2023年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
 

A. 等边三角形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正五边形

4.  六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，是的直径，弦于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某厂家今年二月份的口罩产量是万个，四月份的口罩产量是万个则该厂家二月份到四月份的口罩产量的月平均增长率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“”，“”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之积为的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，点、、分别在边、、上，，，则下列比例式中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  甲、乙两车从城出发沿同一条笔直公路匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是(    )

A. A、两城相距千米
B. 乙车比甲车早出发小时
C. 乙车的速度为
D. 当时，乙车追上甲车

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  一颗中高轨道卫星距离地面高度大约是米，将数据用科学记数法表示为______ ．

12.  函数中，自变量的取值范围是______．

13.  反比例函数的图象经过点，则______．

14.  计算：______．

15.  因式分解：        ．

16.  二次函数的最大值是______ ．

17.  不等式组的解集是        ．

18.  已知扇形的圆心角为，弧长为，则它的半径为______．

19.  已知，矩形的对角线、相交于点，，，点是对角线上一点，，连接，则的长为______ ．

20.  如图，在正方形中，点在边上，点在边上，于点，若
，，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．

在方格纸中将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，请画出；
在方格纸中画出以为腰的等腰三角形点在小正方形的顶点上，使的正切值为连接，请直接写出线段的长．

23.  本小题分
某中学开展了以“我最喜欢的家乡景点”为主题的调查活动，围绕“在太阳岛、防洪纪念塔、中央大街、索菲亚教堂四个景点中，你最喜欢哪一个？必选且只选一个”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢太阳岛的学生人数占所调查人数的请你根据图中提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
请通过计算补全条形统计图；
若该中学共有名学生，请你估计该中学最喜欢中央大街的学生共有多少名．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，点在边上，连接、，若，平分．

如图，求证：四边形是菱形；
如图，连接交于点，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中长度等于的线段．

25.  本小题分
在“抗击疫情”期间，某社区预计购买、两种防疫物品其中每件种防疫物品的价格比每件种防疫物品的价格多元，如果用元购买种防疫物品与用元购买种防疫物品的数量相同．
求每件种防疫物品和每件种防疫物品分别是多少元？
现要购买、两种防疫物品共件，总费用不超过元，那么最多能购买种防疫物品多少件？

26.  本小题分
已知四边形内接于，是的直径，，垂足为点，连接．
如图，求证：；
如图，延长交于点，连接交于点，若，求证：；
如图，在的条件下，过点作交于点，连接并延长交于点，若，求的长．
 

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点，：：．
如图，求的值；
如图，点为线段上一动点，过点作轴，交线段于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，过点的直线交轴于点，点关于直线的对称点为点，为线段延长线上一点，，连接并延长交轴于点，交线段于点，为线段延长线上一点，连接，，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，题中几何体的左视图为：

故选：．
根据左视图的方法直接得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
根据三角函数求得，再根据勾股定理求出，即可求得．
本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该厂家二月份到四月份的口罩产量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
即该厂家二月份到四月份的口罩产量的月平均增长率为，
故选：．
设该厂家二月份到四月份的口罩产量的月平均增长率为，根据四月份的口罩产量二月份的口罩产量该厂家二月份到四月份的口罩产量的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．
由旋转性质知≌，据此得、，继而可得答案．
【解答】
解：由题意知≌，
则，，
，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，总共有四种等可能结果，其中两次次记录的数字之积为的情况有种，

两次记录的数字之积为的概率是：，
故选：．
结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案．
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图法求解概率的性质，从而完成求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
，
，
∽，
，
故A正确；
，
∽，
，，
故B正确；
不一定等于，
故D错误；
，
∽，
，
故C正确；
故选：．
由∽，得到，由∽，得到，，由∽，得到，于是即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，、两城相距千米，故选项A错误，不符合题意；
乙车比甲车晚出发小时，故选项B错误，不符合题意；
乙车速度为，故选项C错误，不符合题意；
由得：，
当时，乙车追上甲车，故选项D正确，符合题意；
故选：．
由函数图象可直接判断选项A，B错误；根据速度等于路程除以时间可判断选项C错误；列方程求出乙车追上甲车的时间，可判断选项D正确．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是算术平方根时，被开方数非负．
 

13.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
解得．
故答案为：．
接把点代入反比例函数，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
顶点坐标为，
，函数存在最大值，
当时，最大值为．
故答案为：．
找到该函数的顶点坐标，根据，即可找到该函数的最大值．
本题考查二次函数的最值，熟练形如的函数性质是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：根据弧长公式代入求解即可．
【解答】
解：，
．
故答案为．  

19.【答案】或 

【解析】解：四边形是矩形，且对角线、相交于点，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
当点在上，则点是的中点，
，，
，
；
当点在上，则点是的中点，
，
，
，
故答案为：或．
由矩形的性质得，，因为，所以，则是等边三角形，于是得，即可由，证明，当点在上，则点是的中点，所以，则；当点在上，则点是的中点，此时，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明是等边三角形是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，
，
≌，
，
，，
，，
，
，
，
，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
由正方形的性质可得，，由“”可证≌，根据三角函数的定义和勾股定理可得的长，最后由勾股定理可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

21.【答案】解：原式

，


，
当时，
原式
． 

【解析】首先化简，然后把的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
本题主要考查了分式的化简求值，要熟练掌握，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

22.【答案】解：如图，即为所求．
如图，等腰三角形即为所求．
．
 

【解析】根据平移的性质作图即可．
取格点，使为直角边分别为和的直角三角形的斜边，且即可；利用勾股定理计算即可．
本题考查作图平移变换、等腰三角形的判定、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握平移的性质、等腰三角形的判定、解直角三角形、勾股定理是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：名，
答：在这次调查中，一共抽取了名学生；
名，
补全条形图如下：

名，
答：估计该中学最喜欢中央大街的学生共大约有名． 

【解析】根据最喜欢太阳岛的学生人数占所调查人数的即可得出答案；
先求出最喜欢防洪纪念塔的人数，再补全统计图；
利用样本估计总体即可．
本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，平行四边形是菱形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
，
；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
图中长度等于的线段的线段是、、、． 

【解析】根据平行线性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，，，根据等边三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到；根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：设每件种防疫物品元，则每件种防疫物品元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
，
答：每件种防疫物品元，每件种防疫物品元．
设种防疫物品能购买件，则种防疫物品购买件，
根据题意得：，
解得：，
答：种防疫物品最多能购买件． 

【解析】设每件种防疫物品元，根据用元购买种防疫物品与用元购买种防疫物品的数量相同得：，解方程并检验可得答案；
设种防疫物品能购买件，根据总费用不超过元得：，即可解得答案．
本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系列出方程和不等式．
 

26.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
证明：，，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
；
解：连接、、，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，

设，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，

设，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据圆内接四边形对角互补得，，再根据，得，即可证明结论；
利用证明≌，得，再说明，进而解决问题；
连接、、，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，通过导角可得，从而得出，再利用圆周角定理得是等腰直角三角形．得的长度，解可得和的长，利用，求出的长，从而求出，进而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

27.【答案】解：在中，令，得，令，得，
，，
，
在 中，令，得，
，
，
，
：：，
，
，
，
把代入直线，
得，
解得：，
的值是；
过点作轴于，轴于，如右图：
，
四边形为矩形，
，
直线的解析式为，
点横坐标为，代入直线解析式得，
轴，
点横坐标为，代入直线解析式得，
，
；
过点作于，轴于，过点作于，交轴于，过点作于，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
过直线过，
，
解得：，
解析式为：，
连接、，
、关于直线对称，
为线段的垂直平分线，
，，
又，
≌，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理，
，
，
，
，
，
把代入的解析式 得：
，
解得：，
，，，
设解析式为，把，代入得，
，
解得，，
解析式为，
，
，
设解析式为，则，
解析式为，
延长交轴于点，
≌，
，
，
轴，
，
，关于对称，
，
，
，
把代入到得，
，
解得：，
解析式为，
联立方程组得，，
解得，，
． 

【解析】在中，令，得，令，得，得，，由：：，可得，再用待定系数法即得的值是；
过点作轴于，轴于，由点横坐标为，得，，故，即得；
过点作于，轴于，过点作于，交轴于，过点作于，由，得，可得解析式为：，连接、，知≌，有，而，得，，而，即可得，由，知，根据，得，有，同理，得，代入的解析式 得，故，，，解析式为，又，设解析式为，延长交轴于点，求出，代入到可得解析式为，联立方程组得，，即得．
本题考查一次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，锐角三角函数，对称变换等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．