2022-2023学年湖南省衡阳市南岳二中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市南岳二中八年级（上）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个正数的两个平方根分别为与，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在实数：，，，，，中，是无理数的共(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  如图所示，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，是的中线，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，中，，，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下列说法正确的是(    )
等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11.  如图，于，于，若，，则下列结论：；平分；；，其中正确的结论序号是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为(    )





 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  若，，则 ______ ．

14.  ，，则 ______ ．

15.  如图，，于，于，且，点从向运动，每秒钟走，点从向运动，每秒钟走，点，同时出发，运动______秒后，与全等．

16.  如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为______ ．

17.  某班体育委员对本班名同学课外延时参加球类自选项目做了统计，制作扇形统计图如图，则该班选乒乓球人数比选羽毛球人数多______ 人

18.  如图，为三条角平分线的交点，、、分别垂直于、、，垂足分别为、、已知的周长为，，则的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
因式分解：
；
．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

22.  本小题分
如图，在和中，已知，是的平分线．
求证：．

23.  本小题分
目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．
根据图中信息求出______，______．
请把图中的条形统计图补充完整．
根据抽样调查的结果，请估算全校名学生中，大约有多少人最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物？
 

24.  本小题分
为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
求出空地的面积；
若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？

25.  本小题分
某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解．．
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：
因式分解；
因式分解；
已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．

26.  本小题分
已知中，．

如图，在中，若，且，求证：；
如图，在中，若，且垂直平分，，，求的长

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
根据平方与开平方互为逆运算，运用平方可得一个数的平方根．
本题考查了平方根，正确记忆一个正数的平方根有两个是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根分别为与，
，解得．
故选：．
根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可．
本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
实数：，，，，，中，
无理数有，，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
数轴上点所表示的数为为：，
故选：．
先运用勾股定理求得线段的长度，再列式、计算求得此题结果即可．
此题考查了利用数轴上的点表示有理数的能力，关键是能准确理解题意并列式、计算．
 

5.【答案】 

【解析】解：，选项A符合题意；
B.，选项B不符合题意；
C.，选项C不符合题意；
D.，选项D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则可判断选项A，根据合并同类项法则可判断选项B，根据同底数幂的除法法则可判断选项C，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项D．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，
四边形所拼成的长方形的面积为，即，
四边形所拼成的长方形的面积为，
整个大长方形的面积为，
由各个部分面积之间的关系可得，
，因此选项A符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：．
用代数式表示各个部分的面积，根据面积之间的和差关系逐项进行判断即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提，掌握各个部分面积之间的和差关系是得出正确答案的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是的中线，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可求得，，再利用勾股定理可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角性质可得，然后根据已知可得，从而可得，再利用三角形内角和定理可得，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，，
≌，
，
，
即，
；
故选：．
由等腰三角形的性质得出，再证明≌，得出，运用三角形的外角性质得出，即可得出．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，
不正确；
一个外角为，
该等腰三角形有一个内角为，
该等腰三角形为等边三角形，
正确；
三个角都相等的三角形是等边三角形，
正确；
在一个三角形中，两个角为、，则可求得第三个角为，
该三角形为等腰三角形，
正确；
所以正确的有共三个，
故选：．
由三线合一的条件可知不正确，由等边三角形的判定可知正确，由等腰三角形的判定可知正确，可得出答案．
本题主要考查等腰三角形判定和性质及等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：于，于，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，，
平分，故正确；
≌，
，
又，
，
结论正确；
在和中，
，
≌，
，
，
，
即，故正确；
综上所述，正确的是．
故选：．
利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，邻补角的定义和等量代换得，再根据图形表示出、，整理即可得到进而可以进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：找规律发现的第四项系数为；
的第四项系数为；
的第四项系数为．
故选：．
根据图形中的规律即可求出的展开式中从左起第四项的系数．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：由平方差公式，
可得

，
故答案为：．
根据平方差公式可得进行计算．
此题考查了运用平方差公式进行整式求值的能力，关键是能准确理解并变形运用该知识．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，

．
故答案为：．
观察所求的式子发现指数是相减的形式，故利用同底数幂的除法法则逆运算变形后，再根据指数是乘积形式，利用幂的乘方的逆运算变形，将已知的等式代入即可求出值．
此题考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则的逆运算．要求学生熟练掌握法则，注意指数的变化形式，选择合适准确的运算法则来计算．
 

15.【答案】 

【解析】解：于，于，
，
设运动分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
若，则，
，，，
≌；
若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动分钟后与全等；
故答案为：．
设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：若，则，此时，≌；若，则，得出，，即可得出结果．
本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
 

16.【答案】 

【解析】解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，
，，
在，，
所以它爬行的最短路程为．
故答案为：．
把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，正确根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：选乒乓球人数为人，
选羽毛球人数为人，
选乒乓球人数比羽毛球人数多人，
故答案为：．
先根据扇形统计图中的数据，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数，即可得出结论．
此题主要考查了扇形统计图的应用，求出选考乒乓球人数和羽毛球人数是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、、，
为三条角平分线的交点，、、分别垂直于、、，
，
的面积的面积的面积的面积


．
故答案为：．
连接、、，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

19.【答案】解：


．





． 

【解析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
首先把化成，然后根据积的乘方的运算方法计算即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：

；


． 

【解析】先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可；
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法法是因式分解的关键．
 

21.【答案】解：


，
当，时，原式

． 

【解析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】在与中，已知两个对应角相等，结合图形还有一条公共边，由此判定两个三角形全等即可得出结论．
本题考查三角形全等的判定方法，--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
 

23.【答案】  ， 
补全条形统计图如图所示：

人
答：全校名学生中，最认可“微信”和“支付宝”这两样新生事物的大约有人． 

【解析】解：人，即，
“网购”人数；人，
“支付宝”人数：人，，因此，
故答案为：，；
人

样本中，认可“共享单车”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，即的值，进而求出“网购”的人数，“支付宝”的人数和所占的百分比，确定的值；
求出“支付宝”“网购”人数即可补全条形统计图；
样本中，“微信”和“支付宝”占调查人数的，因此估计总体人中微信”和“支付宝”也占，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提．
 

24.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
则，


平方米；
答：空地的面积平方米；
需费用元，
答：总共需投入元． 

【解析】连接，在直角三角形中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，四边形面积等于三角形面积三角形面积，求出即可；
由求出的面积，乘以即可得到结果．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
 

25.【答案】解：；
；
是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，，是的三边，
．
，
，
是等腰三角形． 

【解析】第一、二项一组，三、四项一组，分别提公因式，再分解．
前三项一组，用公式分解．
先因式分解找到，，的关系，再判断三角形的形状．
本题考查用分组分解法进行因式分解，观察多项式特征，正确分组是求解本题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌，
；
解：连接，如图所示：
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
垂直平分，
，
≌，
，，
，
，
． 

【解析】由，得出，由证得≌，即可得出结论；
连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由≌，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．