专题训练二　平行线的性质和判定的应用

专题训练二　平行线的性质和判定的应用

1．如图，∠MCN＝45°，且AB∥CD，AC∥BD，BE⊥CN于点E.求∠DBE的度数．

2．已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G，且∠ADE＝∠CFG.求证：DE∥AC.

3．【2022·南宁三中模拟】如图，AE∥CF，∠A＝∠C.

(1)若∠1＝35°，求∠2的度数；

(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由；

(3)若DA平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.

4．已知AB∥CD，点E为AB、CD之外任意一点．

(1)如图①，探究∠BED与∠B、∠D的数量关系，并说明理由；

(2)如图②，探究∠CDE与∠B、∠E的数量关系，并说明理由

5．如图，已知l1∥l2，直线l3和直线l1、l2分别交于点C和点D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的定点．

(1)若P点在线段CD(C、D两点除外)上运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否发生变化？

(2)若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？说明理由．

6．如图①所示，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为        ；

(2)如图②所示，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记作∠PAB＝∠α，∠DCP＝∠β.当点P在B、D两点之间运动时，∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请你直接写出∠APC、∠α、∠β间的数量关系．

7．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的任意一点，锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，CD与FB交于点N.

(1)当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠CFN的度数；

(2)若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数(用含α的式子表示)．

参考答案

1．如图，∠MCN＝45°，且AB∥CD，AC∥BD，BE⊥CN于点E.求∠DBE的度数．

解：∵AB∥CD，∴∠MAB＝∠MCN，∠ABE＝∠BEN.

∵∠MCN＝45°，BE⊥CN，

∴∠MAB＝45°，∠ABE＝90°.

∵AC∥BD，∴∠ABD＝∠MAB.

∴∠ABD＝45°.∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝45°.

2．已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G，且∠ADE＝∠CFG.求证：DE∥AC.

证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC，

∴∠C＋∠CFG＝90°，∠BDE＋∠ADE＝90°.

∵∠ADE＝∠CFG，

∴∠BDE＝∠C.

∴DE∥AC.

3．【2022·南宁三中模拟】如图，AE∥CF，∠A＝∠C.

(1)若∠1＝35°，求∠2的度数；

解：∵AE∥CF，∴∠CDB＝∠1＝35°.

∴∠2＝180°－∠CDB＝145°.

(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由；

解：BC∥AD.理由如下：

∵AE∥CF，∴∠A＋∠ADC＝180°.

又∵∠A＝∠C，

∴∠C＋∠ADC＝180°.

∴BC∥AD.

(3)若DA平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.

证明：∵AE∥CF，∴∠BDF＝∠DBE.

∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.

∵DA平分∠BDF，∴∠ADB＝∠BDF.

∴∠DBC＝∠DBE.

∴BC平分∠DBE.

【点方法】几何推理的方法主要有两种：一种是综合法，即由“因”导“果”，由已知条件逐步推导出结论；另一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，必须找到什么样的条件，一步一步反向找到条件．解答问题时一般用综合法，分析问题时一般用分析法，有时也可以两种方法综合应用．

4．已知AB∥CD，点E为AB、CD之外任意一点．

(1)如图①，探究∠BED与∠B、∠D的数量关系，并说明理由；

(2)如图②，探究∠CDE与∠B、∠E的数量关系，并说明理由

解：(1)∠B＝∠BDE＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB.又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D；　

(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB. 又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.

5．如图，已知l1∥l2，直线l3和直线l1、l2分别交于点C和点D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的定点．

(1)若P点在线段CD(C、D两点除外)上运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否发生变化？

(2)若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？说明理由．

解：(1)∠2＝∠1＋∠3.不变化；　

(2)当点P在线段DC的延长线上时，∠2＝∠3－∠1.理由：过点P作PF∥l1，∠FPA＝∠1.∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1；同理，当点P在线段CD的延长线上时，∠2＝∠1－∠3.

6．如图①所示，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为        ；

(2)如图②所示，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记作∠PAB＝∠α，∠DCP＝∠β.当点P在B、D两点之间运动时，∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请你直接写出∠APC、∠α、∠β间的数量关系．

解：(1)110°；　

(2)∠APC＝∠α＋∠β.理由如下：过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE.∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β；　

(3)当P在BD延长线上时，∠CPA＝∠α－∠β.当P在DB延长线上时，∠CPA＝∠β－∠α.

7．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的任意一点，锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，CD与FB交于点N.

(1)当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠CFN的度数；

解：(1)如图，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴FH∥AB.

∵CM平分∠ECD，∠ECD＝60°，

∴∠ECM＝∠DCM＝∠ECD＝30°.

∵BN平分∠ABE，∠ABE＝100°，

∴∠ABN＝∠EBN＝∠ABE＝50°.

∵FH∥AB，FH∥CD，

∴∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠DCM＝30°.

∴∠CFN＝∠HFB－∠HFC＝20°.

(2)若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数(用含α的式子表示)．

∵BF∥CE，∴∠ECM＝∠BFM＝α.

∵CM平分∠ECD，∴∠DCE＝2∠ECM＝2α.

∵BF∥CE，∴∠BNC＝∠ECD＝2α.

∵AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNC＝2α.

∵BN平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABN＝4α.