2022年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学一模试卷（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨市阿城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

7. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为

A.  B.
C.  D.

8. 分式方程的解是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，点在上，过点作交于点，过点作交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为他们行进的路程与甲出发后的时间之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是

A. 甲的速度是
B. 乙的速度是
C. 乙比甲晚出发
D. 甲比乙晚到地
 

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 年月日北京冬奥会开幕式仅在中国大陆地区的观看人数就达到约人，将用科学记数法表示为______．
12. 若使分式有意义，则的取值范围为______．
13. 计算：______．
14. 把多项式分解因式的结果是______．
15. 不等式组的解集是______．
16. 一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积______结果保留．
17. 二次函数的最大值是______．
18. 一个不透明的袋子中装有两个黑球和一个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为______ ．
19. 已知，是的高，且，若，，则的长为______．
20. 如图，四边形中，，，，，在上，连、，若，，则______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共60分）

21. 先化简，再求值，其中．
22. 如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，石线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
    在方格纸中画出以为边的菱形，点、在小正方形的顶点上，且菱形面积为，请直接写出菱形的周长；
    在方格纸中画出以为对角线的正方形，点、在小正方形的顶点上，在的左边．
23. 为了促进学生课后服务多样化，某校组织开展了第二课堂，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团要求人人参与社团，每人只能选择一项为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图：
    
    此次共调查了多少人？
    请将条形统计图补充完整；
    若该校有名学生，请估计喜欢其它类社团的学生有多少人？
24. 已知：在矩形中，是对角线，于点，于点．
    如图，求证：；
    如图，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的．

25. 在第届北京冬奥会举办期间，某中学举办了以“童心绘冬奥一起向未来”为主题绘画比赛．学校计划购买、两种学习用品奖励学生，已知购买一个种学习用品比购买一个种学习用品多用元，若用元购买种学习用品的数量是用元购买种学习用品数量的一半．
    求、两种学习用品每件多少元？
    经商谈，商店给该校购买一个种学习用品赠送一个种学习用品的优惠，如果该校需要种学习用品的个数是种学习用品个数的倍还多个，且该公司购买、两种奖品的总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个种学习用品？
26. 已知，四边形是的内接四边形，在的延长线上，连接，是四边形的对角线，，．
    如图，求证：；
    如图，在的延长线上，连接，若，求证：；
    如图，在的条件下，若，，，求的长．

27. 如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点直线的解析式为．
    求抛物线的解析式；
    点为抛物线第一象限函数图象上一点，设点的横坐标为，连接交轴于点，交于点，设的长为，求与的函数关系式，直接写出的取值范围；
    在的条件下，若点在对称轴的右侧且被平分，连接，将绕点逆时旋转度得到，过点作交直线于点，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查倒数的概念．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
 

2.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据合并同类项判断选项；根据完全平方公式判断选项；根据积的乘方判断选项．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．
 

4.【答案】

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，得，
，
，
，故选项A不符合题意，
，故选项B不符合题意，
，故选项C不符合题意，
，故选项D符合题意，
故选：．
根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以判断各个选项是否正确．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

6.【答案】

【解析】解：连接，
为的切线，
，
，，
，则，
故B．
故选：．
直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出的长．
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为：，即．
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

8.【答案】

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

9.【答案】

【解析】解：、，
∽，
，错误，故本选项符合题意；
B、，
∽，
，正确，故本选项不符合题意；
C、，
∽，
，正确，故本选项不符合题意；
D、，
，
，
，
，正确，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由图可知，
甲用小时走完全程，可得速度为，故A错误；
乙比甲晚出发一小时，用小时走完全程，可得速度为，故B错误；
乙比甲晚出发，故C正确；
甲比乙晚到地，故D错误．
故选：．
由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快，根据图象一一判断即可．
此题主要考查函数的图象，考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
 

11.【答案】

【解析】解：数字科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
由得：，
由得：
故不等式组的解集为．
故答案为：．
首先把不等式组的每一个不等式的解集求出，然后求出不等式组的公共解集即可．
考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

16.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则进行计算即可．
此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．
 

17.【答案】

【解析】解：，
时，取最大值为，
故答案为：．
由二次函数解析式可得函数最大值为．
本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

18.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两次摸出的小球都是黑球的结果数为，
所以两次摸出的小球都是黑球的概率．
故答案为．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是黑球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】或

【解析】解：当为锐角时，

在中，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，

当是钝角时，如图，

此时，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为或．
分为两种情况：当为锐角和为钝角，当为锐角时，首先求出，证∽，得出，代入即可求出即可解决问题，当为钝角时，同理可以求出的长．
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能证两三角形相似，并进一步得出比例式，题目比较好，难度适中．
 

20.【答案】

【解析】解：过点作于点，

，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
由勾股定理得：；
，
，
又，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
在和，

≌．
．
故答案为：．
过点作于点，利用含角的直角三角形的性质求得，则的值可求，再用勾股定理求得、和的值，然后判定为等边三角形，之后判定≌，由全等三角形的性质可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式


，
当时，原式．

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，菱形即为所求．
，
四边形的周长为；


如图，正方形即为所求．

【解析】利用数形结合的思想作出图形即可；
根据正方形的定义作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解： 人，
答：此次共调查了人；
艺术类有人，
其它类有人，
将条形统计图补充完整如下：

人，
答：估计喜欢其它类社团的学生有人．

【解析】根据体育类的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数；
根据中的计算和扇形统计图中的数据，可以计算出艺术类和其它的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出喜欢文学类社团的学生有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
于点，于点，
，
在和中，，
≌，
；
解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的理由如下：
，
，
，
，
，
，
，，
的面积矩形的面积，
≌，
的面积矩形的面积；
作于，如图所示：
，
，
的面积矩形的面积，
同理：的面积矩形的面积．

【解析】由证明≌，即可得出结论；
由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，，得出的面积矩形的面积，由全等三角形的性质得出的面积矩形的面积；作于，由直角三角形的性质得出，得出的面积矩形的面积，同理：的面积矩形的面积．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：设购买一个种学习用品需要元，则购买一个种学习用品需要元．
 根据题意得：，
解得：，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个种学习用品需要元，购买一个种学习用品需要元；
设该校购买种学习用品个数为个，则购买种学习用品的个数是个．
由题意得：，
解得：，
答：该校最多可购买个种学习用品．

【解析】设购买一个种学习用品需要元，则购买一个种学习用品需要元，由题意：用元购买种学习用品的数量是用元购买种学习用品数量的一半．列出分式方程，解方程即可；
设该校购买种学习用品个数为个，则购买种学习用品的个数是个，由题意：商店给该校购买一个种学习用品赠送一个种学习用品的优惠，且该公司购买、两种奖品的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
；
解：作于点，作于点，

，
，
，，
，
≌，
，，
≌，
，，，
，
，
，
，
设，则，
，，
，，
，
解得，舍去，
，，，
，
，
，，
，
，
作于点，
设，则，，
，
，
解得，不合题意舍去，
，，，
，
作于点，
，
设，，，，
，
，
解得，
．

【解析】根据平行线的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
根据圆周角定理得到，，根据圆内接四边形的性质得到，求得，等量代换得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
作于点，作于点，根据圆周角定理得到，根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的想在，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：在中，当时，，
；
当时，，
解得：，
．
将，代入，
得：，
解得：．
抛物线解析式为．
设点的坐标为，过点作轴于交轴于，如图．
，
，即．
，
，
．
如图过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，过点作于点，
在中，当时，，
解得：，，
点的坐标为，，
，点为线段的中点，
，
∽，
，
，
又点在直线上，
，
解得：，，
或，
抛物线的对称轴是直线，点在对称轴的右侧．
不合题意舍去，
，
，，
绕点逆时旋转度得到，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求得直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线解析式：，
联立方程组得，
解得：，
点坐标为．

【解析】利用直线的解析式求得点、的坐标，代入抛物线解析式求出、即可得出答案；
设点的坐标为，过点作轴于交轴于，由，可得，即可求得答案；
过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，过点作于点，由点为线段的中点，可得点的坐标，代入直线，可求得，由旋转的性质可证得≌，得出，再运用待定系数法分别求出直线、的解析式，联立方程组求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，旋转变换的性质等，综合性强，难度较大，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．