2023北京昌平高一（上）期末数学（教师版）

2023北京昌平高一（上）期末

数    学

2023.1

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（选择题共50分）

一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ）

A.

B.

C.

D.

4. 为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（    ）

A. 甲得分的极差比乙得分的极差小

B. 甲得分的平均数比乙得分的平均数小

C. 甲得分的方差比乙得分的方差大

D. 甲得分的分位数比乙得分的分位数大

5. 已知，则的大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲､乙两人是否击中靶心互不影响.若甲､乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. “”是“”成立的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知函数，则下列函数为奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内速度（单位：米/分钟）与飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ）

A  B.

C  D.

10. 已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：

①对于任意，若，则；

②对于任意，若，则.

若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（    ）

A 5 B. 6 C. 7 D. 8

第二部分（非选择题共100分）

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. 某学校有教师志愿者80人，其中小学部有24人，初中部有32人，高中部有24人.现采用分层抽样的方法从全校教师志愿者中抽出20人参加周末社区服务活动，那么应从初中部抽出的人数为__________.

12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.

13. 已知函数，则__________；的最小值为__________.

14. 某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________.

15. 已知函数的定义域为，满足，且在上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是__________.（写出一个即可）

16. 已知定义在上的函数，则的零点是__________；若关于的方程有四个不等实根，则__________.

三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 如图，在中，.设.

（1）用表示；

（2）若为内部一点，且.求证：三点共线.

18. 已知集合.

（1）求；

（2）若集合，且，求实数的取值范围.

19. 为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度.经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量y（单位：吨）与每月投入的研发费用（单位：万元）之间的函数关系式为.

（1）若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？

（2）当每月投入的研发费用为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值？最大值是多少？

20. 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.

为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.

（1）绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；

（2）海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6个月的概率；

（3）数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为.试判断和的大小.（结论不要求证明）

21. 设有限集合，对于集合，给出两个性质：

①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；

②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.

（1）若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）

（2）若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；

（3）若，且为奇数，集合A为开放子集，求的最大值.

参考答案

第一部分（选择题共50分）

一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】B

【解析】

【分析】根据公式法解绝对值得即可解决.

【详解】由题知，，

因为，即，

所以，

所以.

故选：B

2. 【答案】A

【解析】

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“”的否定为“”.

故选：A

3. 【答案】D

【解析】

【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.

【详解】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；

，故C错误；，故D正确.

故选：D

4. 【答案】C

【解析】

【分析】根据茎叶图求出甲，乙两位同学得分的极差，平均分，方差，百分位数即可解决.

【详解】由题知，甲同学6场比赛得分分别为14,16,23,27,32,38，

极差为，

平均数，

方差，

因为，所以得分的25%分位数为16，

乙同学6场比赛得分分别为13,22,24,26,28,37，

极差为，

平均数，

方差，

因为，所以得分的25%分位数为22，

所以ABD错误；

故选：C

5. 【答案】B

【解析】

【分析】根据指对数的性质判断的大小关系.

【详解】由，

所以.

故选：B

6. 【答案】A

【解析】

【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.

【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，

则，，

因为与相互独立，所以与也相互独立，

则甲、乙都不击中靶心的概率为，

所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.

故选：A

7. 【答案】C

【解析】

【分析】由对数函数的性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.

【详解】当时，则有成立，充分性成立；

当时，则有成立，必要性成立.

故“”是“”成立的充分必要条件.

故选：C

8. 【答案】B

【解析】

【分析】利用题意先得到，，然后利用奇函数的定义进行判断即可

【详解】由可得，，

对于A，令，定义域为，

因为，所以不是奇函数，故A错误；

对于B，令，定义域为，

因为，所以是奇函数，故B正确；

对于C，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故C错误；

对于D，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误；

故选：B

9. 【答案】C

【解析】

【分析】根据图像分析，即可得到答案

【详解】由题图知,当时, 无人机做匀加速运动,,“速度差函数”;

当时, 无人机做匀减速运动,速度从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”;

当时, 无人机做匀减速运动, 从80开始下降, ,“速度差函数”;

当时无人机做匀加速运动,“速度差函数”.

所以函数在和两个区间上都是常数.

故选：C

10. 【答案】C

【解析】

【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数.

【详解】令且，，如下表行列分别表示，

集合可能元素如下：

则，

若，不妨令，下表行列分别表示，

由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；

若，则，下表行列分别表示，

由，而，且，

要使中元素不超过4个，只需，

此时，

显然，即，则，即且，故，

所以，即，

而，故，共7个元素.

故选：C

【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系.

第二部分（非选择题共100分）

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. 【答案】8

【解析】

【分析】利用分层抽样直接求解.

【详解】从80人中抽取20人，抽样比为，所以应从初中部抽出的人数为.

故答案为：8.

12. 【答案】

【解析】

【分析】由图知，应用向量数量积的运算律求得，即可得结果.

【详解】由图知：，则，

又，则.

故答案为：

13. 【答案】    ①. 4    ②. -1

【解析】

【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.

【详解】，

在区间内单调递减，故在上无最小值，且

在区间内单调递增，故，

故答案为：-1

14. 【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】由频率和为1列方程求参数a，由图知数量不少于10本的频率为，进而求人数.

【详解】由直方图知：，

所以，

则高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本为人.

故答案为：，

15. 【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数的性质可得.

【详解】的定义域为，想到作分母，

，说明函数为偶函数，所以指数为偶数，

所以想到幂函数，验证在单调递减成立.

故答案为：

16. 【答案】    ①. 和    ②.

【解析】

【分析】令结合即可求出零点，将转化为与有四个不同交点，画出函数图象并令，易知、分别是、的两个根，进而求.

【详解】令，则，即，可得或，

又，故的零点是和；

由有四个不等实根，即且与有四个不同交点，

因为，当且仅当时等号成立，

结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，

综上，和上，上，

则、上递减，、上递增，

所以函数图象如下，由图知：，

又，则，解得，

若，则，

故，，

所以是的两个根，是的两个根，

则，故.

故答案为：和，

三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；

（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.

【小问1详解】

由题图，，

.

【小问2详解】

由，

又，所以，故三点共线.

18. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；

（2）由可分类讨论与时画图分析即可.

【小问1详解】

∵

∴

【小问2详解】

∵

∴①当时，，解得：，

②当时，即：，

∴或

∴

∴综述：.

19. 【答案】（1）每月投入研发费用的范围是万元   

（2）每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，然后解不等式即可求解；

（2）利用基本不等式即可求解

【小问1详解】

根据题意，，

因为

所以不等式转化为化简可得，解得

所以每月投入的研发费用的范围是万元

【小问2详解】

因为，所以，

因为，当且仅当，即时，取等号，

所以当且仅当时，取得最大值.

所以每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.

20. 【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件列举出满足事件的样本点，即可算出概率；

（2）列举基本事件，根据古典概型公式求解即可

（3）比较和新加入的数，即可得到结论

【小问1详解】

记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共15个样本点.

设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件

则，共4个样本点，所以

【小问2详解】

“从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为,共10个样本点.

设“选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月”为事件B，则，共3个样本点，

所以

【小问3详解】

易得2022年5月计算神舟一号到神舟十三号的平均数小于6个月，

年12月30日又计算了一遍，新加入神舟十四号和神舟十五号的数据，一定会比要大，故会拉高平均数，所以

21. 【答案】（1）A为的封闭子集，B为E的开放子集   

（2）9    （3）

【解析】

【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；

对于（2），，设

因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.据此可得，得，后排除8，再说明9符合题意即可；

对于（3），因，且为奇数，当时，得；

当，将里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且为最大值即可.

【小问1详解】

对于A，因，

且，则A为E的封闭子集；

对于B，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且，故B为E的开放子集；

【小问2详解】

由题：，

设.

因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.

得，，，

.因，则.

若，则，则在A中存在元素，使它们的和为.

又，则当时，，

得，则在A中存在元素，使它们的和为.

又当时，，得，则在A中存在元素，使它们的和为.注意到奇数，且，故不存在元素，使，这与集合A为的封闭子集矛盾，故.

当，取，易得其符合的封闭子集的定义，故的最小值为9；

【小问3详解】

因，且为奇数，当时，得；

当，将里面的奇数组成集合A，则，

因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为.下面说明为最大值.

时，显然成立；当，若，则中至少有一个属于偶数，设为，则，得为属于集合中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故.

综上：的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大.

（1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到，得，继而结合定义分析出；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A.