2021北京昌平高二（上）期末数学（教师版）

2021北京昌平高二（上）期末

数    学

2021.1

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。

第一部分（选择题  共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)

（1） 已知直线过点和点，则直线的斜率为 

（A）       （B）        （C）           （D）

（2）下列命题正确的是

（A）若,,则

（B）若,，则

（C）若，，则

（D）若，,则

（3）经过点且与直线垂直的直线的方程为

（A）        （B）

（C）         （D）

（4）某高校要从经济学院的6名优秀毕业生中选3人分别到西部三个城市参加中国西部经济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为

（A） （B） （C） （D）

（5）在空间直角坐标系，则的值是

（A）               （B）         （C）        （D）

（6）小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为

 （A）10（B）15             （C）20 （D）30 

（7）甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为，检验员每天都要按照的比例分别从甲、乙两个车间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为

（A）           （B）             （C）             （D）

（8）某班要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一人参加学校的投篮比赛，根据以往的数据，得到这四名同学在连续5次投篮中，投中次数的概率分布可以分别用下列四个图直观表示

如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为

（A）甲               （B）乙                （C）丙           （D）丁

（9）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点．若，则直线的斜率为

（A）     （B）          （C）             （D）

（10）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为

（A）        （B）         （C）       （D）

第二部分（非选择题  共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

(11)在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为，连续两次射击命中的概率为. 已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为________.

(12)已知的展开式中所有项的系数和为，则______;展开式中的系数是_______

(13)某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有_______种.

（14）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是_________．

（15）已知长方体，.在所有的面对角线所在直线中，与平面所成的角为的面对角线可以是直线___________.(写出符合题意的一条直线即可)

（16）在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到点的距离．记动点的轨迹为曲线.给出下列四个结论：

① 曲线关于坐标原点对称；

② 曲线关于直线对称；

③ 曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于．

④ 曲线上不存在横坐标大于1的点.

其中，所有正确结论的序号是_______．

三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

（17)（本小题满分14分）

已知两点及圆.为经过点的一条动直线.

（Ⅰ）若直线经过点，求证：直线与圆相切；

（II）若直线与圆相交于两点从下列条件中选择一个作为已知，求的面积．

条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

 (18)（本小题满分14分）

已知在四棱锥中，平面，

,，.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)求点到平面的距离.

(19)（本小题满分14分）

近年来，随着青年志愿服务活动蓬勃发展，越来越多的大学生参加到志愿服务中来，大学生志愿者已经发展成为青年志愿者队伍中最活跃、最积极、最有影响力的一个群体.大学生志愿服务的范围主要包括：帮困扶贫、支教扫盲、社区建设、环境保护、普法宣传、大型赛会、应急救助、海外服务等.为了解A，B，C，D，E，F这六所高校的大学生志愿者参加帮困扶贫的情况，从这六所高校随机抽取了部分志愿者，统计数据如下：

（Ⅰ）从被抽样的志愿者中任选1人，求此人是来自“高校E” 的帮困扶贫志愿者的概率;

（Ⅱ）从被抽样的来自“高校B”和“高校E” 的帮困扶贫志愿者中任选2人接受采访.

①设为这2个志愿者中来自“高校E”的人数，求随机变量的分布列及数学期望；

②假设表格中六所高校的帮困扶贫志愿者所占百分比均提高，记为这2个志愿者中来自于“高校E”的志愿者人数，试比较随机变量的数学期望和的大小.（只需写出结论）

(20)（本小题满分14分）

已知在三棱柱中，平面，,且,,点是的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使平面？

若存在，指出点的位置并证明，若不存在，说明理由.

(21)（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为设过点的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（II）若直线的斜率为，求；

（III）设为椭圆的左顶点，分别交轴于点，在轴上是否存在点使得以为直径的圆恒过点？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

2021北京昌平高二（上）期末数学
参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11.        12. 6；135       13.  240   14. 2

15.  (答案不唯一)          16.  ②③④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（17)（本小题满分14分）

解：根据题意，圆心,半径．                             ..….2分

（Ⅰ）法一：

若直线经过点，由满足，可知，点在圆上.

直线的斜率，所以.

所以直线与圆相切.                                                ..…8分

法二：若直线经过点,则直线的方程为.

圆心到直线的距离为

所以直线与圆相切.                                                 ..…8分

（II）选择条件①：直线平分圆，

此时，直线过圆心，方程为

点到直线的距离

所以，                            ..…14分

选择条件②：直线的斜率为,直线的方程为

此时，圆心在直线上，

点到直线的距离

所以，                           ..…14分

（18）（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)法一：因为平面,

平面,

所以.

因为,,

所以.

因为 ,

所以平面.

因为平面,

所以.                                                        ..…5分

法二:

因为平面，平面

所以.

因为,

如图建立空间直角坐标系

则.

(I)

,

所以.                                                        ..…5分

(II)

平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为,

所以所以.

令，则，所以.

所以.

由图知二面角为锐角,

所以二面角的余弦值为.                                   ..…10分

(Ⅲ) 设点到平面的距离为,.

由(Ⅱ)知平面的一个法向量为,

所以.

所以点到平面的距离为.                                   ..…14分

(19)（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）被抽样的志愿者共(人),

来自“高校” 的帮困扶贫志愿者(人)，

设“从被抽样的志愿者中任选1人，此人是来自‘高校E’的帮困扶贫志愿者”为事件,则.                                             ..…5分

（Ⅱ）①被抽样的“高校” 的帮困扶贫志愿者（人）,

被抽样的“高校” 的帮困扶贫志愿者（人）,一共人.

的所有可能取值为.

,

,

.

所以随机变量的分布列为

.

或由得.                      ..…12分 

②.                                                ..…14分

(20)（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：法一：连接交于点，连接.

在三棱柱中,

因为四边形是平行四边形，

所以点是的中点.

因为点是的中点，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.                                         ..…7分

法二：

因为平面，，如图建立空间直角坐标系,

则，, , ,.

所以,.

设平面的一个法向量为，则有

.

令得.所以.

所以.

所以.

因为平面，

所以平面.                                            ..…7分

(Ⅱ) 假设在棱上存在一点,使平面.

设,则.

由第（I）问知，平面的法向量为，

要使，则.

所以.

解得,即，且.

所以在棱上存在一点,且满足，使平面.  ..…14分

（21）（本小题满分14分）

解：（I）设椭圆的半焦距为根据题意，解得.

所以椭圆的方程为.                                      ..…4分

(II) 直线的方程.

由消去，得，即.

解得或. 所以  ..…9分

（III）若满足题意的定点存在，设.

直线斜率为0时，不满足题意；

设的方程为，

联立方程组，化简得.

恒成立.

设，,

则，.

直线的方程为，令，得,

同理得.

若以为直径的圆恒过点，则，

即，又，，

化简得.

把，代入得，

整理得，得.

所以 以为直径的圆恒过定点.                                ..…14分

法二

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，，可得，，

以为直径的圆与轴的交点为；

所以如果以为直径的圆过轴上的定点，则定点只能是；

下面进行验证定点为.

设的方程为；

，消去得，

恒成立.

设，，

则，

直线，令，得，

同理得：；

只需验证：；即；

而

综上，以为直径的圆恒过点.                            ..…14分