人教A版高中数学必修第二册阶段验收评价（三）统计与概率含答案

阶段验收评价（三）统计与概率

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．某学校共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是                                                                                                                  (　　)

A．30　　　　　　　 B．50

C．108  D．150

解析：选C　由样本的定义知，样本容量n＝36×3＝108.

2．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为                                                                                                                                             (　　)

A．1%  B．2%

C．3%  D．5%

解析：选C　由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.

3．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会．已知乙级部中每名老师被抽到的可能性都为，则高三级部的全体老师的人数为                                                                                                                                             (　　)

A．10  B．30

C．60  D．90

解析：选D　因为乙级部中每名老师被抽到的可能性都为，所以高三年级中每名老师被抽到的可能性都为，由30÷＝90(人)，可得全体老师人数．

4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是  (　　)

A．至少有一个红球；都是红球

B．至少有一个红球；都是白球

C．至少有一个红球；至少有一个白球

D．恰有一个红球；恰有两个红球

解析：选D　根据互斥事件、对立事件的定义可得．

5．已知一组数据8,9,10，x，y的平均数为9，方差为2，则x2＋y2＝              (　　)

A．162  B．164

C．168  D．170

解析：选D　由题意可知(8＋9＋10＋x＋y)＝9，[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x－9)2＋(y－9)2]＝2，解得x2＋y2＝170.

6.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为                                                                      (　　)

A．11  B．11.5

C．12  D．12.5

解析：选C　由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋×5＝12，故选C.

7．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　)

A．p＋q－2pq  B．p＋q－pq

C．p＋q  D．pq

解析：选A　恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2pq.

8．(2020·新高考山东卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是                                                                                                                                             (　　)

A．62%  B．56%

C．46%  D．42%

解析：选C　不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，解得x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．下列说法正确的是            (　　)

A．一组数据不可能有两个众数

B．一组数据的方差必须是正数

C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变

D．在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率

解析：选CD　A错，众数可以有多个；B错，方差可以为0.

10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是                                                                                                                 (　　)

A．2张卡片都不是红色

B．2张卡片恰有一张红色

C．2张卡片至少有一张红色

D．2张卡片都为绿色

解析：选ABD　从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，在选项给出的四个事件中，与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”，而“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事件．故选A、B、D.

11．在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A，B发生的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”．关于“等概率事件”，以下判断正确的是(　　)

A．在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”

B．若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”

C．因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”

D．同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”

解析：选AD　对于A，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有的样本点之间都是“等概率事件”，故A正确；

对于B，如在1,3,5,7,9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B错误；

对于C，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C错误；

对于D，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为，故这两个事件是“等概率事件”，故D正确．故选A、D.

12．下列对各事件发生的概率判断正确的是          (　　)

A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为

C．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是

D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是

解析：选AC　对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为2×＝，故A正确；

对于B，用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为××＝，所以此密码被破译的概率为1－＝，故B错误；

对于C，该试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记A为“取出的2个数之差的绝对值为2”，则A＝{(1,3)，(2,4)}，故所求概率为，故C正确；

对于D，易得P(A∩)＝P(B∩)，

即P(A)P()＝P(B)P()，

即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，

所以P(A)＝P(B)，又P(∩)＝，

所以P()＝P()＝，

所以P(A)＝，故D错误．

故选A、C.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．

解析：由题意知，＝，解得a＝30.

答案：30

14．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率为________．

解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.

答案：

15．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

解析：∵＝＝0.98，

∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.

答案：0.98

16．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出白球的概率为______；摸出红球的概率为________．

解析：由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”也是对立事件，∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.

答案：0.38　0.2

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：

(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？

(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？

(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？

解：(1)＝(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．

(2)中位数为＝42.5(吨)．

(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．

18．(12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．

解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.

(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋ 0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.

(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(  )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

19．(12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：

甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.

乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.

(1)哪台机床次品数的平均数较小？

(2)哪台机床的生产状况比较稳定？

解：(1)甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×＝1.5，

乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×＝1.2.

∵甲>乙，

∴乙机床次品数的平均数较小．

(2)s＝×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，

同理s＝0.76，∵s>s，

∴乙机床的生产状况比较稳定．

20．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．

(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？

(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．

解：(1)样本空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．

因为S中点的总数为5×5＝25(个)，

所以样本点总数为n＝25.

事件A包含的样本点共5个，

即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

所以P(A)＝＝.

(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．

(3)这种游戏规则不公平．结合(1)知和为偶数的样本点个数为13个，即甲赢的概率为，乙赢的概率为，

所以这种游戏规则不公平．

21. (12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方  图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平   均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

解：(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.

(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．

(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.

由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝40,20×＝25.

故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.

22．(12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率．

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由．

解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．

估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.

(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则

P(C)＝＝0.04.

(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.

答案示例1：可以认为有变化．理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．

答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：

事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．