2021北京丰台高一（下）期末数学（教师版）

2021北京丰台高一（下）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（4分）在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）已知向量，且，则向量可以是　　

A． B． C． D．

3．（4分）在平行四边形中，是对角线和的交点，则　　

A． B． C． D．

4．（4分）已知正三棱锥，底面的中心为点，给出下列结论：

①底面；

②棱长都相等；

③侧面是全等的等腰三角形．

其中所有正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

5．（4分）已知，则　　

A． B． C． D．

6．（4分）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

7．（4分）如图，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若球的体积为，则圆柱的表面积为　　)

A． B． C． D．

8．（4分）在中，点在线段上，且，若，则　　

A． B． C．2 D．3

9．（4分）在中，若，且，则　　

A． B． C． D．

10．（4分）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为正弦型曲线）

体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如表所示：

如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲　　

A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 

B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷 

C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 

D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）已知，且，则　　．

12．（5分）为调研某校学生的课外阅读情况，通过随机抽样调查，获得100名学生每天的课外阅读时间，所得数据均在区间，（单位：上，其频率分布表如下：

则　　；根据以上数据，估计该校学生每天课外阅读时间的分位数为 　　．

13．（5分）若复数，其中为虚数单位，则　　．

14．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的一个取值为 　　．

15．（5分）如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，且．给出下列结论：

①；

②三棱锥的体积为定值；

③点在线段上为的中点）；

④△面积的最大值为2．

其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（13分）已知向量，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求与夹角的大小；

（Ⅲ）求．

17．（14分）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．

某公司有3000名员工，为了解该公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了100名男员工、50名女员工的身高体重数据，计算得到他们的，进而得到频率分布直方图如下：

（Ⅰ）该公司男员工和女员工各有多少人？

（Ⅱ）根据及频率分布直方图，估计该公司男员工为肥胖的有多少人？

（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计该公司男员工的平均数为，女员工的平均数为，比较与的大小．（直接写出结论，不要求证明）

18．（14分）如图，在中，是边上一点，，，．

（1）求的长；

（2）若，求角的大小．

19．（15分）如图，在三棱柱中，侧面底面，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

（Ⅲ）若，求异面直线与所成角的大小．

20．（14分）已知函数的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，求函数在区间上的最小值．

条件①：的图象过点；

条件②：的图象关于直线对称；

条件③：在区间上单调递增．

21．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．

（Ⅰ）若平面交于点，求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）判断直线与平面所成角的大小是否可以为，并说明理由．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】写出复数对应的点可解决此题．

【解答】解：复数对应的点为，

复数对应的点位于第四象限，

故选：．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查直观想象能力，属于基础题．

2．【分析】根据题意，依次分析选项中向量是否与垂直，即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，有，则有，符合题意；

对于，，有，则不成立，不符合题意；

对于，，有，则不成立，不符合题意；

对于，，有，则不成立，不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．

3．【分析】根据已知条件，可得，再结合向量的运算性质，即可求解．

【解答】解：四边形为平行四边形，，

．

故选：．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及向量的运算性质，属于基础题．

4．【分析】利用正三棱锥的定义以及结构特征，依次判断即可．

【解答】解：由正三棱锥的定义可知，顶点在底面的射影为底面的中心，

所以底面，故选项①正确；

由正三棱锥的定义可知，底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心，

但是侧棱长和底面边长的大小关系不确定，故选项②错误；

由正三棱锥的定义可知，侧棱长均相等，所以侧面是全等的等腰三角形，故选项③正确．

故选：．

【点评】本题考查了正三棱锥的定义以及正三棱锥的结构特征，考查了空间想象能力，属于基础题．

5．【分析】由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

6．【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定；由平行于同一直线的两平面的位置关系判定；由直线与平面垂直的性质判断；由空间中直线与平面垂直的关系判断．

【解答】解：若，，则或与相交或与异面，故错误；

若，，则或与相交，故错误；

若，，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；

若，，因为与的位置关系不确定，所以与的位置关系不确定，故错误．

故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

7．【分析】利用球的体积公式求出球的半径，从而得到圆柱的底面半径和高．

【解答】解：设球的半径为，则，解得；

所以圆柱的底面半径为1，高为2，表面积为．

故选：．

【点评】本题考查球的体积公式和圆柱的表面积公式，属于基础题．

8．【分析】由已知得，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．

【解答】解：因为，

所以，

所以，

故，

若，

则，，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．

9．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用求出结果．

【解答】解：在中，若，

利用正弦定理：，

整理得：，

化简得：，

故或（舍去），

由于，

所以．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

10．【分析】根据题意，由图象分析体力、情绪、智力的周期，由此分析同学甲的状态，即可得答案．

【解答】解：根据题意，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，

由图分析可得：体力的周期为23天，情绪的周期为28天，智力的周期为33天；

从同学甲出生到今日的天数为5850，

对于体力，有，处于高潮期，体力充沛，

对于情绪，有，处于低潮期，心情烦躁，

对于智力，有，处于高潮期，思维敏捷，

故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷；

故选：．

【点评】本题考查合情推理的应用，注意由图象分析体力、情绪、智力的周期，属于基础题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】由两个向量共线的性质可得，解方程求得的值．

【解答】解：已知，且，则由两个向量共线的性质可得

，解得，

故答案为 6．

【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．

12．【分析】利用频率之和为1列式求解即可求出；由百分位数的定义求解即可．

【解答】解：由题意可知，，解得；

，

又，，

故该校学生每天课外阅读时间的分位数为85．

故答案为：0.3；85．

【点评】本题考查了频率分布表的应用，频率之和为1的应用，百分位定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

13．【分析】可先将复数进行化简，再求出的模即可．

【解答】解：，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算，以及复数的模，属于基础题．

14．【分析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的一个取值．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数的图象．

若函数的图象关于原点对称，则，，

则的一个取值为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．

15．【分析】根据立体几何中线线，线面，面面的位置关系，结合正方体的特征，逐个分析，即可得出答案．

【解答】解：对于①：由正方体的特征可得，，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以，故①正确；

对于②：三棱锥的体积为，故②正确；

对于③：当位于点是，，

当位于的中点时，由已知得，

，，

，，

所以，

，，

所以，

得，

又，

所以平面，得到的轨迹在线段上，故③正确；

对于④：由，，

所以点到棱的最大值为，

所以△面积的最大值为，故④错误．

故答案为：①②③．

【点评】本题考查空间中线线，线面，面面的位置关系，属于中档题．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）直接利用向量的数量积公式求解；

（Ⅱ）利用向量的数列数量积公式；求解向量与夹角的大小；

（Ⅲ）通过向量的模的议事规则求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）向量，．

所以；

（Ⅱ），，所以向量与夹角的大小为；

（Ⅲ），，，．

【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的夹角以及向量的模的求解，是基础题．

17．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的比例关系可求得男女员工人数；

（Ⅱ）根据频率分布直方图的性质即可求出男员工肥胖人数；

（Ⅲ）由图计算出，即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题可得男员工人数为人，女员工人数为人；

（Ⅱ）男员工肥胖人数为人；

（Ⅲ）．

由图可得，

，

所以．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查学生计算能力，属于基础题．

18．【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．

（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．

【解答】解：（1）在中，，，．

利用余弦定理，

解得．

（2）利用余弦定理，

所以，

在中，利用正弦定理，整理得，

故．

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）由三棱柱的性质知，，再由线面平行的判定定理，得证；

（Ⅱ）由面面，可推出面，再由面面垂直的判定定理，得证；

（Ⅲ）易知，或其补角即为所求，由（Ⅱ）知，面，从而有，再由三角函数即可得解．

【解答】（Ⅰ）证明：由三棱柱的性质知，，

平面，平面，

平面．

（Ⅱ）证明：面面，面面，且

面，

又平面，

平面平面．

（Ⅲ）解：，

或其补角为异面直线与所成角，

由（Ⅱ）知，面，

面，，

在△中，，

异面直线夹角的范围为，，

，

故异面直线与所成角的大小为．

【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，异面直线夹角的求法，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于基础题．

20．【分析】根据已知条件，结合三角函数的周期公式，即可求解．

选择条件①，将点，代入中，可推得，即，运用三角函数得恒等变换将化简为，再根据的取值范围和正弦函数的图象，即可求解，选择条件②，由于的图象关于直线对称，即，可推得，以下同选择条件①，选择条件③，根据已知条件，结合正弦函数的单调性，可得当时，取得最大值，即，可推得，以下同选择条件①．

【解答】解：函数的最小正周期为，，

．

选择条件①，

的图象过点，

，

，

又，

，

，

，

，

，

当时，即，取得最小值，

选择条件②，

的图象关于直线对称，

，

，

又，

，以下同选择条件①，

选择条件③，

函数的最小正周期为，

，

在区间上单调递增，

，

当时，取得最大值，

，

，

又，

，以下同选择条件①．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据已知条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．

21．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明平面，平面，由线面平行的性质定理即可证明；

（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而通过，，即可证明平面；

（Ⅲ）由线面角的定义可得，即为直线与平面所成的角，利用边角关系求出的范围，从而得到的范围，即可得到答案．

【解答】（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以，

因为平面，平面，所以平面，

又平面交于点，所以平面平面，

又平面，所以；

（Ⅱ）证明：因为底面，平面，所以，

又为正方形，则，又，，平面，

所以平面，又平面，

所以，因为，所以，且，，平面，

故平面；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，即为直线与平面所成的角，

则，

设，则，

故，所以，

则，

又，故，

所以直线与平面所成角的大小不可以为．

【点评】本题考查了线面平行的判定定理的应用，线面垂直的判定定理和性质定理的应用，线面角定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．