专题训练五　平面直角坐标系中点的坐标规律的探究

专题训练五　平面直角坐标系中点的坐标规律的探究

【例】(牡丹江中考改编)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，1)，B(－1，－2)，C(3，－2)，D(3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2023秒瓢虫在什么位置(    )

A．(3，1)    B．(－1，－2)   C．(－1，1)    D．(3，－2)

【对应训练】

1．[2022重庆期末]如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按“向上、向右、向下、向下、向右、向上……”的方向依次运动,每次运动1个单位长度,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(1,-1),…,那么点A23的坐标是(    )

A.(7,-1) B.(8,1) C.(7,1)  D.(8,-1)

第1题图　                      第2题图                    第3题图

2．如图，在平面直角坐标系中，从点P1(－1，0)，P2(－1，－1)，P3(1，－1)，P4(1，1)，P5(－2，1)，P6(－2，－2)……依次扩展下去，则P2023的坐标为(    )

A．(－503，503)    B．(504，504)     C．(506，－506)    D．(－505，－505)

3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排序，如(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)…根据这个规律，则第2023个点的横坐标为(    )

A．44    B．45    C．46    D．47

4．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A(－1，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为(    )

A．(5，2)    B．(6，0)    C．(8，0)    D．(8，1)

第4题图　                                第5题图

5．[2022秦皇岛期末]如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第一次从原点O运动到点P1(1,1),第二次运动到点P2(2,0),第三次运动到P3(3,-2),…,按这样的运动规律,第2 022次运动后,动点P2 022的坐标是 (　　)

A.(2 022,1) B.(2 022,2)     C.(2 022,-2) D.(2 022,0)

6．[2022重庆九龙坡区期中]如图,在平面直角坐标系中有点A0(1,0),点A第一次向左跳动至A1(-1,1),第二次向右跳动至A2(2,1),第三次向左跳动至A3(-2,2),第四次向右跳动至A4(3,2),…,依照此规律跳动下去,点A第2 022次跳动至点A2 022的坐标为(　　)

A.(1 012,1 011) B.(1 012,1 009)  C.(-1 012,1 011) D.(2 020,2 021)

第6题图　                              第7题图

7．如图，动点P从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2023次碰到长方形的边时，点P的坐标为____________．

8．[2021潍坊中考]在平面直角坐标系中,点A1从原点O出发,沿如图所示的方向运动,到达位置的坐标依次为A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,1),A5(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),….若到达终点An(506,-505),则n的值为　　　　. 

第8题图　                           第9题图

9．如图，在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(3，3)，A2(5，3)，A3(7，3)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0).

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；

(2)若按(1)找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是________________，Bn的坐标是__________________．

参考答案

【例】(牡丹江中考改编)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，1)，B(－1，－2)，C(3，－2)，D(3，1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2023秒瓢虫在什么位置(  C  )

A．(3，1)    B．(－1，－2)   C．(－1，1)    D．(3，－2)

分析：根据点A，B，C，D的坐标可得出AB，AD及长方形ABCD的周长，由2023×2＝14×289

可知，第2023秒瓢虫在点A处．

【对应训练】

1．[2022重庆期末]如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按“向上、向右、向下、向下、向右、向上……”的方向依次运动,每次运动1个单位长度,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(1,-1),…,那么点A23的坐标是(  D  )

A.(7,-1) B.(8,1) C.(7,1)  D.(8,-1)

【解析】根据题意,得每6次运动循环一次,因为23÷6=3……5,所以点A23的坐标是(3×2+2,-1),即(8,-1).

第1题图　                      第2题图                    第3题图

2．如图，在平面直角坐标系中，从点P1(－1，0)，P2(－1，－1)，P3(1，－1)，P4(1，1)，P5(－2，1)，P6(－2，－2)……依次扩展下去，则P2023的坐标为(  C  )

A．(－503，503)    B．(504，504)     C．(506，－506)    D．(－505，－505)

3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排序，如(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)…根据这个规律，则第2023个点的横坐标为(  C  )

A．44    B．45    C．46    D．47

4．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A(－1，2)，将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为(  D  )

A．(5，2)    B．(6，0)    C．(8，0)    D．(8，1)

第4题图　                                第5题图

5．[2022秦皇岛期末]如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第一次从原点O运动到点P1(1,1),第二次运动到点P2(2,0),第三次运动到P3(3,-2),…,按这样的运动规律,第2 022次运动后,动点P2 022的坐标是 (　D　)

A.(2 022,1) B.(2 022,2)     C.(2 022,-2) D.(2 022,0)

【解析】根据题意,可知动点P的纵坐标每6次运动组成一个循环,即1,0,-2,0,2,0,∵2 022÷6=337,∴经过第2 022次运动后,动点P的纵坐标是0,所以动点P2 022的坐标是(2 022,0).

6．[2022重庆九龙坡区期中]如图,在平面直角坐标系中有点A0(1,0),点A第一次向左跳动至A1(-1,1),第二次向右跳动至A2(2,1),第三次向左跳动至A3(-2,2),第四次向右跳动至A4(3,2),…,依照此规律跳动下去,点A第2 022次跳动至点A2 022的坐标为(　A　)

A.(1 012,1 011) B.(1 012,1 009)  C.(-1 012,1 011) D.(2 020,2 021)

【解析】观察题图可知,顺序数为偶数的点都在第一象限,其纵坐标等于顺序数的一半,且纵坐标比横坐标小1,∴A2n的坐标为(n+1,n),∴点A2 022的坐标为(1 012,1 011).

第6题图　                              第7题图

7．如图，动点P从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2023次碰到长方形的边时，点P的坐标为____________．

【答案】(3，0)

8．[2021潍坊中考]在平面直角坐标系中,点A1从原点O出发,沿如图所示的方向运动,到达位置的坐标依次为A2(1,0),A3(1,1),A4(-1,1),A5(-1,-1),A6(2,-1),A7(2,2),….若到达终点An(506,-505),则n的值为　　　　. 

【解析】终点An(506,-505)在第四象限.根据题意可知第四象限内的点为A6(2,-1),A10(3,-2),A14(4,-3),….∵6=2+4×(2-1),10=2+4×(3-1),14=2+4×(4-1),…,∴n=2+4×(506-1)=2 022.

【答案】2022

第8题图　                           第9题图

9．如图，在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(3，3)，A2(5，3)，A3(7，3)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0).

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；

(2)若按(1)找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是________________，Bn的坐标是__________________．

【答案】(9，3)   (32，0)   (2n＋1，3)   (2n＋1，0)