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2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学调研试卷（四）（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学调研试卷（四）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学调研试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −5的相反数是( )
A. −5 B. 5 C. 15 D. −15
2. 下列运算正确的是( )
A. a8÷a2=a4 B. (−2x2)(−3x3)=6x6
C. (m−n)2=m2−n2 D. ( 2+1)( 2−1)=1
3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是由6个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 反比例函数y=2x的图象位于( )
A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限
6. 已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，则m的值是( )
A. 4 B. 2 C. −2 D. −4
7. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 400x2=625 B. 625x2=4000
C. 625(1−x)2=400 D. 400(1+x)2=625
8. 一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为( )
A. 30πcm2 B. 60πcm2 C. 120πcm2 D. 180πcm2
9. 如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD于点F，G，则下列式子一定正确的是( )
A. AFCF=AGDG
B. ABCE=CFAF
C. BFFG=EFBF
D. ADDG=ABDE
10. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作.当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 机器每分钟加油量为3L
B. 机器工作的过程中，每分钟耗油量为0.5L
C. 油箱中油量为油箱容积的一半时，x的值是40
D. 当10
11. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨.据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg.将数据500000用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=23x−1中自变量x的取值范围为______ ．
13. 计算：6 12− 8=______．
14. 把多项式ax2−9ay2分解因式的结果是______．
15. 方程2x−5=1x−2的解为x= ______ ．
16. 不等式组x+1≥−1x2<1的解集是______ ．
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=CD=AD，则∠C的大小为______ ．
18. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为______ ．
19. 在△ABC中，AB=AC=6，线段AC的垂直平分线分别交AC，直线AB于点D，E，若DE=4，则线段BE的长为______ ．
20. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，其中AE=CE+AD，点F在CB的延长线上，连接AF，且∠BAF=12∠AED，若BF=2，则△ABE的周长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式(a+2a2−2a−8a2−4)÷a−2a的值，其中a=3tan30°−2．
22. (本小题7.0分)
如图是一个16×6的正方形的网格图，已知线段AB和线段EG，点A，B，E，G都在小正方形的顶点上．
(1)画出以AB为边的矩形ABCD，要求点C，D都在小正方形的顶点上；
(2)画出以EG为对角线的菱形EFGH(点F在EG的左侧)，要求菱形EFGH的面积为20；
(3)连接CF，DF，请直接写出∠CFD的度数．
23. (本小题8.0分)
4月15日是全民国家安全教育日，为增强全民国家安全意识，某校随机抽取一部分学生进行了知识问卷调查活动.对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”、“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
(1)本次活动共抽取了多少名学生？
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)请估计该校1500名学生中，调查成绩较差的学生有多少名．
24. (本小题8.0分)
已知：在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2AD，点E为AB的中点，连接CE，∠DCE=∠DAB．
(1)如图1，求证：四边形AECD为菱形；
(2)如图2，连接AC，当AD=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为30°的四个角．
25. (本小题10.0分)
某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运450吨货物与B型机器人每天搬运500吨货物所需台数相同．
(1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)该公司计划采购A、B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2340吨，那么最多购买A种型号的机器人多少台？
26. (本小题10.0分)
已知：△ABC内接于⊙O，过点C作⊙O的切线，交线段AB的延长线于点D，连接OC，∠ACO=∠BCD．
(1)如图1，求证：AB为⊙O的直径；
(2)如图2，弦CE⊥AB，垂足为点F，弦AG//CD，求证：AG=2CF；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接CG交线段OF于点H，且HF=BF，若△CDH的面积为2 2，求△ACG的面积．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+x+8交x轴于点A(−4,0)、B，交y轴于点C．
(1)求点B的坐标；
(2)点D是第一象限抛物线上的一点，连接AD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，线段CE的长为d，求d与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，当4
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：−5的相反数是5．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=a6，所以A选项错误；
B、原式=6x5，所以B选项错误；
C、原式=m2−2mn+n2，所以C选项错误；
D、原式=2−1=1．
故选：D．
根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据单项式乘单项式法则对B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断；利用平方差公式对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了整式的运算．
3.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】A
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵k=2>0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A．
由反比例函数k>0，函数经过一三象限即可求解；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的性质和图象是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：y=x2+mx，
∴对称轴为直线x=−m2×1=2，
解得m=−4，
故选：D．
根据二次函数对称轴的公式即可求解．
本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：400(1+x)2=625．
故选：D．
利用第三年植树棵数=第一年植树棵数×(1+该校植树棵数的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
设扇形的半径为r cm，
则l=nπr180，
即10π=150×π×r180，
解得：r=12，
∴S=12rl=12×12×10π=60π(cm2).
故选：B．
先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△AFG∽△CFB，
∴AFCF=AGBC，
故A错误；
∵△ABF∽△CEF，
∴ABCE=AFFC，
故B错误；
∵BFFG=CFAF，EFBF=CFAF，
∴BFFG=EFBF，
故C正确；
∵△ABG∽△DEG，
∴ABDE=AGDG，
故D错误，
故选：C．
由相似三角形的判定和性质即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得：机器每分钟加油量为30÷10=3(L)，故A正确，不符合题意；
机器工作的过程中，每分钟耗油量为30−560−10=0.5(L)，故B正确，不符合题意；
∵302÷3=5(min)，10+(30−302)÷0.5=40(min)，
∴油箱中油量为油箱容积的一半时，x的值是5或40，故C错误，符合题意；
设10
解得：k=−0.5b=35，
∴当10
由图象可得机器每分钟加油量为30÷10=3(L)，判断A正确；机器工作的过程中，每分钟耗油量为30−560−10=0.5(L)，判断B正确；分两种情况列式可算得油箱中油量为油箱容积的一半时，x的值是5或40，判断C错误；用待定系数法可得当10
11.【答案】5×105
【解析】解：500000=5×105．
故答案为：5×105．
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
12.【答案】x≠13
【解析】解：由题意得：
3x−1≠0，
解得：x≠13．
故答案为：x≠13．
根据分母不为0可得：3x−1≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
13.【答案】 2
【解析】解：原式=6× 22−2 2
=3 2−2 2
= 2．
故答案为 2．
先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=6× 22−2 2，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
14.【答案】a(x+3y)(x−3y)
【解析】解：ax2−9ay2
=a(x2−9y2)
=a(x+3y)(x−3y)，
故答案为：a(x+3y)(x−3y)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15.【答案】−1
【解析】解：去分母得：2(x−2)=x−5，
去括号得：2x−4=x−5，
解得：x=−1，
故答案为：x=−1．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】−2≤x<2
【解析】解：x+1≥−1①x2<1②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为−2≤x<2，
故答案为：−2≤x<2．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】120°
【解析】解：连接OC、OD，
∵AB为⊙O的直径，BC=CD=AD，
∴∠BOC=∠COD=∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠A=12×(180°−60°)=60°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∴∠BCD=120°，
故答案为：120°．
根据圆周角定理求出∠AOD=60°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A=60°，根据圆内接四边形的性质求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
18.【答案】49
【解析】解：∵1到9的自然数中偶数有2，4，6，8一共4个，
∴从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为49，
故答案为：49．
根据概率计算公式进行求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
19.【答案】1或11
【解析】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图，
∵DE是AC的垂直平分线，AB=AC=6，
∴∠ADE=90°，AD=12AC=3，
∵DE=4，
∴AE= AD2+DE2= 32+42=5，
∴BE=AB−AE=1；
②当△ABC是钝角三角形时，如图，
∵DE是AC的垂直平分线，AB=AC=6，
∴∠ADE=90°，AD=12AC=3，
∵DE=4，
∴AE= AD2+DE2= 32+42=5，
∴BE=AB+AE=11；
故答案为：1或11．
分两种情况，①△ABC是锐角三角形，②△ABC是鈍角三角形，作出简图，由垂直平分线的性质可得AD=12AC=3，由勾股定理可求得AE的长度，即可求BE．
本题主要考查垂直平分线的性质，解答关键是熟记垂直平分线的性质．
20.【答案】9+ 17
【解析】解：将△ABF沿AB翻折到△ABM，连接ME，过M点作MN⊥AE，如图：
由翻折可得：△ABF≌AABM，
∴FB=BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AB//CD，
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
设CD=x，DE=a，则CE=x−a，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=x2+a2，
∵AE=CE+AD=2x−a，
∴x2+a2=(2x−a)2，
∴a=34x，
即CE=14x，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠AED，
∵BAF=12∠AED，
∴∠BAM=12∠AED=12∠BAE，
即AM是∠BAE的角平分线，
∵MN⊥AE，MB⊥AB，
∴BM=MN，
又∵BF=2，
即BF=BM=MN=2，
在Rt△ABM和Rt△ANM中，
AM=AMBM=MN，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，
∴AB=AN=x，
∵AE=AD+CE=x+14x=54x，
∴EN=AE−AN=54x−x=14x，
又CE=14x，
∴EC=EN，
在Rt△MCE和Rt△MNE中，
ME=MEEC=EN，
∴Rt△MCE≌Rt△MNE(HL)，
∴MC=MN，
即MC=2，
∴BC=BM+MC=4，
∴CE=14x=1，
∴a=34x=3，
∴DE=3，
∵AE=CE+AD=2x−a=2×4−3=5，
在Rt△BCE中，BE= BC2+EC2= 17，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=4+5+ 17=9+ 17．
故答案为：9+ 17．
根据正方形的性质与线段的和差关系通过勾股定理可得CE=14CD，利用平行和三角形全等判定定理HL推导出Rt△ABM≌Rt△ANM，再进而易得Rt△MCE≌Rt△MNE，结合图形由条件通过计算化简可得线段AE，DE的长，再利用勾股定理求出BE，然后据三角形周长关系式代入数值可求出△ABE的周长．
本题考查正方形的性质和全等三角形的性质和判断，勾股定理，翻折的性质，正确作出辅助线是解题关键．
21.【答案】解：(a+2a2−2a−8a2−4)÷a−2a
=[a+2a(a−2)−8(a−2)(a+2)]÷a−2a
=a2+4a+4−8aa(a−2)(a+2)⋅aa−2
=(a−2)2a(a−2)(a+2)⋅aa−2
=1a+2，
∵a=3tan30°−2=3× 33−2= 3−2，
∴原式=1 3−2+2
= 33．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：如下图：
(1)矩形ABCD即为所求；
(2)菱形EFGH即为所求；
(3)∠CFD=90°．
【解析】(1)根据网格线的特点和矩形的判定定理作图；
(2)根据菱形的面积公式及菱形的判定定理作图；
(3)根据勾股定理的逆定理求解．
本题考查了复杂作图，掌握矩形和菱形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)15÷25%=60(名)．
答：本次活动共抽取了60名学生．
(2)60−15−12−3=30(名)．
条形统计图如下：
(3)360×1500=75(名)．
答：估计该校1500名学生中，调查成绩较差的学生有75名．
【解析】(1)结合两个统计图，用已知量计算出抽取学生人数．
(2)求出的抽取学生人数减去已知成绩人数求出“较好”成绩人数，补全条形统计图．
(3)求出成绩较差学生人数在抽取学生人数中的占比，再乘该校总人数．
本题以应用题为背景考查了数据整理与分析，考核了学生对题干种的信息提炼和数形结合的能力，解题关键是掌握用样本估计总体的运用．
24.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠DCE=∠DAB，
∴∠DCE+∠D=180°，
∴AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵点E为AB的中点，
∴AB=2AE，
∵AB=2AD，
∴AE=AD，
∴平行四边形AECD为菱形；
(2)解：∵四边形AECD是菱形，
∴AE=CE=AD，∠DAC=∠DCE，∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC=∠DCA=∠ECA，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵AD=BC，
∴CE=BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CEB=60°，
∵∠CEB=∠EAC+∠ECA，
∴DAC=∠EAC=∠DCA=∠ECA=30°．
【解析】(1)由平行线的性质得∠DAB+∠D=180°，再证∠DCE+∠D=180°，得AD//CE，则四边形AECD是平行四边形，然后证AE=AD，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得∠DAC=∠EAC=∠DCA=∠ECA，再证△BCE是等边三角形，得∠CEB=60°，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，
根据题意得：450x=500x+10，
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10=90+10=100．
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；
(2)设购买m台A型机器人，则购买(25−m)台B型机器人，
根据题意得：90m+100(25−m)≥2340，
解得：m≤16，
∴m的最大值为16．
答：最多购买A种型号的机器人16台．
【解析】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，根据A型机器人每天搬运450吨货物与B型机器人每天搬运500吨货物所需台数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台A型机器人每天搬运货物吨数，再将其代入(x+10)中，即可求出每台B型机器人每天搬运货物吨数；
(2)设购买m台A型机器人，则购买(25−m)台B型机器人，根据每天搬运的货物不低于2340吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACO=∠BCD，
∴∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠OCB，
∴∠ACB=∠OCD=90°，
∴AB是⊙O的直径；
(2)证明：如图2，延长CO交AG于点M．
∵AG//CD，
∴∠AMC=∠MCD=90°，
∴OM⊥AG，
∴AM=GM，
∴AG=2AM，
∵CE⊥AB，
∴∠CFO=90°=∠AMO，
又∵∠AOM=∠COF，OA=OC，
∴△AOM≌△COF(AAS)，
∴AM=CF，
∴AG=2CF；
(3)解：如图3，延长CO交AG于点M．
∵HF=BF，∠CFH=∠CFB=90°，CF=CF，
∴△CFH≌△CFB(SAS)，
∴∠FCH=∠FCB，
令∠FCH=α，则∠FCB=α，∠BCG=∠FCH+∠FCB=2α，
∴∠ABC=90°−∠FCB=90°−α，
∴∠CAB=90°−∠ABC=α，∠G=∠ABC=90°−α，
∵∠BAG=∠BCG=2α，
∴∠CAG=∠CAB+∠BAG=α+2α=3α，
∵AM=GM，CM⊥AG，
∴CA=CG，
∴∠CAG=∠G，
∴3α=90°−α，
解得α=22.5°，
∴∠DCF=∠BCD+∠BCF=∠OAC+∠BCF=α+α=45°，∠DCH=∠BCD+∠BCH=3α=67.5°，
∴∠D=90°−∠DCF=45°，
∴∠CHD=180°−∠D−∠DCH=180°−45°−67.5°=67.5°=∠DCH，
∴DH=CD，
在Rt△CDF中，∵∠D=∠DCF=45°，
∴CF=DF，
令CF=m，则DF=m，
∴CD= CF2+DF2= m2+m2= 2m，
∴DH=CD= 2m，
∵S△CDH=12DH⋅CF=12 2m⋅m=2 2，
∴m=±2，
∵m>0，
∴m=2，
∵∠COD=90°−∠D=90°−45°=45°=∠D，
∴OC=CD= 2m=2 2，
∵∠AOM=∠COD=45°=2α=∠BAG，
∴OM=AM=CF=m=2，
∴AG=2OM=4，CM=OC+OM=2 2+2，
∴S△ACG=12AG⋅CM=12×4×(2 2+2)=4 2+4．
【解析】(1)由切线的性质得出∠OCD=90°，由圆周角定理可得出结论；
(2)延长CO交AG于点M.证明△AOM≌△COF(AAS)，由全等三角形的性质可得出AM=CF，则可得出结论；
(3)延长CO交AG于点M.证明△CFH≌△CFB(SAS)，得出∠FCH=∠FCB，令∠FCH=α，则∠FCB=α，∠BCG=∠FCH+∠FCB=2α，求出α=22.5°，证出DH=CD，令CF=m，则DF=m，由勾股定理求出CD= 2m，根据三角形的面积求出m=2，求出AG和CM的长，则可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查圆的基本性质，圆周角定理，切线的性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等众多知识点，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+x+8交x轴于点A(−4,0)，
∴0=(−4)2+(−4)+8，
解得a=−14，
∴y=−14x2+x+8，
当y=0时，0=−14x2+x+8，
解得x1=−4，x2=8，
∴B(8,0)；
(2)如图1，过D作DP⊥x轴于P，
∵点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点，
∴D(t,−14x2+x+8)，
∴PD=−14x2+x+8，AP=t+4，
在Rt△PAD中，tan∠PAD=DPAP=−14t2+t+8t+4=−14(t+4)(t−8)t+4=−14(t−8)，
在Rt△AOE中，tan∠OAE=OEOA=OE4=−14( 8−t)，
∴OE=8−t，
在y=−14x2+x+8中，令x=0，则y=8，
∴C(0,8)，
∴OC=8，
∴d=CE=OC−OE=8−(8−t)=t；
(3)如图2，连接BC，过点F作FR⊥x轴于R，FT⊥y轴于T，过C作CN⊥BF于N，
在Rt△ABC中，∵OB=OC=8，
∴∠OBC=∠OCB，BC= OB2+OC2= 82+82=8 2，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵点F的横坐标为−t，点F在抛物线上，
∴F(−t,−14t2−t+8)，
∴FR=14t2+t−8，BR−8+t，
在Rt△BFR中，tan∠FBR=FRBR=14t2+t−8t+8=14(t−4)(t+8)t+8=14(t−4)，
在Rt△BOG中，tan∠OBG=OGOB=OG8=14(t−4)，
∴OG=2t−8，
∴EG=OE+OG=8−t+2t−8=t=CE．
∵点H为线段BG的中点，
∴EH//BC，EH=12BC=4 2，
∴AG=EH=4 2，
在Rt△OAG中，OG= AG2−OA2= (4 2)2−42=4=OA，
∴∠OAG=∠OGA，
∵∠OAG+∠OGA=90°，
∴∠OAG=∠OGA=45°=∠OBC，
∴AE//GH，
∴∠CMD=∠CFB，
∵OG=2t−8=4，
∴t=6，
∴−14t2−t+8=−7，CE=2t=12，
∴F(−6,−7)，
∴FT=6，GT=OT−OG=7−4=3，
在Rt△FGT中，FG= FT2+GT2= 62+32=3 5，
在Rt△BOG中，BG= OB2+OG2= 82+42=4 5，sin∠BGO=OBBG=84 5=2 55，
在Rt△CGN中，sin∠CGN=CNCG=CN12=2 55，
∴CN=245 5，
∴GN= CG2−CN2= 122−(245 5)2=125 5，
∴FN=FG+GN=3 5+12 55=27 55，
在Rt△CFN中，tan∠CFN=CNFN=245 5275 5=89，
∴tan∠CMD=tan∠CFN=89．
【解析】(1)解方程得到a=−14，求得y=−14x2+x+8，当y=0时，0=−14x2+x+8，解方程即可得到结论；
(2)如图1，过D作DP⊥x轴于P，根据点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点，得到D(t,−14x2+x+8)，求得PD=−14x2+x+8，AP=t+4，解直角三角形即可得到结论；
(3)如图2，连接BC，过点F作FR⊥x轴于R，FT⊥y轴于T，过C作CN⊥BF于N，根据勾股定理得到BC= OB2+OC2= 82+82=8 2，根据点F的横坐标为−t，点F在抛物线上，得到F(−t,−14t2−t+8)，FR=14t2+t−8，BR−8+t，解直角三角形得到OG=2t−8，求得EG=OE+OG=8−t+2t−8=t=CE.解直角三角形即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学调研试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −5的相反数是( )
A. −5 B. 5 C. 15 D. −15
2. 下列运算正确的是( )
A. a8÷a2=a4 B. (−2x2)(−3x3)=6x6
C. (m−n)2=m2−n2 D. ( 2+1)( 2−1)=1
3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是由6个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 反比例函数y=2x的图象位于( )
A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限
6. 已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，则m的值是( )
A. 4 B. 2 C. −2 D. −4
7. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 400x2=625 B. 625x2=4000
C. 625(1−x)2=400 D. 400(1+x)2=625
8. 一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为( )
A. 30πcm2 B. 60πcm2 C. 120πcm2 D. 180πcm2
9. 如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD于点F，G，则下列式子一定正确的是( )
A. AFCF=AGDG
B. ABCE=CFAF
C. BFFG=EFBF
D. ADDG=ABDE
10. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作.当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 机器每分钟加油量为3L
B. 机器工作的过程中，每分钟耗油量为0.5L
C. 油箱中油量为油箱容积的一半时，x的值是40
D. 当10
11. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨.据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg.将数据500000用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=23x−1中自变量x的取值范围为______ ．
13. 计算：6 12− 8=______．
14. 把多项式ax2−9ay2分解因式的结果是______．
15. 方程2x−5=1x−2的解为x= ______ ．
16. 不等式组x+1≥−1x2<1的解集是______ ．
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=CD=AD，则∠C的大小为______ ．
18. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为______ ．
19. 在△ABC中，AB=AC=6，线段AC的垂直平分线分别交AC，直线AB于点D，E，若DE=4，则线段BE的长为______ ．
20. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，其中AE=CE+AD，点F在CB的延长线上，连接AF，且∠BAF=12∠AED，若BF=2，则△ABE的周长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式(a+2a2−2a−8a2−4)÷a−2a的值，其中a=3tan30°−2．
22. (本小题7.0分)
如图是一个16×6的正方形的网格图，已知线段AB和线段EG，点A，B，E，G都在小正方形的顶点上．
(1)画出以AB为边的矩形ABCD，要求点C，D都在小正方形的顶点上；
(2)画出以EG为对角线的菱形EFGH(点F在EG的左侧)，要求菱形EFGH的面积为20；
(3)连接CF，DF，请直接写出∠CFD的度数．
23. (本小题8.0分)
4月15日是全民国家安全教育日，为增强全民国家安全意识，某校随机抽取一部分学生进行了知识问卷调查活动.对问卷调查成绩按“很好”、“较好”、“一般”、“较差”四类汇总分析，并绘制了如下扇形统计图和条形统计图．
(1)本次活动共抽取了多少名学生？
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)请估计该校1500名学生中，调查成绩较差的学生有多少名．
24. (本小题8.0分)
已知：在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2AD，点E为AB的中点，连接CE，∠DCE=∠DAB．
(1)如图1，求证：四边形AECD为菱形；
(2)如图2，连接AC，当AD=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为30°的四个角．
25. (本小题10.0分)
某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运450吨货物与B型机器人每天搬运500吨货物所需台数相同．
(1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)该公司计划采购A、B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2340吨，那么最多购买A种型号的机器人多少台？
26. (本小题10.0分)
已知：△ABC内接于⊙O，过点C作⊙O的切线，交线段AB的延长线于点D，连接OC，∠ACO=∠BCD．
(1)如图1，求证：AB为⊙O的直径；
(2)如图2，弦CE⊥AB，垂足为点F，弦AG//CD，求证：AG=2CF；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接CG交线段OF于点H，且HF=BF，若△CDH的面积为2 2，求△ACG的面积．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+x+8交x轴于点A(−4,0)、B，交y轴于点C．
(1)求点B的坐标；
(2)点D是第一象限抛物线上的一点，连接AD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，线段CE的长为d，求d与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，当4
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：−5的相反数是5．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=a6，所以A选项错误；
B、原式=6x5，所以B选项错误；
C、原式=m2−2mn+n2，所以C选项错误；
D、原式=2−1=1．
故选：D．
根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据单项式乘单项式法则对B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断；利用平方差公式对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了整式的运算．
3.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】A
【解析】解：这个组合体的左视图如下：
故选：A．
根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵k=2>0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A．
由反比例函数k>0，函数经过一三象限即可求解；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的性质和图象是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：y=x2+mx，
∴对称轴为直线x=−m2×1=2，
解得m=−4，
故选：D．
根据二次函数对称轴的公式即可求解．
本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：400(1+x)2=625．
故选：D．
利用第三年植树棵数=第一年植树棵数×(1+该校植树棵数的年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
设扇形的半径为r cm，
则l=nπr180，
即10π=150×π×r180，
解得：r=12，
∴S=12rl=12×12×10π=60π(cm2).
故选：B．
先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△AFG∽△CFB，
∴AFCF=AGBC，
故A错误；
∵△ABF∽△CEF，
∴ABCE=AFFC，
故B错误；
∵BFFG=CFAF，EFBF=CFAF，
∴BFFG=EFBF，
故C正确；
∵△ABG∽△DEG，
∴ABDE=AGDG，
故D错误，
故选：C．
由相似三角形的判定和性质即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可得：机器每分钟加油量为30÷10=3(L)，故A正确，不符合题意；
机器工作的过程中，每分钟耗油量为30−560−10=0.5(L)，故B正确，不符合题意；
∵302÷3=5(min)，10+(30−302)÷0.5=40(min)，
∴油箱中油量为油箱容积的一半时，x的值是5或40，故C错误，符合题意；
设10
解得：k=−0.5b=35，
∴当10
由图象可得机器每分钟加油量为30÷10=3(L)，判断A正确；机器工作的过程中，每分钟耗油量为30−560−10=0.5(L)，判断B正确；分两种情况列式可算得油箱中油量为油箱容积的一半时，x的值是5或40，判断C错误；用待定系数法可得当10
11.【答案】5×105
【解析】解：500000=5×105．
故答案为：5×105．
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
12.【答案】x≠13
【解析】解：由题意得：
3x−1≠0，
解得：x≠13．
故答案为：x≠13．
根据分母不为0可得：3x−1≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
13.【答案】 2
【解析】解：原式=6× 22−2 2
=3 2−2 2
= 2．
故答案为 2．
先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=6× 22−2 2，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
14.【答案】a(x+3y)(x−3y)
【解析】解：ax2−9ay2
=a(x2−9y2)
=a(x+3y)(x−3y)，
故答案为：a(x+3y)(x−3y)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15.【答案】−1
【解析】解：去分母得：2(x−2)=x−5，
去括号得：2x−4=x−5，
解得：x=−1，
故答案为：x=−1．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】−2≤x<2
【解析】解：x+1≥−1①x2<1②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为−2≤x<2，
故答案为：−2≤x<2．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】120°
【解析】解：连接OC、OD，
∵AB为⊙O的直径，BC=CD=AD，
∴∠BOC=∠COD=∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠A=12×(180°−60°)=60°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∴∠BCD=120°，
故答案为：120°．
根据圆周角定理求出∠AOD=60°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A=60°，根据圆内接四边形的性质求解即可．
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
18.【答案】49
【解析】解：∵1到9的自然数中偶数有2，4，6，8一共4个，
∴从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为49，
故答案为：49．
根据概率计算公式进行求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
19.【答案】1或11
【解析】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图，
∵DE是AC的垂直平分线，AB=AC=6，
∴∠ADE=90°，AD=12AC=3，
∵DE=4，
∴AE= AD2+DE2= 32+42=5，
∴BE=AB−AE=1；
②当△ABC是钝角三角形时，如图，
∵DE是AC的垂直平分线，AB=AC=6，
∴∠ADE=90°，AD=12AC=3，
∵DE=4，
∴AE= AD2+DE2= 32+42=5，
∴BE=AB+AE=11；
故答案为：1或11．
分两种情况，①△ABC是锐角三角形，②△ABC是鈍角三角形，作出简图，由垂直平分线的性质可得AD=12AC=3，由勾股定理可求得AE的长度，即可求BE．
本题主要考查垂直平分线的性质，解答关键是熟记垂直平分线的性质．
20.【答案】9+ 17
【解析】解：将△ABF沿AB翻折到△ABM，连接ME，过M点作MN⊥AE，如图：
由翻折可得：△ABF≌AABM，
∴FB=BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AB//CD，
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
设CD=x，DE=a，则CE=x−a，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=x2+a2，
∵AE=CE+AD=2x−a，
∴x2+a2=(2x−a)2，
∴a=34x，
即CE=14x，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠AED，
∵BAF=12∠AED，
∴∠BAM=12∠AED=12∠BAE，
即AM是∠BAE的角平分线，
∵MN⊥AE，MB⊥AB，
∴BM=MN，
又∵BF=2，
即BF=BM=MN=2，
在Rt△ABM和Rt△ANM中，
AM=AMBM=MN，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL)，
∴AB=AN=x，
∵AE=AD+CE=x+14x=54x，
∴EN=AE−AN=54x−x=14x，
又CE=14x，
∴EC=EN，
在Rt△MCE和Rt△MNE中，
ME=MEEC=EN，
∴Rt△MCE≌Rt△MNE(HL)，
∴MC=MN，
即MC=2，
∴BC=BM+MC=4，
∴CE=14x=1，
∴a=34x=3，
∴DE=3，
∵AE=CE+AD=2x−a=2×4−3=5，
在Rt△BCE中，BE= BC2+EC2= 17，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=4+5+ 17=9+ 17．
故答案为：9+ 17．
根据正方形的性质与线段的和差关系通过勾股定理可得CE=14CD，利用平行和三角形全等判定定理HL推导出Rt△ABM≌Rt△ANM，再进而易得Rt△MCE≌Rt△MNE，结合图形由条件通过计算化简可得线段AE，DE的长，再利用勾股定理求出BE，然后据三角形周长关系式代入数值可求出△ABE的周长．
本题考查正方形的性质和全等三角形的性质和判断，勾股定理，翻折的性质，正确作出辅助线是解题关键．
21.【答案】解：(a+2a2−2a−8a2−4)÷a−2a
=[a+2a(a−2)−8(a−2)(a+2)]÷a−2a
=a2+4a+4−8aa(a−2)(a+2)⋅aa−2
=(a−2)2a(a−2)(a+2)⋅aa−2
=1a+2，
∵a=3tan30°−2=3× 33−2= 3−2，
∴原式=1 3−2+2
= 33．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：如下图：
(1)矩形ABCD即为所求；
(2)菱形EFGH即为所求；
(3)∠CFD=90°．
【解析】(1)根据网格线的特点和矩形的判定定理作图；
(2)根据菱形的面积公式及菱形的判定定理作图；
(3)根据勾股定理的逆定理求解．
本题考查了复杂作图，掌握矩形和菱形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)15÷25%=60(名)．
答：本次活动共抽取了60名学生．
(2)60−15−12−3=30(名)．
条形统计图如下：
(3)360×1500=75(名)．
答：估计该校1500名学生中，调查成绩较差的学生有75名．
【解析】(1)结合两个统计图，用已知量计算出抽取学生人数．
(2)求出的抽取学生人数减去已知成绩人数求出“较好”成绩人数，补全条形统计图．
(3)求出成绩较差学生人数在抽取学生人数中的占比，再乘该校总人数．
本题以应用题为背景考查了数据整理与分析，考核了学生对题干种的信息提炼和数形结合的能力，解题关键是掌握用样本估计总体的运用．
24.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠DCE=∠DAB，
∴∠DCE+∠D=180°，
∴AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵点E为AB的中点，
∴AB=2AE，
∵AB=2AD，
∴AE=AD，
∴平行四边形AECD为菱形；
(2)解：∵四边形AECD是菱形，
∴AE=CE=AD，∠DAC=∠DCE，∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC=∠DCA=∠ECA，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵AD=BC，
∴CE=BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CEB=60°，
∵∠CEB=∠EAC+∠ECA，
∴DAC=∠EAC=∠DCA=∠ECA=30°．
【解析】(1)由平行线的性质得∠DAB+∠D=180°，再证∠DCE+∠D=180°，得AD//CE，则四边形AECD是平行四边形，然后证AE=AD，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得∠DAC=∠EAC=∠DCA=∠ECA，再证△BCE是等边三角形，得∠CEB=60°，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，
根据题意得：450x=500x+10，
解得：x=90，
经检验，x=90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10=90+10=100．
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；
(2)设购买m台A型机器人，则购买(25−m)台B型机器人，
根据题意得：90m+100(25−m)≥2340，
解得：m≤16，
∴m的最大值为16．
答：最多购买A种型号的机器人16台．
【解析】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物(x+10)吨，根据A型机器人每天搬运450吨货物与B型机器人每天搬运500吨货物所需台数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台A型机器人每天搬运货物吨数，再将其代入(x+10)中，即可求出每台B型机器人每天搬运货物吨数；
(2)设购买m台A型机器人，则购买(25−m)台B型机器人，根据每天搬运的货物不低于2340吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACO=∠BCD，
∴∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠OCB，
∴∠ACB=∠OCD=90°，
∴AB是⊙O的直径；
(2)证明：如图2，延长CO交AG于点M．
∵AG//CD，
∴∠AMC=∠MCD=90°，
∴OM⊥AG，
∴AM=GM，
∴AG=2AM，
∵CE⊥AB，
∴∠CFO=90°=∠AMO，
又∵∠AOM=∠COF，OA=OC，
∴△AOM≌△COF(AAS)，
∴AM=CF，
∴AG=2CF；
(3)解：如图3，延长CO交AG于点M．
∵HF=BF，∠CFH=∠CFB=90°，CF=CF，
∴△CFH≌△CFB(SAS)，
∴∠FCH=∠FCB，
令∠FCH=α，则∠FCB=α，∠BCG=∠FCH+∠FCB=2α，
∴∠ABC=90°−∠FCB=90°−α，
∴∠CAB=90°−∠ABC=α，∠G=∠ABC=90°−α，
∵∠BAG=∠BCG=2α，
∴∠CAG=∠CAB+∠BAG=α+2α=3α，
∵AM=GM，CM⊥AG，
∴CA=CG，
∴∠CAG=∠G，
∴3α=90°−α，
解得α=22.5°，
∴∠DCF=∠BCD+∠BCF=∠OAC+∠BCF=α+α=45°，∠DCH=∠BCD+∠BCH=3α=67.5°，
∴∠D=90°−∠DCF=45°，
∴∠CHD=180°−∠D−∠DCH=180°−45°−67.5°=67.5°=∠DCH，
∴DH=CD，
在Rt△CDF中，∵∠D=∠DCF=45°，
∴CF=DF，
令CF=m，则DF=m，
∴CD= CF2+DF2= m2+m2= 2m，
∴DH=CD= 2m，
∵S△CDH=12DH⋅CF=12 2m⋅m=2 2，
∴m=±2，
∵m>0，
∴m=2，
∵∠COD=90°−∠D=90°−45°=45°=∠D，
∴OC=CD= 2m=2 2，
∵∠AOM=∠COD=45°=2α=∠BAG，
∴OM=AM=CF=m=2，
∴AG=2OM=4，CM=OC+OM=2 2+2，
∴S△ACG=12AG⋅CM=12×4×(2 2+2)=4 2+4．
【解析】(1)由切线的性质得出∠OCD=90°，由圆周角定理可得出结论；
(2)延长CO交AG于点M.证明△AOM≌△COF(AAS)，由全等三角形的性质可得出AM=CF，则可得出结论；
(3)延长CO交AG于点M.证明△CFH≌△CFB(SAS)，得出∠FCH=∠FCB，令∠FCH=α，则∠FCB=α，∠BCG=∠FCH+∠FCB=2α，求出α=22.5°，证出DH=CD，令CF=m，则DF=m，由勾股定理求出CD= 2m，根据三角形的面积求出m=2，求出AG和CM的长，则可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查圆的基本性质，圆周角定理，切线的性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等众多知识点，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．
27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+x+8交x轴于点A(−4,0)，
∴0=(−4)2+(−4)+8，
解得a=−14，
∴y=−14x2+x+8，
当y=0时，0=−14x2+x+8，
解得x1=−4，x2=8，
∴B(8,0)；
(2)如图1，过D作DP⊥x轴于P，
∵点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点，
∴D(t,−14x2+x+8)，
∴PD=−14x2+x+8，AP=t+4，
在Rt△PAD中，tan∠PAD=DPAP=−14t2+t+8t+4=−14(t+4)(t−8)t+4=−14(t−8)，
在Rt△AOE中，tan∠OAE=OEOA=OE4=−14( 8−t)，
∴OE=8−t，
在y=−14x2+x+8中，令x=0，则y=8，
∴C(0,8)，
∴OC=8，
∴d=CE=OC−OE=8−(8−t)=t；
(3)如图2，连接BC，过点F作FR⊥x轴于R，FT⊥y轴于T，过C作CN⊥BF于N，
在Rt△ABC中，∵OB=OC=8，
∴∠OBC=∠OCB，BC= OB2+OC2= 82+82=8 2，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵点F的横坐标为−t，点F在抛物线上，
∴F(−t,−14t2−t+8)，
∴FR=14t2+t−8，BR−8+t，
在Rt△BFR中，tan∠FBR=FRBR=14t2+t−8t+8=14(t−4)(t+8)t+8=14(t−4)，
在Rt△BOG中，tan∠OBG=OGOB=OG8=14(t−4)，
∴OG=2t−8，
∴EG=OE+OG=8−t+2t−8=t=CE．
∵点H为线段BG的中点，
∴EH//BC，EH=12BC=4 2，
∴AG=EH=4 2，
在Rt△OAG中，OG= AG2−OA2= (4 2)2−42=4=OA，
∴∠OAG=∠OGA，
∵∠OAG+∠OGA=90°，
∴∠OAG=∠OGA=45°=∠OBC，
∴AE//GH，
∴∠CMD=∠CFB，
∵OG=2t−8=4，
∴t=6，
∴−14t2−t+8=−7，CE=2t=12，
∴F(−6,−7)，
∴FT=6，GT=OT−OG=7−4=3，
在Rt△FGT中，FG= FT2+GT2= 62+32=3 5，
在Rt△BOG中，BG= OB2+OG2= 82+42=4 5，sin∠BGO=OBBG=84 5=2 55，
在Rt△CGN中，sin∠CGN=CNCG=CN12=2 55，
∴CN=245 5，
∴GN= CG2−CN2= 122−(245 5)2=125 5，
∴FN=FG+GN=3 5+12 55=27 55，
在Rt△CFN中，tan∠CFN=CNFN=245 5275 5=89，
∴tan∠CMD=tan∠CFN=89．
【解析】(1)解方程得到a=−14，求得y=−14x2+x+8，当y=0时，0=−14x2+x+8，解方程即可得到结论；
(2)如图1，过D作DP⊥x轴于P，根据点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点，得到D(t,−14x2+x+8)，求得PD=−14x2+x+8，AP=t+4，解直角三角形即可得到结论；
(3)如图2，连接BC，过点F作FR⊥x轴于R，FT⊥y轴于T，过C作CN⊥BF于N，根据勾股定理得到BC= OB2+OC2= 82+82=8 2，根据点F的横坐标为−t，点F在抛物线上，得到F(−t,−14t2−t+8)，FR=14t2+t−8，BR−8+t，解直角三角形得到OG=2t−8，求得EG=OE+OG=8−t+2t−8=t=CE.解直角三角形即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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