2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x<3B. x≠3C. x≤3D. x≥3
2.下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 3 2− 2=3C. 12− 3= 3D. 8÷ 2=4
3.下列条件是随机事件的是( )
A. 通常加热到100℃时，水沸腾B. 在只装有黑球和白球的袋子里，摸出红球
C. 购买一张彩票，中奖D. 太阳从东方升起
4.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. x2−2x=0B. x2+4x−1=0C. 3x2−5x+2=0D. 2x2−4x+3=0
5.用配方法解方程：x2−4x+2=0，下列配方正确的是( )
A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=6
6.某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为( )
A. 400(1+x2)=900B. 400(1+2x)=900
C. 900(1−x)2=400D. 400(1+x)2=900
7.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为m．( )
A. 2.5B. 2.6C. 2.7D. 2.8
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则sinB的值是( )
A. 513B. 1213C. 512D. 125
9.如图，已知直线l1//l2//l3，直线m、n与直线l1、l2、l3交于点A、B及点D，E，F.已知AB=2，BC=3，DE=4，则EF=( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
10.若△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 16：81
11.河堤的横断面如图，堤高BC是5m，迎水斜坡AB的长是10m，那么斜坡AB的坡度是( )
A. 1：2B. 1： 3C. 1：1.5D. 1：3
12.已知方程x2−3x+1=0的两根是x1，x2，则x12+x22=( )
A. 9B. 8C. 7D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.计算：2 2− 18=______．
14.若a−bb=35，则ab=______．
15.若a是方程x2−x+5=0的一个根，则代数式a2−a的值是______ ．
16.点(2,−3)关于y轴对称的点的坐标是______．
17.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则边AC的长为______ ．
18.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若DE=4，则BC= ______ ．
19.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为1.6km，则M，C两点间的距离为______km．
20.如图，已知∠ACD=∠B，若AC=6，AD=4，BC=10，则CD长为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
计算： (−3)2−2sin45°+| 2−1|．
22.(本小题8分)
已知如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD=3，AB=8，AE=4，AC=6.求证：△ADE∽△ACB．
23.(本小题8分)
从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为______；
(2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
24.(本小题8分)
已知关于x的方程2x2+kx−1=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是−1，求方程的另一个根．
25.(本小题8分)
图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图.支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处.若∠AED=48°，BE=110cm，DE=80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
26.(本小题8分)
某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，设这种商品每个涨价x元．
(1)填空：
原来每件商品的利润是______ 元；
涨价后每件商品的实际利润是______ 元(可用含x的代数式表示)；
(2)为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型.根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：x−3≥0，
∴x≥3．
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：A、 3与 2不是同类二次根式，不能合并进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式=2 2，故此选项不符合题意；
C、原式=2 3− 3= 3，故此选项符合题意；
D、原式= 8÷2= 4=2，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式加减法和二次根式的乘除法运算法则进行计算，并作出判断．
本题考查二次根式的混合运算，理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减法和二次根式除法的运算法则是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、一定发生，是必然事件，故错误；
B、一定不发生，是不可能事件，故错误；
C、可能发生也可能不发生，是随机事件，正确；
D、一定发生，是必然事件，故错误，
故选：C．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：A、△=(−2)2−4×0=4>0，方程有两个不相等的实数解；
B、△=42−4×(−1)=20>0，方程有两个不相等的实数解；
C、△=(−5)2−4×3×2=1>0，方程有两个不相等的实数解；
D、△=(−4)2−4×2×3=−8<0，方程没有实数解．
故选：D．
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是用配方法解一元二次方程，在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：把方程x2−4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2−4x=−2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x+4=−2+4，
配方得(x−2)2=2．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：设月平均增长率为x，
根据题意得400(1+x)2=900．
故选D．
设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
7.【答案】C
【解析】解：如图，CF⊥AB，则DE/​/CF，
∴△ADE∽△ACF，
∴ADAC=DECF，
即14.5=0.6CF，
解得CF=2.7，
故选：C．
根据DE/​/CF，可得△ADE∽△ACF，可得ADAC=DECF，进而得出CF即可．
本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=13，AC=12
∴sinB=ACAB=1213．
故选：B．
根据题意在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，直接运用三角函数的定义求解．
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
9.【答案】B
【解析】解：∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBC=DEEF，即23=4EF，
∴EF=6．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到ABBC=DEEF，然后利用比例的性质求EF．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10.【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且对应高线比为4：9，
∴△ABC与△DEF的周长比为4：9．
故选：C．
直接利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的性质：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查坡度的定义与应用，解题关键是坡度的定义，坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度，又称坡比．
可根据勾股定理求出AC的长，坡度比可以用垂直高度：水平距离来解答．
【解答】
解：在Rt△ABC中，AC= 102−52=5 3；
斜坡AB的坡比i=BC：AC=5：5 3=1： 3，
故选B．
12.【答案】C
【解析】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=1，
所以原式=(x1+x2)2−2x1x2=9−2×1=7．
故选C．
先根据根与系数的关系得到得x1+x2=3，x1x2=1，再利用完全平方公式变形原式得到(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
13.【答案】− 2
【解析】解：2 2− 18
=2 2−3 2
=(2−3) 2
=− 2，
故答案为：− 2．
把 18化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．
本题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
14.【答案】85
【解析】解：∵a−bb=35，
∴ab=a−b+bb=3+55=85，
根据比例的基本性质，对原式进行化简即可得出结果．
注意灵活运用合比性质对已知式进行变形．
15.【答案】−5
【解析】解：∵a是方程x2−x+5=0的一个根，
∴a2−a+5=0，
∴a2−a=−5．
故答案为：−5．
把x=a代入已知方程，通过移项求得答案．
本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16.【答案】(−2,−3)
【解析】【分析】
本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x,y)，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此解答即可．
【解答】
解：点(2,−3)关于y轴对称的点的坐标是(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
17.【答案】 3
【解析】解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2×2=4，
∴AC= 22−12= 3．
由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用勾股定理，即可求得AC的长．
本题主要考查了应用勾股定理解直角三角形，解题的关键在于用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半．
18.【答案】8
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=4，
∴BC=2×4=8．
故答案是：8．
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=12BC，从而求出BC．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
19.【答案】0.8
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵点M是AB的中点，
∴CM=12AB=0.8(km)，
∴M，C两点间的距离为0.8km，
故答案为：0.8．
根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
20.【答案】203
【解析】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAD=BCCD，
∵AC=6，AD=4，BC=10，
∴64=10CD，
∴CD=203．
故答案为：203．
由∠A=∠A，∠ACD=∠B，即可判定△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ACD∽△ABC是关键．
21.【答案】解：原式=3−2× 22+ 2−1
=3− 2+ 2−1
=2．
【解析】直接利用算术平方根的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22.【答案】证明：∵AD=3，AB=8，AE=4，AC=6，
∴ADAC=AEAB=12，
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【解析】首先根据已知得出AD：AC=AE：AB，又因为∠DAE=∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB．
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
23.【答案】12
【解析】解：(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为24=12，
故答案为：12；
(2)画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为212=16．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】(1)证明：Δ=b2−4ac=k2−4×2×(−1)=k2+8．
∵k2≥0，
∴k2+8>0，即Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解：设方程的另一个根为x1，
依题意得：−1⋅x1=−12，
解得：x1=12，
∴方程的另一个根为12．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=k2+8，由偶次方程的非负性可得出k2≥0，进而可得出k2+8>0，即Δ>0，由此可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的另一个根为x1，利用两根之积等于ca，即可求出x1的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”.
25.【答案】解：如图，过点D作DG⊥AE于点G，得矩形GBFD，
∴DF=GB，
在Rt△GDE中，DE=80cm，∠GED=48°，
∴GE=DE×cs48°≈80×0.67=53.6cm，
∴GB=GE+BE=53.6+110=163.6≈164cm．
∴DF=GB=164cm．
答：活动杆端点D离地面的高度DF为164cm．
【解析】过点D作DG⊥AE于点G，得矩形GBFD，可得DF=GB，然后根据锐角三角函数可得GE的长，进而可得活动杆端点D离地面的高度DF．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．
26.【答案】(1)2，2+x；
(2)根据题意，得 (2+x)(200−20x)=700．
整理，得x2−8x+15=0，
解这个方程得x1=3，x2=5，
答：售价应定为13元或15元．
【解析】【分析】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出一元二次方程，注意：利润=售价−进价．
(1)根据利润=售价−进价表示出商品的利润即可；
(2)每个涨价x元时，才能使得所赚的利润为700元，根据题意可得：(2+x)(200−20x)=700，解出x的值．
【解答】
解：(1)10−8=2(元)，
原来每件商品的利润是2元，
涨价后每件商品的实际利润是(2+x)元，
故答案为2，2+x；
(2)见答案．