专题训练二　平行线的性质和判定的应用

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专题训练二　平行线的性质和判定的应用1．如图，∠MCN＝45°，且AB∥CD，AC∥BD，BE⊥CN于点E.求∠DBE的度数．   2．已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G，且∠ADE＝∠CFG.求证：DE∥AC.   3．【2022·南宁三中模拟】如图，AE∥CF，∠A＝∠C.(1)若∠1＝35°，求∠2的度数；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由；(3)若DA平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.  4．已知AB∥CD，点E为AB、CD之外任意一点．(1)如图①，探究∠BED与∠B、∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图②，探究∠CDE与∠B、∠E的数量关系，并说明理由    5．如图，已知l1∥l2，直线l3和直线l1、l2分别交于点C和点D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的定点．(1)若P点在线段CD(C、D两点除外)上运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否发生变化？(2)若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？说明理由．   6．如图①所示，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为        ；(2)如图②所示，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记作∠PAB＝∠α，∠DCP＝∠β.当点P在B、D两点之间运动时，∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请你直接写出∠APC、∠α、∠β间的数量关系．    7．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的任意一点，锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，CD与FB交于点N.(1)当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠CFN的度数；(2)若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数(用含α的式子表示)．   
参考答案1．如图，∠MCN＝45°，且AB∥CD，AC∥BD，BE⊥CN于点E.求∠DBE的度数．解：∵AB∥CD，∴∠MAB＝∠MCN，∠ABE＝∠BEN.∵∠MCN＝45°，BE⊥CN，∴∠MAB＝45°，∠ABE＝90°.∵AC∥BD，∴∠ABD＝∠MAB.∴∠ABD＝45°.∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝45°.2．已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D，G，且∠ADE＝∠CFG.求证：DE∥AC.证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴∠C＋∠CFG＝90°，∠BDE＋∠ADE＝90°.∵∠ADE＝∠CFG，∴∠BDE＝∠C.∴DE∥AC.3．【2022·南宁三中模拟】如图，AE∥CF，∠A＝∠C.(1)若∠1＝35°，求∠2的度数；解：∵AE∥CF，∴∠CDB＝∠1＝35°.∴∠2＝180°－∠CDB＝145°.(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由；解：BC∥AD.理由如下：∵AE∥CF，∴∠A＋∠ADC＝180°.又∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠ADC＝180°.∴BC∥AD.(3)若DA平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE.证明：∵AE∥CF，∴∠BDF＝∠DBE.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵DA平分∠BDF，∴∠ADB＝∠BDF.∴∠DBC＝∠DBE.∴BC平分∠DBE.【点方法】几何推理的方法主要有两种：一种是综合法，即由“因”导“果”，由已知条件逐步推导出结论；另一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，必须找到什么样的条件，一步一步反向找到条件．解答问题时一般用综合法，分析问题时一般用分析法，有时也可以两种方法综合应用．4．已知AB∥CD，点E为AB、CD之外任意一点．(1)如图①，探究∠BED与∠B、∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图②，探究∠CDE与∠B、∠E的数量关系，并说明理由解：(1)∠B＝∠BDE＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB.又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D；　(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB. 又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.5．如图，已知l1∥l2，直线l3和直线l1、l2分别交于点C和点D，P为直线l3上一点，A、B分别是直线l1、l2上的定点．(1)若P点在线段CD(C、D两点除外)上运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是什么？这种关系是否发生变化？(2)若P点在线段CD之外时，∠1、∠2、∠3之间的关系又怎样？说明理由．解：(1)∠2＝∠1＋∠3.不变化；　(2)当点P在线段DC的延长线上时，∠2＝∠3－∠1.理由：过点P作PF∥l1，∠FPA＝∠1.∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1；同理，当点P在线段CD的延长线上时，∠2＝∠1－∠3.6．如图①所示，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC.(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为        ；(2)如图②所示，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记作∠PAB＝∠α，∠DCP＝∠β.当点P在B、D两点之间运动时，∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合)，请你直接写出∠APC、∠α、∠β间的数量关系．解：(1)110°；　(2)∠APC＝∠α＋∠β.理由如下：过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE.∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β；　(3)当P在BD延长线上时，∠CPA＝∠α－∠β.当P在DB延长线上时，∠CPA＝∠β－∠α.7．如图，已知AB∥CD，点E是直线AB，CD之间的任意一点，锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，CD与FB交于点N.(1)当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠CFN的度数；解：(1)如图，过点F作FH∥CD.∵AB∥CD，∴FH∥AB.∵CM平分∠ECD，∠ECD＝60°，∴∠ECM＝∠DCM＝∠ECD＝30°.∵BN平分∠ABE，∠ABE＝100°，∴∠ABN＝∠EBN＝∠ABE＝50°.∵FH∥AB，FH∥CD，∴∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠DCM＝30°.∴∠CFN＝∠HFB－∠HFC＝20°.(2)若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数(用含α的式子表示)．∵BF∥CE，∴∠ECM＝∠BFM＝α.∵CM平分∠ECD，∴∠DCE＝2∠ECM＝2α.∵BF∥CE，∴∠BNC＝∠ECD＝2α.∵AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNC＝2α.∵BN平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABN＝4α.