2021北京昌平高一（上）期末数学（教师版）

2021北京昌平高一（上）期末

数    学

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回.

第一部分（选择题  共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线关于直线对称，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知矩形中，，若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，，则（    ）

A. 3 B. 4 C. 8 D. 9

8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为，，，，.已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（ ）

A  B.  C.  D.

9. 已知四边形中，，则 “”是“四边形是矩形”（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 已知函数.若存在实数，使得函数在区间上值域为，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题  共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11. 已知命题，则为_______.

12. 已知函数，则函数在区间上的平均变化率为_______

13. 已知，则的最小值为_____ ，当取得最小值时的值为______ .

14. 已知向量，，且与共线，则实数______ .

15. 某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图所示.则男生成绩的75%分位数为______；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为________ .

16. 已知函数

（Ⅰ）若，则函数零点是________；

（Ⅱ）如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数.在给出的① ；② ；③ 三个数中，为函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. 已知全集，或，.

（I）当时，求，，；

（II）若，求实数a的取值范围.

18. 已知关于的方程有两个不等实根.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）设方程的两个实根为，且，求实数的值；

（Ⅲ）请写出一个整数值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）

19. 某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:

（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;

（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；

（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小.（直接写出结果）

20. 已知函数且.

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）当时，求函数的值域；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

21. 已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.

（1）当时，设，求；

（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.

2021北京昌平高一（上）期末数学

参考答案

第一部分（选择题  共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

1. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：C.

2. 【答案】B

【解析】

【分析】

将选项中的函数逐一检验，可得答案．

【详解】对于A，不是奇函数，错误；

对于B，既是奇函数又在上是增函数，正确；

对于C，不是奇函数，错误；

对于D，在上是减函数，错误；

故选：B

3. 【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；

【详解】因为，所以

所以

故选：C

4. 【答案】D

【解析】

【分析】

先得出曲线关于直线对称的曲线方程，再由换元法求出函数的解析式.

【详解】曲线关于直线对称的曲线为，即

令，则，即

故选：D

【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是由同底的指数函数和对数函数关于直线对称，再由换元法求出解析式.

5. 【答案】B

【解析】

【分析】

先由题中条件，得到，再由平面向量的线性运算，用和表示出，即可得出结果.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B.

6. 【答案】C

【解析】

【分析】

先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.

【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术” 五个专区为、、、、；

从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；

选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即专区），所对应的基本事件有：，，，，共个基本事件；

因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是.

故选：C.

7. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.

【详解】，

.

故选：A.

8. 【答案】D

【解析】

【分析】

先得出，，，对应的频率，再由净重小于94克的个数为36，求出样本容量，最后由，，对应的频率得出答案.

【详解】，，，对应的频率分别为：

设样本容量为

因为净重小于94克的个数为36，所以，解得

则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为

故选：D

9. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分条件，必要条件定义即可判断.

【详解】解：充分性：在四边形中，，，

则四边形为平行四边形，不一定是矩形；

必要性：四边形是矩形，则一定有；

故“”是“四边形是矩形”的必要而不充分条件.

故选：B.

10. 【答案】A

【解析】

【分析】

由函数解析式可得函数在上单调递增，依题意可得，即可得到为方程的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得；

【详解】解：因，所以在上单调递增，

要使得函数在区间上的值域为，所以，即，所以为方程的两不相等的非负实数根，所以，解得，即

故选：A

第二部分（非选择题  共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11. 【答案】

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定，可直接得出结果.

【详解】命题的否定为：.

故答案为：

12. 【答案】12

【解析】

【分析】

根据平均变化率的定义计算可得答案.

【详解】由定义可知，平均变化率为.

13. 【答案】    (1).     (2).

【解析】

分析】

利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的值．

【详解】，

当且仅当时取等号

故答案为：

14. 【答案】

【解析】

【分析】

先得出，再根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求出结果.

【详解】因为向量，，所以，

又与共线，

所以，解得.

故答案为：

15. 【答案】    (1).     (2). 200

【解析】

【分析】

根据75%分位数的求法，结合题中数据，即可得答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数.

【详解】将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且，

所以男生成绩的75%分位数为；

设高一年级学生总数为n，

因为用分层抽样方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，

所以，解得，

故答案为：；200.

16. 【答案】    (1).     (2). ②③

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据函数解析式，令，再分类讨论，分别计算可得；

（Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断．

【详解】解：（Ⅰ）当，，令，即或解得，故函数的零点为

（Ⅱ）由题意可得的值域为的值域的子集，

当时，由时，；

由时，， ，不满足题意；

当时，由时，；

由时，，，，，满足题意；

当时，由时，，；

由时，， ，满足题意．

综上可得函数的包容数是②③．

故答案为：；②③

【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力．

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. 【答案】（I），或，；（II）或

【解析】

【分析】

（I）利用集合的交并补运算的定义求解即可；

（II），即，列不等式可得实数a的取值范围．

详解】（I）当时，或，，

则，或，

，；

（II），即

则或，即实数a的取值范围是或

18. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）依题意，解得即可；（Ⅱ）利用韦达定理得到，再代入方程，解得即可；

（Ⅲ）依题意找出合适的即可；

【详解】解：（Ⅰ）因为方程有两个不相等实数根，所以，即，解得，即

（Ⅱ）因为方程的两个实根为，所以，，又，所以，解得或，又，所以

（Ⅲ）当时，方程，解得，满足条件；

19. 【答案】（Ⅰ）小时（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；

（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；

（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出

【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为小时

（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有人，记为，女生有人，记为

从中任选2人的所有情况为，，，共种，

其中选到男生和女生各1人的共有种

故选到男生和女生各1人的概率

（Ⅲ）

【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.

20. 【答案】（1）偶函数；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）先求得函数的定义域为R，再由，可判断函数是奇偶性；

（2）由，所以，以及对数函数的单调性可得函数的值域；

（3）对任意，恒成立，等价于，分，和，分别求得函数的最值，可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为且，所以其定义域为R，又，所以函数是偶函数；

（2）当时，，因为，所以，

所以函数的值域为；

（3）对任意，恒成立，等价于，

当，因为，所以，所以，解得，

当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在，

综上得：实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：

① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

② 数形结合( 图象在 上方即可)；

③ 讨论最值或恒成立.

21. 【答案】（1）；；（2）；证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）直接代入计算和；（2）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况.

【详解】（1）；

；

（2）证明：因为，

，所以对于任意的，即对，都有或，所以得.设

则，当时，；

当时，.

所以

【点睛】解答该题的关键是需要注意理解并表示出，然后代入化简判断与两种情况.