人教A版高中数学必修第二册全册综合验收评价含答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合同步练习题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

全册综合验收评价
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于 (　　)
A．(－2，－1)　　　　 B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：选D　a＝，b＝，
故a－b＝(－1,2)．
2．某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是 (　　)
A．193 B．192
C．191 D．190
解析：选B　＝，解得n＝192.
3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于 (　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选C　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b| 等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝|b|，4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝，故选C.
5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据 的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 (　　)
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选B　由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝＝50.
6．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 (　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
解析：选B　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．
7．已知向量a＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为 (　　)
A．1 B．2
C. D．3
解析：选A　因为a＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a|＝＝＝，因为θ∈R，所以－1≤cos θ≤1，故|a|的最小值为＝1.故选A.
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，其面积为，则＝ (　　)
A．3 B.
C. D.
解析：选C　设△ABC的面积为S，由题意知S＝bcsin A，即＝c·sin 60°，解得c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8×＝13，即a＝.由正弦定理可得＝＝＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是 (　　)

A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
解析：选ABC　由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选A、B、C.
10.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．FM∥A1C1
B．BM⊥平面CC1F
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D．三棱锥B­CEF的体积为定值
解析：选ABD　在A中，因为F，M分别是AD，CD的中点，所以FM∥AC∥A1C1，故A正确；在B中，因为tan∠BMC＝＝2，tan∠CFD＝＝2，所以∠BMC＝∠CFD，所以∠BMC＋∠DCF＝∠CFD＋∠DCF＝，故BM⊥CF，又BM⊥C1C，CF∩C1C＝C，所以BM⊥平面CC1F，故B正确；
在C中，BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1D，故C错误；
在D中，若三棱锥B­CEF以面BCF为底，则高是定值，所以三棱锥B­CEF的体积为定值，故D正确．故选A、B、D.
11．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI
指数值
0～
51～
101～
151～
201～
＞300
50
100
150
200
300
空气
质量
优
良
轻度
污染
中度
污染
重度
污染
严重
污染

如图是某市12月1日～20日AQI指数变化趋势：

下列叙述正确的是 (　　)
A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
解析：选ABD　对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；
对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬AQI指数大部分在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好，故D正确．故选A、B、D.
12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A．＝－＋
B．＝＋
C． ＝－＋
D．＝－
解析：选ABC　∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，
由向量加法的三角形法则得
＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋，A对；
∵＝3，
∴＝＝－＋，
∴＝＋
＝＋
＝＋，又F为AE的中点，
∴＝＝＋，B对；
∴＝＋＝－＋＋
＝－＋，C对；
∴＝＋＝－
＝－＋－
＝－－，D错．故选A、B、C.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.
解析：∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0，
∴2sin θcos θ－cos2θ＝0，
∵0＜θ＜，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.
答案：
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
解析：由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
答案：或
15.如图所示，已知在长方体ABCD­EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________．
解析：∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角，即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°.∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角，即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.
答案：45°　60°
16．在四面体S­ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝，AC＝，则该四面体体积的最大值为______，该四面体外接球的表面积为________．
解析：因为SA＝SB＝2，且SA⊥SB，BC＝，AC＝，
所以AB＝SA＝2，
因此BC2＋AC2＝AB2，则AC⊥BC.
如图，取AB中点为O，连接OS，OC，
则OA＝OB＝OC＝OS＝，
所以该四面体的外接球的球心为O，半径为OC＝，
所以该四面体外接球的表面积为
S＝4π·()2＝8π.
又因为SA＝SB，所以SO⊥AB.
因为底面三角形ABC的面积为定值AC·BC＝，SO的长也为确定的值 ，
因此，当SO⊥平面ABC时，四面体的体积最大，为V＝S△ABC·SO＝.
答案：　8π
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，－，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝.
因为0 所以x－＝，即x＝.
18．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2， 求sin A 和c的值．
解：在△ABC中，由cos B＝，得sin B＝，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝.
因为sin C＜sin B，所以C＜B，可知C为锐角．
所以cos C＝.
因此sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.
由＝，可得a＝＝＝2c，
又ac＝2，所以c＝1.
19．(12分)为了选出优秀选手参加全国移动互联创新大赛，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为，，，且各场输赢互不影响．求甲恰好获胜两场的概率．
解：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
则甲恰好获胜两场的概率为：
P＝P( BC)＋P(A C)＋P(AB )
＝P()·P(B)·P(C)＋P(A)·P()·P(C)＋P(A)·P(B)·P()
＝××＋××＋××＝.
20.(12分)如图，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的 中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
证明：(1)如图，连接DG，CD，
设CD∩GF＝M，连接MH.
在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC， DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以HM∥BD.
又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
(2)连接HE，GE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.
因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE⊂平面EGH，GH⊂平面EGH，
HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.
21．(12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．

(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．
解：(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，
中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，
严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段中抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为×6＝2，×9＝3，×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)}，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9个．
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为＝.
22．(12分)
如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M，求：
(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)该最短路线的长及的值；
(3)平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．
解：(1)正三棱柱ABC­A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为＝＝2.
(2)如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置．
连接DC1交AA1于M，则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，
∴DC1＝＝ ＝＝2.
∵∠DMA＝∠A1MC1，
∠MAD＝∠MA1C1，DA＝A1C1，
∴△DMA≌△C1MA1，∴AM＝A1M，故＝1.
即最短路线的长为2，此时＝1.

(3)如图，连接DB，则DB是平面C1MB与平面ABC的交线．
在△DCB中，∠DBC＝∠CBA＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴CB⊥DB.
又∵平面CBB1C1⊥平面ABC，平面CBB1C1∩平面ABC＝BC，DB⊂平面ABC，
∴DB⊥平面CBB1C1，∴C1B⊥DB，
∴∠C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)．
∵侧面CBB1C1是正方形，∴∠C1BC＝45°，
故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45°.