2022-2023学年湖南省衡阳市衡东县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡东县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某篮球队员在一次训练中共投篮次，命中了其中的次，该运动员在这次训练中投篮命中的频率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各数中，不是无理数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各组数据中，能构成直角三角形的三边长的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

6.  回顾尺规作图法作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小熊不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块即图中标有、、、的四块，他只带了第块去玻璃店，就配到一块与原来一样大小的三角形玻璃．他利用了全等三角形判定中的(    )

A.  B.  C.  D.

8.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为则小正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  有下列说法：一个直角三角形的两条直角边长分别为、，则它的斜边长是；一个直角三角形的两边长分别是、，则它的第三条边长是；“一个三角形的三条边长分别是、、，因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理其中，正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，，，则，，大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  年开始，某省将试行“”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语门必选科目外，考生再从物理、历史中选门，从化学、生物、地理、政治中选门作为选考科目为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是(    )

A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多
B. 甲有个科目的成绩低于年级平均分
C. 甲的成绩从高到低的前个科目依次是地理、化学、历史
D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

12.  如图，在中，是边上的高，，，连接，交的延长线于点，连接，则下列结论：；；；；，其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  若，则 ______ ．

14.  若三角形三边满足：：：：，且周长为，则这个三角形最长边为______ ．

15.  比较下列实数的大小： ______ ．

16.  在一个不透明的口袋中，装有个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是______．

17.  如图，在中，，是边上的高若的面积为，则图中阴影部分的面积是______ ．

18.  如图，在中，，，分别以，为边作正方形，面积分别记为，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根．

21.  本小题分
为了让学生们能更直观地理解乘法公式，王老师准备了一节拼图实验课，她用四个长为，宽为的小长方形如图所示，拼成了一个边长为的正方形如图所示观察图形，回答下列问题：

图中，阴影部分的面积是______ ．
观察图，请你写出三个式子：，，之间的关系：______ ．
应用：已知，，求值：．

22.  本小题分
年北京冬奥会圆满结束，中国健儿奋力拼搏，一共获得了枚金牌、枚银牌、枚铜牌．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最喜欢的冬奥会运动健儿”问卷调查问卷共设有五个选项：“武大靖”、“徐梦桃”、“谷爱凌”、“苏翊鸣”、“齐广璞”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项，将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题：
此次调查的样本容量是______；在扇形统计图中，选项“武大靖”所在扇形的圆心角度数是______；
补全上面的条形统计图；
该校共有名学生，请你估计该校学生“最喜欢的冬奥会运动健儿”为“齐广璞”的人数．

23.  本小题分
如图，在长方形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，若．
试说明：≌；
求的长．

24.  本小题分
如图，已知四边形是梯形，，，，，垂足为．
求证：≌；
若，求的度数．

25.  本小题分
若一个四位数的前两位数字相同且各位数字均不为，则称这个数为“巴渝数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“桥梁数”；记一个“巴渝数”与它的“桥梁数”的差为，例如，前两位数字相同，所以为“巴渝数”；则就为它的“桥梁数”，．
______ ， ______ ．
若一个千位数字为的“巴渝数”能被整除，它的“桥梁数”能被整除，请求出满足条件的的最大值．

26.  本小题分
定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形称为“同根等腰三角形”，如图，，，为重合的顶角顶点，所以与是“同根等腰三角形”．
将图的绕点旋转，使点在的延长线上，如图，求证：．
如图，与是“同根等腰三角形”，且，连接、，试探究和的位置关系，并说明理由．
在图中，连接、，若，，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该运动员在这次训练中投篮命中的频率为．
故选：．
根据频率的公式：频率即可直接求解．
本题考查了频率的计算公式，理解公式是关键．

2.【答案】 

【解析】解：是无理数，故本选项不合题意是；
B.是分数，属于有理数，故本选项符合题意；
C.是无理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、无法计算，而，此选项错误；
故选：．
根据平方根和立方根的定义逐一计算可得．
本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义．

4.【答案】 

【解析】解：，运算正确，故A不符合题意；
，运算正确，故B不符合题意；
，运算错误，故C符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选：．
由合并同类项可判断，由同底数幂的乘法运算可判断，由幂的乘方运算可判断，由积的乘方运算可判断，从而可得答案．
本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，故A不能构成直角三角形，不符合题意；
，故B不能构成三角形，不符合题意；
，故C能构成三角形，符合题意；
，故D不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：．
先计算较小的两条边的平方，最大的边的平方，若相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
本题主要考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

6.【答案】 

【解析】解：根据作图过程可得，
在与中，
，
≌，
故选：．
作图中是做的两个三角形三边相等，因此是利用了定理判定两个三角形全等．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．

7.【答案】 

【解析】解：、、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：．
根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．
本题主要考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
，，
，
而，
，
故选：．
首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．

9.【答案】 

【解析】解：一个直角三角形的两条直角边长分别为、，则它的斜边长是；正确；
一个直角三角形的两边长分别是、，则它的第三条边长是或；错误；
“一个三角形的三条边长分别是、、，因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．正确；
其中，正确的个数是个，
故选：．
根据勾股定理和勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证与计算是解决问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
将、、化为同指数形式为，，，即可比较大小．
本题考查实数的大小比较，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，根据数的特点，将数变为同指数形式是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分左右，比化学、地理要高，正确，不符合题意；
：其中有政治、历史比年级平均分低，正确，不符合题意；
：甲的成绩从高到低的前个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误，符合题意；
：由知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确，不符合题意；
故选：．
根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误．
本题考查对图表数据的整合，掌握相关知识是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：，
，即，
又，
≌，
，故正确；
≌，
，
又与所交的对顶角相等，
与所交角等于，即等于，
，故正确；
过点作于点，过点作交的延长线于点，

，
，，
，
又，
≌，
，
同理≌，
，，
，
，，
，
，
≌，
，
．
故正确，
≌，
．
故正确．
≌，≌，≌，
，故正确．
故选：．
证得≌，从而推得正确；利用≌及三角形内角和与对顶角，可判断正确；证明≌，得出，同理≌，得出，，则，证明≌，得出则可得出正确，由≌可得出结论正确，根据全等三角形的性质即可得到正确．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：．
故答案为：．
先把化为，然后根据等式两边的数得出，求得的值即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．

14.【答案】 

【解析】解：：：：：，
设三边长分别为：，，，
周长为，
，
解得：，
三边长分别为：，，，
三角形的最长边为：，
故答案为：．
先根据三边比设三边长分别为，，，再根据周长公式建立方程即可．
本题主要三角形的周长公式，一元一次方程的应用，解题的关键是利用方程思想正确计算出三边长．

15.【答案】 

【解析】解：，即，
，
．
故答案为：．
由算术平方根的含义可得，可得，再利用不等式的性质可得答案．
本题考查的是无理数的大小比较，算术平方根的含义，掌握无理数的大小比较的方法是解本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：摸到黄球的频率为．
故答案为：．
利用黄球的个数除以总的个数即可求出摸到黄球的频率．
本题考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比，即频率频数总数．

17.【答案】 

【解析】解；，是边上的高，
，
，，
，
阴影部分的面积，
的面积为，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形三线合一判断出阴影部分的面积等于的面积的一半，然后计算即可得解．
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握利用三线合一是本题解题关键．

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：．
在直角三角形中，利用勾股定理求出的值，根据，分别表示正方形面积，求出的值即可．
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

19.【答案】解：

． 

【解析】先计算算术平方根．化简绝对值，求解立方根，再合并即可．
本题考查是算术平方根的含义，化简绝对值，求解立方根，实数的混合运算，掌握“算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键．

20.【答案】解：的算术平方根为，
，
，
的立方根为，
，
，
，
的平方根是． 

【解析】根据算术平方根和立方根定义得出，，求出，，求出的值，再根据平方根定义求出即可．
本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解此题的关键是能关键题意求出、的值．

21.【答案】或   

【解析】解：图中，阴影部分的面积是，也可以是，
故答案为：或；
由得：三个式子：，，的关系为：
；
故答案为：；
，，，
，
．
利用大正方形的面积减去四个长方形的面积可得阴影部分的面积，也可以直接求解阴影小正方形的边长可得其面积；
由的阴影部分的面积不变，可得关系式；
由可得，再整体代入计算，利用平方根的含义可得答案．
本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，平方根的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．

22.【答案】；
选项的人数为：人，
补全条形统计图为：


根据题意得：
人，
所以估计该校学生“最喜欢的冬奥会运动健儿”为“齐广璞”的人数为人． 

【解析】解：此次调查的样本容量为：；
选项“武大靖”所在扇形的圆心角度数是：；
故答案为：，；
见答案；
见答案．
用选项的人数除以它所占的百分比得到总人数，从而得到样本容量；用选项的人数所占的百分比乘以得到选项“武大靖”所在扇形的圆心角度数；
先计算出选项的人数，然后补全条形统计图；
用乘以样本中选项人数所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，
由翻折的性质可知，，
，
在和中，
，
≌；

解：≌，
，，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
； 

【解析】根据证明三角形全等即可；
证明，设，利用勾股定理求根据方程求出即可解决问题；
本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】证明：，
，
，，
，
，
≌．
≌，
，
，
，
，
． 

【解析】根据，得到，利用证明全等即可；
根据≌，得到，结合，计算，利用直角三角形两个锐角互余，计算，计算即可．
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．

25.【答案】   

【解析】解：，．
故答案为：，；
一个千位数字为的“巴渝数”能被整除，它的“桥梁数”能被整除，
这个“巴渝数”为或或或或，
，
，
，
，
，
满足条件的的最大值是．
根据一个“巴渝数”与它的“桥梁数”的差为即可求解；
由题意可得这个“巴渝数”为或或或或，再根据的定义求值，进一步求得最大值．
本题考查了数的整除性，新定义的阅读理解能力，求代数式的值，对整除概念的理解，以及综合运用知识的能力

26.【答案】证明：，，
，，
点在的延长线上，，
，，共线，，
，
，
；
解：，理由如下：
设交于，交于，如图：

，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
，
，
；
解：延长，过作于，如图：

，，
，，
，
，，
，
，
由，可得是等腰直角三角形，
，
，
在中，
，
由知≌，
，
设，则，
由知，
，
，
解得，即，
，，
，
在中，
．
的值是． 

【解析】由，，可得，，又点在的延长线上，，即得，，故DE；
设交于，交于，证明≌，得，又，故，而，即得；
延长，过作于，由，，得，，又，可得，，从而，是等腰直角三角形，，在中，，设，则，由，可得，从而，，有，在中，即得．
本题考查等腰三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及等腰直角三角形的性质．