2022-2023学年湖南省长沙一中双语中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙一中双语中学八年级（上）期末数学试卷

1.  下列服装中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是，将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列各式从左到右的变形中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，，P是的角平分线上的一点，于点M，交OA于点N，若，则PN的长为(    )
 

A. 1
B.
C. 3
D. 2

6.  随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  下列结论：①不论a为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是且其中正确的是(    )

A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④

10.  为非负整数当，1，2，3，…时的展开情况如下所示：






观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是(    )

A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024

11.  已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ .

12.  如图，≌，请根据图中提供的信息，写出______.

13.  如果，，那么代数式的值是______ .

14.  若，则______ .

15.  如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在OA上，若，，则______.

16.  如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为______ .

17.  计算：

 

18.  因式分解
；
 

19.  已知，求代数式的值.

20.  某校为了解疫情期间学生在家上网课的学习情况，随机抽取了该校部分学生对其学习效果进行调查，根据相关数据，绘制成如图不完整的统计图．

此次调查该校学生人数为______名，学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为______；
补全条形图；
请估计该校3000名学生疫情期间网课学习效果“一般”的学生人数．

21.  已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使求证：是等边三角形．
 

22.  在新冠肺炎疫情期间，某校为了常态化的测量学生的体温，拟购买若干个额温枪发放到班主任和相关人员手中，现有A型、B型两种型号的额温枪可供选择．已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪的数量与用4500元购进B型额温枪的数量相等．
每只A型、B型额温枪的价格各是多少元？
若该校计划购进型B型额温枪共30只，且购进两种型号额温枪的总金额不超过5800元，则最多可购进A型额温枪多少只？

23.  如图，AD为的角平分线．

如图1，若于点F，交AB于点E，，则______.
如图2，若，点E在AB上，且，，，求CD的长；用含a、b的式子表示
如图3，，点G在AD的延长线上，连接CG，若的面积是7，求的面积．

24.  定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例如，分式，是真分式.如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如
判断：分式是______ ，分式是______ ；填“真分式”或“假分式”
将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
若x是整数，且分式的值为整数，求x的值.

25.  如图，中，，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且
如图1，过F点作交AC于D点，求证：≌，并写出EC、CD和DF的数量关系；
如图2，连接BF交AC于G点，若，求证：E点为BC中点；
当E点在射线CB上，连接BF与直线AC交于G点，若，求

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

3.【答案】C 

【解析】解：作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于点P，则，此时管道长度最短．
故选：
根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：A、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】
过点P作，垂足为C，利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【解答】
解：过点P作，垂足为C，

平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：  

6.【答案】B 

【解析】解：现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，且现在每天生产x万份疫苗，
更新技术前每天生产万份疫苗．
依题意得：
故选：
由现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗及现在每天生产x万份疫苗，可得出更新技术前每天生产万份疫苗，利用工作时间=工作总量工作效率，结合现在生产500万份疫苗所需的间比更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

7.【答案】A 

【解析】解：根据题意，得，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

8.【答案】C 

【解析】解：延长AP交BC于E，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，

故选：
根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
 

9.【答案】A 

【解析】解：①正确，不论为何值不论，不论a为何值都有意义；
②错误，当时，，此时分式无意义，此结论错误；
③正确，若的值为负，即，即，此结论正确；
④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，，且，故此结论错误．
故选：
根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．
本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．
 

10.【答案】C 

【解析】解：当时展开式所有系数的和为
当时展开式所有系数的和为
当时展开式所有系数的和为
当时展开式所有系数的和为
当时展开式所有系数的和为
当时展开式所有系数的和为
……
当时展开式所有系数的和为
故选：
由特殊情况，可以总结出一般规律．
本题考查杨辉三角的有关知识，关键是由特殊情况观察规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得
故答案为：
根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

12.【答案】20 

【解析】解：如图，，
≌，
，
即
故答案为：
先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答．
本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，
，即，
，，
当时，原式，
当时，原式，
故答案为：
将两边进行平方，结合已知得到，利用完全平方公式的形式，求得，对原式进行因式分解，再将式子整体代入求值即可．
本题考查了因式分解和代数式求值，利用完全平方公式的特点进行求解是解题的关键．
 

14.【答案】2022 

【解析】解：，
，





，
故答案为：
先把条件变式，再把原式变式，整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，整体代入法是解题的关键．
 

15.【答案】4 

【解析】解：如图，作于点G，
点E在的平分线上，，，
，
，
，
故答案为：
作于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得EG的长，难度不大．
 

16.【答案】1 

【解析】解：，
，，，



，
，
原式
故答案为：
把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及整体思想的运用．
 

17.【答案】解：



；


 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

；
原式
 

【解析】提公因式即可；
先提公因式xy，再利用完全平方公式即可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

19.【答案】解：



，
，
，
原式 

【解析】先算括号里的式子，再算括号外的除法，然后根据可以得到，然后代入化简后的式子即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】解：，；
学习效果“一般”的人数为名，
补全图形如下：

听课效果一般的学生所占百分比为，
由样本估计总体得：该校听课效果一般的学生人数为名
答：该校听课效果一般的学生人数为900名． 

【解析】解：此次调查的学生人数为名，
学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为，
故答案为：100，；
见答案；
见答案．
由学习效果“很好”的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“较差”人数所占比例即可得；
根据四种学习效果的人数之和等于被调查的总人数求出“一般”的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中学习效果“一般”的学生人数所占比例即可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】证明：是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理，

是等边三角形． 

【解析】由是等边三角形，，易证得≌，即可得，同理可得，即可证得：是等边三角形．
此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．
 

22.【答案】解：设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是元，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
元，
答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；
设购进A型号额温枪a只，
，
，
最多可购进A型号额温枪20只． 

【解析】设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是元，由“用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等”列出方程可求解；
设购进A型号额温枪a只，“购买两种额温枪的总资金不超过5800元”列出不等式可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】3 

【解析】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
故答案为：
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
；
如图，延长AC、BG交于H，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，

，
设，
，
，
，
，

利用ASA证明≌，得出，再利用即可求得答案；
利用SAS证明≌，得出，，由题意可得出，再利用等角对等边证得，即可得出答案；
延长AC、BG交于H，先证明≌，得出：，，利用等底等高的两个三角形面积相等可得，设，即可得出答案．
本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
 

24.【答案】真分式  假分式 

【解析】解：分式的分子的次数为0，低于分母的次数1，
所以是真分式；
分式的分子的次数为2，高于分母的次数1，
是假分式；
由题可得，；



，
分式的值为整数，且x为整数，
，，
，，6，0，4，2，
故x的值为：12，，6，0，4，
分式的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式的分子的次数高于分母的次数，所以是假分式；
根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
本题考查了分式的加减混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

25.【答案】证明：如图1，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，即；

证明：如图2，过F点作交AC于D点，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
点为BC中点；

解：过F作的延长线交于点D，如图3，
，，，
，
由知：≌，≌，
，，
，
，
，
同理，当点E在线段BC上时，
故答案为：或 

【解析】通过全等三角形≌的对应边相等得到：，，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
过F点作交AC于D点，根据中结论可得，即可证明≌，可得，根据可证，根据，，即可解题；
过F作的延长线交于点D，易证，由可知≌，≌，可得，，即可求得的值，即可解题．
本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌、≌是解题的关键．