2021北京丰台高一（下）期中数学（B）（教师版）

2021北京丰台高一（下）期中

数    学（B）

一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）

1．（4分）复数的虚部为　　

A．2 B． C．1 D．

2．（4分）已知点，，则　　

A． B． C． D．

3．（4分）要得到函数的图象，只要将函数的图象　　

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

4．（4分）在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（4分）已知，且，那么等于　　

A． B．3 C． D．2

6．（4分）如图，在的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量，那么　　

A．0 B． C．1 D．2

7．（4分）已知，，，是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（4分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

9．（4分）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则是　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

10．（4分）如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为　　

A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米

二、填空题（每题4分，共24分）

11．（4分）如图，在中，是上一点，则　　．

12．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数　　．

13．（4分）若，，，且、、三点共线，则　　．

14．（4分）在中，已知，，，则　　．

15．（4分）已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为　　．

16．（4分）已知函数给出下列三个结论：

①是偶函数；

②有且仅有3个零点；

③的值域是，．

其中，正确结论的序号是　　．

三、解答题（共4小题，共36分.）

17．（9分）已知向量与，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设，的夹角为，求的值；

（Ⅲ）若向量与互相平行，求的值．

18．（9分）设的内角，，的对边分别为，，．已知，，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积．

19．（9分）已知平面向量，，，，且与的夹角为．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）若与垂直，求的值．

20．（9分）已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．

2021北京丰台高一（下）期中数学（B）

参考答案

一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）

1．【分析】直接利用复数的基本概念得答案．

【解答】解：复数的虚部为1．

故选：．

【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．

2．【分析】根据平面向量的坐标表示，求出即可．

【解答】解：点，，

则，，．

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．

3．【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，

即可得到函数的图象，

故选：．

【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．

4．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为的形式，即可确定复数所在象限．

【解答】解：，

复数所对应的点为，

故选：．

【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．

5．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果．

【解答】解：已知，且，

所以，

则，

所以．

故选：．

【点评】本题考查知识要点：三角函数的关系式的变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

6．【分析】可作单位向量，，从而可用单位向量，表示向量，，，根据平面向量基本定理可得出关于，的方程组，解出，的值，从而计算．

【解答】解：如图所示，作单位向量，，

则：，，；

，

又，

，

，

解得，

．

故选：．

【点评】该题考查平面向量的基本定理，利用实数，的唯一性解决问题，属于基础题型．

7．【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断．

【解答】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，

但由四边形为平行四边形一定可得，

故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，

故选：．

【点评】本题主要考查对共线定理，平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

8．【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：在区间上，，没有单调性，故排除．

在区间上，，单调递减，故排除．

在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故正确；

根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题．

9．【分析】把已知的等式利用正弦定理化简后，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式变形，由和都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到，根据等角对等边可得此三角形为等腰三角形．

【解答】解：，即，，

变形得：，

整理得：，

又和都为三角形的内角，

，即，

则为等腰三角形．

故选：．

【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的判定，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

10．【分析】由题意，利用正弦定理即可求得的值．

【解答】解：由题意知，在中，，，，

由正弦定理得，

解得．

处与地面目标的距离为千米．

故选：．

【点评】本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．

二、填空题（每题4分，共24分）

11．【分析】由题意利用两个向量的加减法法则，计算求得结果．

【解答】解：，

故答案为：．

【点评】本题主要考查向量的加减法法则的应用，属于基础题．

12．【分析】根据复平面内复数与对应点的坐标之间的关系，写出复数和它的共轭复数．

【解答】解：复平面内，复数对应的点的坐标是，

所以复数，

它的共轭复数是．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．

13．【分析】【方法一】由、、三点共线，得与共线；利用向量的知识求出的值；

【方法二】由、、三点共线，得；利用直线的斜率求出的值．

【解答】解：【方法一】

、、三点共线，

与共线；

，，，

，，，

，

解得；

【方法二】、、三点共线，

；

，

，

，

解得；

故答案为：10．

【点评】本题考查了三点共线的判定问题，利用向量的知识比较容易解答，利用斜率相等也可以解答．

14．【分析】可求出，然后根据正弦定理可得出，根据可求出的值，从而可求出的值．

【解答】解：在中，，，

，且，

根据正弦定理得：，且，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，考查了计算能力，属于基础题．

15．【分析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量．

【解答】解：向量在向量方向上的投影为，

由于向量在向量方向上的投影向量与共线，

可得所求向量为，，

故答案为：，．

【点评】本题考查一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．

16．【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③．

【解答】解：函数，

①是非奇非偶函数，所以①不正确；

②，可得，，，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；

③函数，的值域是，，正确；

正确结论的序号是：②③．

故答案为：②③．

【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的性质的应用，是基本知识的考查．

三、解答题（共4小题，共36分.）

17．【分析】结合向量减法的坐标表示即可求解；

结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；

结合向量平行的坐标表示即可求解．

【解答】解：（1）因为，，

所以；

（Ⅱ），

，，

由题意可得，，

整理可得，，

解可得，．

【点评】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量夹角公式及平行的坐标表示，属于基础试题．

18．【分析】（Ⅰ）直接利用同角三角函数的关系式和正弦定理的应用求出结果．

（Ⅱ）利用和角公式和三角形的面积公式求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）在中，已知，，

所以．

利用正弦定理，整理得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

所以，

所以．

【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）直接根据平面向量数量积计算公式求解；

（Ⅱ）先求出，再开方即可得；

（Ⅲ）根据向量垂直的充要条件得，展开即得到关于的方程，解方程即可的答案．

【解答】解：（Ⅰ）．

（Ⅱ），

．

（Ⅲ）若与垂直，

则，

即，

即，

．

【点评】本题考查了向量数量积、模的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．

20．【分析】（Ⅰ）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；

（Ⅱ）由已知的范围，结合正弦函数的性质即可求解；

（Ⅲ）由已知可转化为与的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）由，

得的最小正周期为．

（Ⅱ）因为，

所以，

所以．

从而．

所以当，即时，的最大值为2；

当，即时，的最小值为．

（Ⅲ）由，得，而函数在上单调递增，

，在上单调递减，，，

所以若函数在上有两个不同的零点，则．

【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．