新人教A版 必修3高中数学 全册综合素养评价试题（含解析）

模块素养评价

(120分钟　150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是 (　　)

A.随机抽样

B.分层抽样

C.系统抽样

D.既是随机抽样，又是分层抽样

【解析】选C.由系统抽样的概念可知，该抽样方法为系统抽样.

2.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)

A.0.5   B.0.6   C.0.7   D.0.8

【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20，所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70，故所求的估计值为=0.7.

3.一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有 (　　)

A.1对   B.2对   C.3对   D.4对

【解析】选B.E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件.

4.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.事件A表示出现2点或4点，事件表示出现5点或6点，故P(A∪)==.

5.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为 (　　)

A.=1.23x+0.08    B.=1.23x+5

C.=1.23x+4     D.=0.08x+1.23

【解析】选A.设回归直线方程为=x+，则=1.23，因为回归直线必过样本点的中心，

代入点(4，5)得=0.08.

所以回归直线方程为=1.23x+0.08.

6.统计某校400名学生的数学学业水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是(　　)

A.80%，80   B.80%，60

C.60%，80   D.60%，60

【解析】选A.由频率分布直方图得：及格率为：(0.025+0.035+2×0.01)×10=0.8=80%，

优秀率为：2×0.01×10=0.2=20%，

优秀人数20%×400=80.

7.如表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

由表格可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=-0.7x+，则= (　　)

A.10.5   B.5.15   C.5.2   D.5.25

【解析】选D.由于线性回归方程必经过点(，)，

而=，=，所以=-0.7×+，

所以=5.25.

8.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：

由表中数据，求得线性回归方程为=x+，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为 (　　)

A.7   B.9.5   C.10   D.12

【解析】选B.由表中数据得==7，==，由(，)在直线=x+上，得=-，即线性回归方程为=x-.当x=12时，=×12-=9.5，即他的识图能力为9.5.

9.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为              (　　)

A.   B.1-

C.   D.1-

【解析】选B.正方体的体积为2×2×2=8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3=×π×13=.则点P到点O的距离大于1的概率为1-=1-.

10.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为 (　　)

A.8 B.7 C.6 D.5

【解析】选A.a=3，a=1不满足，a是奇数满足，a=10，i=2，

a=10，a=1不满足，a是奇数不满足，a=5，i=3，

a=5，a=1不满足，a是奇数满足，a=16，i=4，

a=16，a=1不满足，a是奇数不满足，a=8，i=5，

a=8，a=1不满足，a是奇数不满足，a=4，i=6，

a=4，a=1不满足，a是奇数不满足，a=2，i=7，

a=2，a=1不满足，a是奇数不满足，a=1，i=8，

a=1，a=1满足，输出i=8.

11.2020年新冠肺炎疫情肆虐世界各地，某校特举办“众志成城，抗击疫情”知识竞赛活动.如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是              (　　)

A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数

B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数

C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数

D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差

【解析】选D.由茎叶图可知：

==84，

==84，

即=，故选项A错误，

甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B不正确，选项C错误，

因为=[(75-84)2+(82-84)2+(83-84)2+(87-84)2+(93-84)2]=，

=[(77-84)2+(83-84)2+(84-84)2+(85-84)2+(91-84)2]==20，

即>，即选项D正确.

12.已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，则 (　　)

A.<5   B.s2>3   C.s2<3   D.>5

【解析】选C.由平均数和方差的计算公式可得=5，s2=(3×8+0)<3.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13.某中学期中考试后，对成绩进行分析，求出了外语成绩x对总成绩y的回归直线方程是=7.3x-96.9，如果该校李明的外语成绩是95分，那么他的总成绩可能是______分.(精确到整数) 

【解析】当x=95时，=7.3×95-96.9≈597.

答案：597

14.(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______. 

【解析】=0.98.

答案：0.98

15.在由1，2，3，4，5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21，22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为_____. 

【解析】由1，2，3，4，5可组成的二位数有5×5=25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为.

答案：

16.随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是______. 

【解析】由题意作图，如图

则点P应落在深色阴影部分，S三角形=×6×=12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为=.

答案：

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况如下：

甲：15，17，14，23，22，24，32；乙：12，13，11，23，27，31，30 .

(1)求甲、乙两名运动员得分的中位数.

(2)分别求甲、乙两名运动员得分的平均数、方差，你认为哪位运动员的成绩更稳定？

【解析】(1)将甲运动员得分的数据由大到小排列：32，24，23，22，17，15，14.

将乙运动员得分的数据由大到小排列：31，30，27，23，13，12，11.

所以甲运动员得分的中位数是22，乙运动员得分的中位数是23.

(2)=(15+17+14+23+22+24+32)=21，

=(12+13+11+23+27+31+30)=21，

=[(21-15)2+(21-17)2+…+(21-32)2]=，

=[(21-12)2+(21-13)2+…+(21-30)2]=，

所以<，所以甲运动员的成绩更稳定.

18.(12分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)

(1)指出其功能.(用数学式子表达)

(2)画出该算法的程序框图.

S1　输入x.

S2　若x<-2，执行S3；否则，执行S6.

S3　y=2x+1.

S4　输出y.

S5　执行S12.

S6　若-2≤x<2，执行S7；否则执行S10.

S7　y=x.

S8　输出y.

S9　执行S12.

S10　y=2x-1.

S11　输出y.

S12　结束.

【解析】(1)该算法的功能是：已知x时，

求函数y=的值.

(2)程序框图是：

19.(12分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图如下：

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

(2)求频率分布直方图中的a，b的值；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)

【解析】(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9.

所以从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.

(2)课外阅读时间落在[4，6)的有17人，频率为0.17，所以a===0.085.

课外阅读时间落在[8，10)的有25人，频率为0.25，所以b===0.125.

(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.

20.(12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限)，有如下的统计资料：

(1)画出散点图.

(2)从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律.

(3)求y关于x的线性回归方程.

【解析】(1)画出散点图如图所示：

(2)由上图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，使用年限与所支出的年平均维修费用之间成正相关，即使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多.

(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系.

由题表数据可得

=4，=5，xiyi=112.3，=90，

由公式可得==1.23，=-=5-1.23×4=0.08，

即回归方程是=1.23x+0.08.

21.(12分)某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.

(1)根据茎叶图计算样本均值.

(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站，根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？

(3)从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率.

【解析】(1)样本均值==12.

(2)样本中优秀服务站为2间，频率为，由此估计90间服务站中有90×=36间优秀服务站.

(3)由于样本中优秀服务站为2间，记为a1，a2，非优秀服务站为3间，记为b1，b2，b3，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有：

(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10种情况，其中恰有1间是优秀服务站的情况为：

(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)6种情况，故所求概率为P=.

22.(12分) 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.

(1)求z的值.

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

【解析】(1)设该厂本月生产轿车为n辆，

由题意得，=，所以n=2000.

z=2 000-100-300-150-450-600=400.

(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以=，解得m=2，也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2，B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为.

(3)样本的平均数为=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9，

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为=0.75.