2022北京五中高一（上）期末数学（教师版）

2022北京五中高一（上）期末

数    学

一、单项选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）全集，，，0，1，2，3，4，，集合，，则　　

A．，，2，3，4， B．，3，4， 

C．，4， D．，，0，1，

2．（4分）在直角坐标系中，，，则角的终边与单位圆的交点坐标为　　

A．， B．， C．， D．，

3．（4分）已知实数，满足，则的最大值为　　

A． B．1 C． D．2

4．（4分）函数且与函数在同一坐标系内的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

5．（4分）已知，则　　

A． B． C． D．

6．（4分）函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

7．（4分）设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

8．（4分）甲：“是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的　　

A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

9．（4分）已知函数，，的部分图象如图所示，下列结论正确的个数是　　)

①；

②将的图象向右平移1个单位，得到函数的图象；

③的图象关于直线对称；

④若，则．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

10．（4分）已知函数的单调区间是，那么函数在区间上　　

A．当时，有最小值无最大值 

B．当时，无最小值有最大值 

C．当时，有最小值无最大值 

D．当时，无最小值也无最大值

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）函数的最小值为 　　．

12．（5分）已知幂函数过点，若，则　　．

13．（5分）已知上的奇函数是增函数，若（a），则的取值范围是 　　．

14．（5分）已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值 　　．

15．（5分）设函数，则是 　　（填“奇函数”或“偶函数” ；对于一定的正数，定义，则当时，函数的值域为 　　．

三、解答题（共6小题，共85分）

16．（14分）已知集合，，．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）当时，求实数的值．

17．（14分）已知函数，的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：

条件①：的图象关于于对称；

条件②：的图象关于直线对称．

（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；

（2）在（1）的条件下，当，时，求的最大值和最小值，并指出相应的取值．

18．（14分）进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵．经研究发现鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数．

（1）当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？

（2）某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

19．（14分）已知定义在上的函数满足：

①对任意实数，，均有；

②（1）；

③对任意，，．

（1）求（2）的值，并判断的奇偶性；

（2）对任意的，证明：；

（3）直接写出的所有零点（不需要证明）．

20．（14分）已知函数．

（1）指出的单调区间，并用定义证明当时，的单调性；

（2）设，关于的方程有两个不等实根，，且，当时，求的取值范围．

21．（15分）已知函数，（其中．

（1）求函数的值域；

（2）如果函数在，恰有10个零点，求最小正周期的取值范围．

参考答案

一、单项选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．【分析】求出集合，利用补集定义能求出．

【解答】解：全集，，，0，1，2，3，4，，

集合，，，，0，1，，

则，3，4，．

故选：．

【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．

【解答】解：直角坐标系中，，，

则角的终边与单位圆的交点坐标为，，

故选：．

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3．【分析】利用基本不等式即可求出结果．

【解答】解：实数，满足，则，当且仅当时取等号，

即，

，

故的最大值为，

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，也可以利用椭圆的参数方程求解，三角函数的最值求解，属于基础题．

4．【分析】讨论的范围，判断函数的单调性，和二次函数的开口方向和对称轴的位置，从而得出答案．

【解答】解：若，则指数函数是减函数，

二次函数开口向下，对称轴为，排除；

若，则指数函数是增函数，

二次函数开口向上，对称轴为，排除；

故选：．

【点评】本题考查了指数函数与二次函数的图象，属于基础题．

5．【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果．

【解答】解：，则

，

故选：．

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

6．【分析】在为减函数，结合（1），（2），可得答案．

【解答】解：函数的定义域为，而在为减函数，在为增函数，

在为减函数，

又，

所以由零点存在性定理可知，函数在区间有零点．

故选：．

【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．

7．【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出：，，，然后即可得出，，的大小关系．

【解答】解：，，

．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

8．【分析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．

【解答】解：由是第一象限的角，不能得到是增函数，

反之，由是增函数，也不一定是第一象限角．

故甲是乙的既不充分又不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题．

9．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，可判断①；由点的坐标代入求得，可得函数的解析式，再根据函数图象的变换规律可判断②；将代入解析式中验证，可判断③；根据三角函数的图象和性质可判断④．

【解答】解：对于①，由函数的图象得，

函数的最小正周期，，

将代入解析式中，，得，，

，故①错误；

对于②，由以分析得，将的图象向右平移1个单位，

得到函数的图象，故②正确；

对于③，将代入，得，故③错误；

对于④，由于函数的最小正周期为8，

而，

，不会出现一个取到最大或最小值，另一个取到最小或最大的情况，

故，故④正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

10．【分析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值．

【解答】解：因为函数的定义域是，

即不等式的解集为，

所以且，即，

令，

所以，

函数开口向上，对称轴为，在上单调递增，

所以没有最大值也没有最小值，

当时，在区间上单调递增，

所以没有最大值也没有最小值，

当时，在区间上单调递减，

所以没有最大值也没有最小值，

故选：．

【点评】本题考查函数的最值，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11．【分析】根据辅助角公式化简，求出的最小值即可．

【解答】解：函数，

的最小值是，

故答案为：．

【点评】本题考查了三角函数求值问题，考查辅助角公式的应用，是基础题．

12．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，从而求出的值即可．

【解答】解：把点代入，

得，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了待定系数法求函数解析式，函数求值问题，是基础题．

13．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

【解答】解：是奇函数，

由（a），得（a），

是增函数，

，即，得，

即实数的取值范围是，

故答案为：．

【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

14．【分析】画出函数的图象，结合图象可得答案．

【解答】解：作出的图象，如图所示：

如图，当时，

，当且仅当时等号成立，

当时，，

要使方程有四个不等实根，只需使即可，

故答案为：2.2（答案不唯一）．

【点评】本题考查了函数的零点，也考查了数形结合思想，属于基础题．

15．【分析】利用奇函数与偶函数的定义即可判断；然后对与讨论，分别求出函数的范围，由此即可求解．

【解答】解：因为恒成立，所以的定义域为，关于原点对称，

且，所以函数为偶函数；

因为，，所以，

若，则由题意可得当时，，故，

当时，，

综上，函数的值域为．

【点评】本题考查了函数的奇偶性以及函数值域问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．

三、解答题（共6小题，共85分）

16．【分析】（Ⅰ）可以求出，时，可以求出，然后进行补集、交集的运算即可；

（Ⅱ）根据即可得出，是方程的实数根，代入方程即可求出．

【解答】解：（Ⅰ），时，；

，或；

，或；

（Ⅱ）；

是方程的一个实根；

；

．

【点评】考查不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，以及一元二次不等式的解和对应一元二次方程的实根的关系．

17．【分析】由最小正周期为，可得，

选择条件①：

（1）由，，结合，即可得解；

选择条件②：

（1）由，，，即可得解；

（2）结合正弦函数的单调性，即可得解．

【解答】解：因为函数，的最小正周期为，

所以，

选择条件①：

（1）因为的图象关于点，对称，

所以，，所以，，

因为，所以，

故的解析式为．

选择条件②：

（1）因为的图象关于直线对称，

所以，，所以，，

因为，所以，

故的解析式为．

（2）由（1）得：，

当，时，，，

令，，则的最大值是，最小值是，

故的最大值和最小值分别是2，，

此时对应的的值分别是：，．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性、单调性和对称性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

18．【分析】（1）根据已知条件，将代入函数的解析式，即可求解．

（2）设原来和现在耗氧量的单位数分别为，，根据条件，可得，然后求出即可．

【解答】解：（1）由题意，可得

．

（2）设原来和现在耗氧量的单位数分别为，，

则，即，

所以，即它的耗氧量的单位数是原来的4倍．

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．

19．【分析】（1）令可求；令可求（2）；令可求奇偶性；

（2）令即可证明；

（3）（1），是以4为周期的周期函数，由偶函数的性质可得，从而可得的所有零点．

【解答】解：（1）对任意实数，，均有，令，则，可得，

对任意，，，

，

；

令，则（2）（1），

（2），解得：（2），

（2）；

定义域为关于原点对称，且令时，，

，

即，

是上的偶函数；

（2）令，则（1），

即，

则，

，

，

即；

（3）（1），且是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得，从而可得（1）（3）（5），

故的零点为奇数，

即所有零点为，．

【点评】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性及零点，难点在于根据题目需要给，赋予不同的值，属于中档题．

20．【分析】（1）由函数确定定义域，再由复合函数的单调性判断方法进行判断即可；

（2）利用（1）中结论，确定的单调区间，根据题干已知条件，即可求解．

【解答】解：（1）由题可知函数的定义域为

的单调递增区间为，，单调递减区间为，

证明：任意取，，且，

，

，，，，

，即，所以在单调递减，

（2）由（1）可知的单调增区间为，，

单调递减区间为，，且，

因为有两个不等实数根，令，可得，

又，且，，，

故的取值范围为．

【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，考查了函数零点问题，属于中档题．

21．【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简，将转化为只含有一个三角函数的形式，然后利用三角函数的性质进行求解．

（2）将在，愉有10个零点，变为，恰有10个解的问题，列出相应不等式即可求解．

【解答】解：（1）

，

由，得，

函数的值域为，．

（2）令，即，

函数在，恰有10个零点，即在，恰有10个解，

设函数的最小正周期为，则，

解得，

最小正周期的取值范围是，．

【点评】本题考查三角函数的值域的求法，考查三角函数的最小周期的取值范围的求法，考查三角函数的恒等式、三角函数的最小正周期、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．