湖南省衡阳市南岳二中2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

湖南省衡阳市南岳二中2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．若，则（　　）

A． B． C． D．

3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

4．某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（  ）

A． B．

C． D．

5．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高的小明站在距离路灯的底部（点）的点处，测得自己的影子的长为，则路灯的高度是（    ）

A． B． C． D．

6．利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（  ）

A．， B．，

C．， D．，

7．如图，在中，分别是边的中点，和四边形的面积分别记为，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

8．在中，，若则的值是（    ）

A． B． C． D．

9．下列说法错误的是（　　）

A．必然事件发生的概率是1

B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率

C．概率很小的事件不可能发生

D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得

10．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）

11．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝(   )

A． B． C． D．

12．已知实数是一元二次方程的根，则的值为（  ）

A．48 B．49 C．50 D．51

二、填空题

13．计算：__________．

14．一元二次方程的解是____．

15．如图，河堤横断面迎水坡的坡度，若米，则高度为__________米．

16．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．

17．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为____________．

18．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算__________．

三、解答题

19．解方程：

(1)；

(2)．

20．计算：

(1)；

(2)．

21．若的整数部分为，小数部分为；

（1）直接写出_________，__________；

（2）计算的值.

22．如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）

（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．

23．为了配合全市“创建全国文明城市”活动，某校共1200名学生参加了学校组织的创建全国文明城市知识竞赛，拟评出四名一等奖.

（1）求每一位同学获得一等奖的概率；

（2）学校对本次竞赛获奖情况进行了统计，其中七、八年级分别有一名同学获得一等奖，九年级有2名同学获得一等奖，现从获得一等奖的同学中任选两人参加全市决赛，请通过列表或画树状图的方法，求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.

24．如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点．

(1)与是否相似？为什么？

(2)试问：与有什么关系？

25．关于的方程有两个不相等的实数根．

(1)求的取值范围．

(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由

26．如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为.

（1）求坡面的铅垂高度（即的长）；

（2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.

参考答案：

1．C

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，再解即可．

【详解】解：由题意得：x＋1≥0，

解得：x≥−1，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

2．D

【分析】根据比例的性质，进行求解即可．

【详解】解：∵，

∴；

故选D．

【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握比例的性质，是解题的关键．

3．B

【分析】根据同类二次根式可直接进行排除选项．

【详解】A．，与被开方数不同，不是同类二次根式；

B．，与被开方数相同，是同类二次根式；

C．，与被开方数不同，不是同类二次根式；

D．，与被开方数不同，不是同类二次根式．

故选B．

【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键．

4．B

【分析】根据2019年“双十一”期间完成投递的件数=2017年“双十一”期间完成投递的件数列方程即可．

【详解】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，由题意得出，．

故选：B．

【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解题的关键．

5．B

【分析】根据平行得：△ABM∽△ODM，列比例式，代入可求得结论．

【详解】解：由题意得：AB∥OC，

∴△ABM∽△OCM，

∴

∵OA=12，AM=4，AB=1.6，

∴OM=OA+AM=12+4=16，

∴

∴OC=6.4，

则则路灯距离地面6.4米.

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．

6．D

【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．

【详解】解：∵

∴

∴

∴

∴，．

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键．

7．C

【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得的值．

【详解】∵分别是边的中点，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE：BC=1：2，

所以它们的面积比是1：4，

所以，

故选C．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

8．D

【分析】如图，根据，设BC=4k，AB=5k，根据勾股定理可得AC=3k，从而可求出tanA=.

【详解】如图，

∵，

∴设BC=4k，AB=5k，

由勾股定理可得AC=3k，

∴tanA=.

故选：D.

【点睛】本题考查了求直角三角形中锐角的正切值，利用勾股定理求出AC的长是解此题的关键.．

9．C

【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1

【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确；

B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；

C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；

D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，

故选C．

【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.

10．B

【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．

【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，

而A （4，3），

∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．

故选：B．

【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

11．B

【分析】设AB=x，求出BC=x，CD=AC=x，求出BD为（x+x），通过∠ACB＝45°，CD＝AC，可以知道∠D即为22.5°，再解直角三角形求出tanD即可．

【详解】解：设AB=x，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴AB=BC=x，

由勾股定理得：AC==x，

∴AC=CD=x

∴BD=BC+CD=x+x，

∴tan22.5°=tanD==

故选B．

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，设出AB=x能求出BD= x+x是解此题的关键．

12．A

【分析】将一元二次方程的解a代入方程可得出，再将代数式化为含的式子代入计算即可．

【详解】解：∵实数是一元二次方程的根，

∴，

∵．

故选：A．

【点睛】本题考查的知识点是求代数式的值，此类题目不需要求出a的值，再代入求解，只需将所求代数式化为含已知条件的式子求值即可．

13．

【分析】将二次根式化为最简二次根式再合并即可．

【详解】解：原式=．

故答案为：．

【点睛】本题考查的知识点是二次根式的加法运算，将二次根式化为最简二次根式是解此题的关键．

14．x1=-1，x2=2

【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．

【详解】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0，

分解因式得：（x+1）（x-2）=0，

可得x+1=0或x-2=0，

解得：x1=-1，x2=2．

故答案为：x1=-1，x2=2．

【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

15．15

【分析】在直角三角形中，已知坡面AC的坡比以及BC的值，通过解直角三角形可得出铅直高度AB的值．

【详解】解：由题意可得：，

∵米,

∴AB=15米．

故答案为：15．

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，掌握坡度、坡角．坡比的概念是解此题的关键．

16．1

【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．

【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，

可得判别式，

∴，

解得：．

故答案为：

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．

17．

【分析】列表得出所有等可能的情况结果，再得出积是偶数的情况数，即可求出所求的概率．

【详解】解：列表如下：

则所有可能的结果有4个，其中积为偶数的有3种结果，

∴两次抽得的数字之积为偶数的概率为，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

18．

【分析】根据，结合题意运算即可．

【详解】∵，

∴

=1-

=1-

=．

故答案为：．

【点睛】此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用，难度一般．

19．(1)，

(2)，

【分析】（1）先移项，再利用十字相乘法把方程左边分解为两个因式积的形式，求出的值即可；

（2）利用十字相乘法把方程左边分解为两个因式积的形式，求出的值即可．

【详解】（1）解：

∴或，

∴，．

（2）解：

∴或，

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；

（2）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式的加减计算，零指数幂和特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．

21．（1），；（2）.

【分析】先根据算术平方根的定义得到1＜＜2，则x=1，y=-1，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可．

【详解】解： 解：∵1＜3＜4，

∴1＜＜2，

∴x=1，y=-1，

（2）当时，原式

【点睛】本题考查估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查二次根式的混合运算．

22．（1）见解析，（2，﹣3）；

（2）见解析，1.5.

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而结合三角形面积求法得出答案．

【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

点B1的坐标为：（2，﹣3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

点C2的坐标为：（﹣2，﹣3）；

△A2B2C2的面积为：4﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2＝1.5．

.

【点睛】此题主要考查了平移变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．

23．（1）；（2）.

【分析】（1）让一等奖的学生数除以全班学生数即为所求的概率；

（2）画树状图（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．

【详解】（1）因为一共有1200名学生，每人被抽到的机会是均等的，四名一等奖，所以（每一位同学获得一等奖）；

（2）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）

共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，

所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率=.

【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

24．(1)；理由见解析

(2)，且

【分析】（1）由正方形的性质可知，，根据是的中点，，可得，，继而证明，即可得出结论；

（2）由的性质可得，，，因为，所以，可得．

【详解】（1）解：，理由如下：

∵四边形是正方形，

∴，，

又∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴．

（2）解：，且．理由如下：

由（1）知，，，

则，

∴；

∵，

∴，，

∴，

∴

∴．

【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答本题的关键．

25．(1)且

(2)不存在，理由见详解

【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式大于零，即可求解；

（2）用含的式子表示出方程的两个实数根的倒数和等于，计算出的值，再结合实际实际情况进行判断即可．

【详解】（1）解：关于的方程，，，，

∵有两个不相等的实数根，

∴，即，

∴且．

（2）解：设是关于的方程的两个根据，且，

若，则，

∴，

∵，

∴，

当时，关于的方程为，则，无解，

∴不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，两根之和，两个之积的关系是解题的关键．

26．（1）200；（2）.

【分析】(1) 根据AB的坡度得，再根据∠BAH的正弦和斜边长度即可解答；（2）过点作于点，得到矩形，再设米，再由∠DBE=60°的正切值，用含x的代数式表示DE的长，而矩形中，CE=BH=200米，可得DC的长，米，最后根据△ADC是等腰三角形即可解答.

【详解】解：（1）在中，，∴

∴米

（2）过点作于点，如图：

∴四边形是矩形，∴米

设米

∴在中，米

∴米

在中

∴米

在中，，∴

即

解得

∴米

（本题也可通过证明矩形是正方形求解.）

【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度．