专题训练一　判定两条直线平行的技巧

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专题训练一　判定两条直线平行的技巧【专题概述】直线平行的判定方法很多，我们要根据图形的特征和已知条件选择灵活的方法．　借助对顶角或邻补角转化证平行1．如图所示，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？为什么？  2．如图,若∠B=102°,∠1=78°,则AB与CD平行吗?  　借助平行公理及推论证平行3．如图所示，∠DAC＋∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°.(1)求证：AD∥EF；(2)求∠DAC、∠FEC的度数．  4．如图,已知∠1=∠2,∠3+∠4=180°,那么AB与CD平行吗?为什么?   　借助角间的关系转化证平行5．如图，∠AFC和∠D互余，CF⊥DF，求证：AB∥CD. 6．如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.　借助作相等的角证平行7．如图，∠EAB－∠ECD＝∠AEC，求证：AB∥CD. 8．如图，已知∠BFM＝∠1＋∠2，求证：AB∥CD.  【综合练习】9．如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.(1)AE与FC平行吗?说明理由;(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?(3)BC平分∠DBE吗?为什么?  10．如图,一个四边形纸片ABCD中,∠B=∠D=90°,把纸片沿AE折叠,使点B落在AD边上的B'点,AE是折痕.(1)试猜想B'E与DC的位置关系,并说明理由;(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度数.   11．如图，直线AC∥BD，AE，AO，BO分别是∠CAF，∠BAC，∠ABD的平分线．求证：(1)AE∥BO；(2)BO⊥AO.  
参考答案　借助对顶角或邻补角转化证平行1．如图所示，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？为什么？解：AB∥CD，BC∥DE.理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°(已知)，而∠ABC＝∠1＝47°(对顶角相等)，∴∠ABC＋∠2＝180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∵∠2＝133°(已知)，∴∠BCD＝180°－133°＝47°(邻补角定义)，而∠D＝47°(已知)，∴∠BCD＝∠D(等量代换)，∴BC∥DE(内错角相等，两直线平行)．2．如图,若∠B=102°,∠1=78°,则AB与CD平行吗?解:AB∥CD.理由:∵∠BFC与∠1是对顶角,∴∠BFC=∠1=78°.又∵∠B=102°,∴∠BFC+∠B=78°+102°=180°.∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).　借助平行公理及推论证平行3．如图所示，∠DAC＋∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°.(1)求证：AD∥EF；(2)求∠DAC、∠FEC的度数．(1)证明：∵∠DAC＋∠ACB＝180°，∴BC∥AD.∵CE平分∠BCF，∴∠ECB＝∠FCE.∵∠FEC＝∠FCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴AD∥EF；(2)解：设∠BCE＝∠ECF＝∠BCF＝x.由∠DAC＝3∠BCF可得出∠DAC＝6x，则6x＋x＋x＋20°＝180°，解得x＝20°，则∠DAC的度数为120°，∠FEC的度数为20°.4．如图,已知∠1=∠2,∠3+∠4=180°,那么AB与CD平行吗?为什么?解:AB与CD平行.理由:∵∠1=∠2,∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行).∵∠3+∠4=180°,∴CD∥EF(同旁内角互补,两直线平行).∴AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).　借助角间的关系转化证平行5．如图，∠AFC和∠D互余，CF⊥DF，求证：AB∥CD.证明：∵∠AFC＋∠BFD＝180°－90°＝90°，∠AFC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BFD，∴AB∥CD.6．如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证明：∵∠B＝∠C，∠DAC＝∠B＋∠C，∴∠DAC＝2∠B.∵AE是∠DAC的平分线，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠B＝∠DAE，∴AE∥BC.　借助作相等的角证平行7．如图，∠EAB－∠ECD＝∠AEC，求证：AB∥CD.证明：作∠FEA＝∠EAB，则FE∥AB.∵∠EAB－∠ECD＝∠AEC，∴∠FEA－∠ECD＝∠AEC，∵∠FEA－∠FEC＝∠AEC，∴∠ECD＝∠FEC，∴FE∥CD，∴AB∥CD.8．如图，已知∠BFM＝∠1＋∠2，求证：AB∥CD.证明：过M作∠HMN＝∠2.∴HM∥CD.∵∠BFM＝∠1＋∠2，∴∠BFM＝∠1＋∠HMN＝∠HMF.∴AB∥HM，∴AB∥CD.【综合练习】9．如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,DA平分∠BDF.(1)AE与FC平行吗?说明理由;(2)AD与BC的位置关系如何?为什么?(3)BC平分∠DBE吗?为什么?解:(1)AE∥FC.理由:∵∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°,∴∠1=∠CDB,∴AE∥FC;(2)AD∥BC.理由:∵AE∥CF,∴∠C=∠CBE.又∠A=∠C,∴∠A=∠CBE,∴AD∥BC;(3)BC平分∠DBE.理由:∵DA平分∠BDF,∴∠FDA=∠ADB.∵AE∥CF,AD∥BC,∴∠FDA=∠A=∠CBE,∠ADB=∠CBD.∴∠CBE=∠CBD,∴BC平分∠DBE.10．如图,一个四边形纸片ABCD中,∠B=∠D=90°,把纸片沿AE折叠,使点B落在AD边上的B'点,AE是折痕. (1)试猜想B'E与DC的位置关系,并说明理由;(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度数.解:(1)B'E∥DC,理由:由折叠意义可知,∠AB'E=∠B=90°,又∵∠D=90°,∴∠AB'E=∠D,∴B'E∥DC;　(2)∵B'E∥DC,∠C=130°,∴∠B'EB=∠C=130°,∵∠AEB'=∠AEB,∴∠AEB=∠B'EB=×130°=65°11．如图，直线AC∥BD，AE，AO，BO分别是∠CAF，∠BAC，∠ABD的平分线．求证：(1)AE∥BO；证明：(1)∵AC∥BD，∴∠FAC＝∠ABD.∵AE，BO分别是∠CAF，∠ABD的平分线，∴∠FAE＝∠FAC，∠ABO＝∠ABD，∴∠FAE＝∠ABO，∴AE∥BO.(2)BO⊥AO.(2)∵AE，AO分别是∠CAF，∠BAC的平分线，∴∠FAE＝∠EAC，∠CAO＝∠OAB，∴∠FAE＋∠OAB＝∠EAC＋∠CAO. ∵∠FAE＋∠OAB＋∠EAC＋∠CAO＝180°，∴∠EAC＋∠CAO＝90°，即∠EAO＝90°.∵AE∥BO，∴∠AOB＝∠EAO＝90°，∴BO⊥AO.