22.  本小题分
图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、在小正方形的顶点上．
在图中画出关于直线的对称线段，并直接写出点到直线的距离．
在图中画出一个四边形点、都在小正方形的顶点上，使四边形为中心对称图形且面积为．

23.  本小题分
云扬中学为了解学生本学期的课外阅读情况，李老师随机抽查部分学生，并对其课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图已知抽查的学生阅读量为本的人数占抽查总人数的，根据所给出信息，解答下列问题：

在这次调查中，一共抽取了多少名学生；
请通过计算补全条形统计图；
若该校共有名学生，请你估计阅读本及本以上课外书的学生有多少名．

24.  本小题分
已知：在菱形中，对角线所在的直线上有两点、，且，连接，，，．

如图，求证：≌；
如图，连接与相交于点，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都是面积的倍．

25.  本小题分
乐乐超市购进件甲型卫衣和件乙型卫衣共用了元，其中每件甲型卫衣的进价比每件乙型卫衣的进价多元．
求每件甲型卫衣和每件乙型卫衣的进件各多少元；
若每件甲型卫衣售价比每件乙型卫衣的售价多元，且这批卫衣全部售出后，超市获利不少于元，那么每件乙型卫衣的售价至少是多少元？

26.  本小题分
已知：、是的直径，弦，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，连接．

如图，求证：；
如图，过点作交于点，垂足为，求证；
如图，在的条件下，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，，求的长．

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点．

求，的值；
如图，点在上点不与点、点重合，线段的垂直平分线与射线相交于点，设点的横坐标为，线段的长，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，点在上，连接，过点作，垂足为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在抛物线上，连接并延长交于的，连接并延长交于点，若，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
运用相反数的定义：实数的相反数是进行求解．
此题考查了相反数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：，选项错误；
，选项错误；
，选项错误；
，选项正确．
故选：．
利用合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法计算．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
．
故选：．
把代入函数可求出的值．
本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
首先利用圆周角定理可得的度数，再根据等边对等角可得，进而可得答案．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：该机械厂七月份生产零件万个，且该厂八，九月份平均每月的增长率为，
该机械厂八月份生产零件万个，九月份生产零件万个．
根据题意得：．
故选：．
由该机械厂七月份的产量及该厂八，九月份平均每月产量的增长率，可得出该机械厂八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，结合该厂第三季度共生产零件万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
，
，
米．
故选：．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
排水的速度为：

，
排水用的时间为：，
清洗用的时间为：，
故选：．
根据函数图象中的数据，可以计算出排水的速度，从而可以求得排水用的时间，然后再根据函数图象中的数据，即可计算出该游泳池清洗所用的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
把各二次根式化为最简二次根式，再算减法即可．
本题考查的是二次根式的加减法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

15.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为．
故答案为：．
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式直接写出顶点坐标．
 

17.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次都摸到白球的有种结果，
所以两次都摸到白球的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】 

【解析】解：设半径为，
，
解得：，
故答案为：
根据弧长公式直接解答即可．
此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答．
 

19.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于，
设，则，
在中，，
，
整理得，，
解得或，
所以，或，
或．
故答案为：；．
作出图形，过点作于，设，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后根据勾股定理列式求出，再根据三角形的面积公式列式计算求出的值，即可得解．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理三角形的面积，解一元二次方程，综合题，但难度不大，作出图形更形象直观．
 

20.【答案】 

【解析】解：过点分别作，，如图：

四边形是正方形，是对角线，
，，
，，
，，
又，
≌，
，，
在中，，
，
，
，
设，则，
，
，即，
在中，．
故答案为：．
先过分别作、边上的垂线，构造全等三角形，得出线段相等，再由线段相等得出、的长度，然后利用勾股定理即可求解．
本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，综合运用性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式

；
当时，
原式． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将的值化简后代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，把所求式子化简．
 

22.【答案】解：如图中，线段即为所求；

如图中，四边形即为所求． 

【解析】利用轴对称变换的性质作出的对应点即可；
根据中心对称图形的定义利用数形结合的思想解决问题．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解抽样调查的总人数为名，
一共抽取了名学生；
阅读量为本的人数为名，
学生在假期阅读量为本的人数为名；
补全的统计图如图所示：


名，
估计阅读本及本以上课外书的学生有名． 

【解析】根据学生在假期阅读量为本的人数可求出总人数；
先求出学生在假期阅读量为本的人数，直接补全统计图即可；
全校总人数乘以阅读本及本以上的学生所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
由可知，，
四边形是菱形，
，
，
，
又，
≌，
，
，
同理．
综上所述，，，，的面积是三角形面积的倍． 

【解析】由菱形的性质证出，得出，根据可证明≌；
由菱形的性质证出，得出，由可知，，证出≌，证出，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设每件甲型卫衣的进价为元，每件乙型卫衣的进件为元，
由题意可得：，
解得，
答：每件甲型卫衣的进价为元，每件乙型卫衣的进件为元；
设每件乙型卫衣的售价为元，则每件甲型卫衣的售价元，
由题意可得：，
解得，
每件乙型卫衣的售价至少是元． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
 

26.【答案】证明：是切线，
，
，，
，
，
，
；
证明：，，
，，
，
，
，，
≌
，
；
解：连接，过作于，延长交的延长线于点，

，
设，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，，
，，
≌
，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，，，，
，，
，，
，，，
，
． 

【解析】利用切线的性质和可证，根据圆周角定理可得，即可得证；
利用垂径定理可得，，证明≌，得出，即可得证；
连接，过作于，延长交的延长线于点，设，，利用等角对等边可证，证明≌，可得，进而可证为正方形，利用等角的正切值相等可得，证明是等腰直角三角形，可得出，根据，，可求出，，，根据，即可求出．
本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、正方形形的判定与性质．
 

27.【答案】解：由题意可得：
，
解得：，
过点作轴于点，过作轴于点，如图：

，，，
点在直线的垂直平分线上，
，
轴，
，
的横坐标为，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
，
，，
设，则，，，
，
，过作轴，

，
，
，
，
设，，
，
点落在抛物线上，
，
或舍去，
，，，
，，，
过作交的延长线于点，
，
，，
，，，
≌，
，
，过作轴于点，
，
，，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为． 

【解析】直接用待定系数法即可求解．
由点的坐标转化为线段的长，然后数形结合即可求解．
要求直线的解析式，需要表示出直线上两个点的坐标，通过全等找到线段之间的关系，然后设未知数表示出点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式．
本题主要考查利用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线与直线的交点问题，解题关键是正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．