2022北京东城高一（上）期末数学（教师版）

2022北京东城高一（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．

1．（3分）已知全集，2，3，，，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（3分）在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为　　

A． B． C． D．

3．（3分）已知实数，满足，那么的最大值为　　

A． B． C．1 D．2

4．（3分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）设，则　　

A． B． C． D．

6．（3分）函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

7．（3分）设，，，则　　

A． B． C． D．

8．（3分）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（3分）某同学用“五点法”画函数，在一个周期内的简图时，列表如下：

则的解析式为　　

A． B． 

C． D．

10．（3分）已知函数的定义域是，那么函数在区间上　　

A．有最小值无最大值 B．有最大值无最小值 

C．既有最小值也有最大值 D．没有最小值也没有最大值

二、填空题共5小题，每小题3分，共15分．

11．（3分）函数的最小值为 　　．

12．（3分）已知幂函数是常数）的图象经过点，那么　　．

13．（3分）已知函数是定义在上的增函数，且（2），那么实数的取值范围为 　　．

14．（3分）已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那么实数的取值范围为 　　．

15．（3分）设函数，则是 　　（填“奇函数”或“偶函数” ；对于一定的正数，定义，则当时，函数的值域为 　　．

三、解答题共6小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（8分）已知集合，集合，．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）当时，求的取值范围．

17．（10分）已知函数．

（Ⅰ）若（1），求不等式的解集；

（Ⅱ）若（1），求在区间，上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的值；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

18．（10分）已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：

条件①：的图象关于点对称；

条件②：的图象关于直线对称．

（Ⅰ）请写出你选择的条件，并求的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求的单调递增区间．

19．（10分）已知函数．

（Ⅰ）判断在区间，上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；

（Ⅱ）设为常数）有两个零点，，且，当时，求的取值范围．

20．（8分）人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中是圈层序号，将圈层序号是的区域称为“环” 时，1环表示距离城市中心公里的圈层；时，2环表示距离城市中心公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人平方公里），为环的人口密度（单位：万人平方公里）；为常数；．

下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：

（Ⅰ）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：，结果保留一位小数）；

（Ⅱ）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．

（参考数据：，

21．（9分）已知定义在上的函数满足：

①对任意实数，，都有；②对任意，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅲ）若（1），直接写出的所有零点（不需要证明）．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．

1．【分析】利用补集的定义直接求解即可．

【解答】解：全集，2，3，，，，

，，

故选：．

【点评】本题考查集合的基本运算，属于基础题．

2．【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．

【解答】解：在直角坐标系中，已知，

那么角的终边与单位圆坐标为，．

故选：．

【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3．【分析】利用基本不等式即可求出结果．

【解答】解：因为，

则，当且仅当时取等号，

即，故最大值为1．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

4．【分析】讨论时，的值域；以及时，的单调性和函数值的变化趋势，运用排除法可得结论．

【解答】解：当时，，的值域为，排除选项；

当时，递减，排除选项；

当时，，且，，排除选项．

故选：．

【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．

5．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．

【解答】解：因为，

则．

故选：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

6．【分析】在为减函数，结合（1），（2），可得答案．

【解答】解：函数的定义域为，而在为减函数，在为增函数，

在为减函数，

又，

所以由零点存在性定理可知，函数在区间有零点．

故选：．

【点评】本题主要考查函数零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．

7．【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，再借助中间量1和0求解即可．

【解答】解：，

，，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，对数的计算公式，属于基础题．

8．【分析】或，，以此可解决此题．

【解答】解：或，，

“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．

9．【分析】由最小正周期可得的值，由最大值、最小值可确定的值，再代入点，，进行运算，即可得解．

【解答】解：由表知，最小正周期，

所以，

最大值为2，最小值为，所以，

所以，

将点，代入得，，所以，，

因为，所以，

所以．

故选：．

【点评】本题考查三角函数解析式的求法，理解函数中每个参数的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

10．【分析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值．

【解答】解：因为函数的定义域是，

即不等式的解集为，

所以且，即，

所以，

函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，

所以，没有最大值，

故选：．

【点评】本题考查函数的最值，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．

二、填空题共5小题，每小题3分，共15分．

11．【分析】利用正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：，当，时，即，时取等号．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题．

12．【分析】利用幂函数的定义即可求出．

【解答】解：设幂函数，

幂函数的图象过点，

，

解得，

．

故答案为：4．

【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．

13．【分析】由函数的单调性比较大小即可．

【解答】解：函数是定义在上的增函数，且（2），

，

解得，

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的单调性的应用，属于基础题．

14．【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果．

【解答】解：作出的图象，如下图所示：

关于的方程有且仅有一个实数根，

函数的图象与有且只有一个交点，

由图可知，

则实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了数形结合思想及作图能力，难点在于作出函数的图象，属于基础题．

15．【分析】利用奇函数与偶函数的定义即可判断；然后对与讨论，分别求出函数的范围，由此即可求解．

【解答】解：因为恒成立，所以的定义域为，关于原点对称，

且，所以函数为偶函数；

因为，，所以，

若，则由题意可得当时，，故，

当时，，

综上，函数的值域为．

【点评】本题考查了函数的奇偶性以及函数值域问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．

三、解答题共6小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．【分析】（1）求出集合，然后再求交集即可；（2）利用集合的运算，列出不等式即可求得的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当时，集合，，

又，

所以，．

（Ⅱ）若，

则，

解得，

实数的取值范围．

【点评】本题主要考查了集合交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）根据（1），代入求出参数的值，再解一元二次不等式即可；

（Ⅱ）首先由（1）求出的值，再根据二次函数的性质求出函数在给定区间上的最值；

（Ⅲ）参变分离可得对任意恒成立，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解；

【解答】解：（Ⅰ）因为且（1），所以，解得，

所以，

由，得，即，解得，

即原不等式的解集为，；

（Ⅱ）因为（1），所以，所以，

所以，

因为，，

所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，

所以当时函数取得最小值；当时函数取得最大值；

（Ⅲ）因为对任意，不等式恒成立，

即对任意，不等式恒成立，

即对任意恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号；

所以，即，

所以．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法及二次函数的最值，难点在于第（Ⅲ）问中将问题转化为求的最值．

18．【分析】由最小正周期为，可得，

选择条件①：

（Ⅰ）由，，结合，即可得解；

选择条件②：

（Ⅰ）由，，，即可得解；

（Ⅱ）结合正弦函数的单调性，即可得解．

【解答】解：因为函数的最小正周期为，

所以，

选择条件①：

（Ⅰ）因为的图象关于点对称，

所以，，所以，，

因为，所以，

故的解析式为．

选择条件②：

（Ⅰ）因为的图象关于直线对称，

所以，，所以，，

因为，所以，

故的解析式为．

（Ⅱ）令，，，

所以，，，

故的单调递增区间为，，．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性、单调性和对称性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）由复合函数单调性可判断在区间，上单调递减，再利用定义证明即可；

（Ⅱ）函数为常数）的零点即方程为常数）的解，从而解方程，根据方程的解确定的取值范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）在区间，上单调递减，证明如下，

任取，，，且，

则

，

，

，，，，

，即，

故在区间，上单调递减；

（Ⅱ）函数为常数）的零点即方程为常数）的解，

解方程得，，

，，

，故，

故的取值范围为．

【点评】本题考查了函数性质的判断与证明及函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．

20．【分析】结合公式，以及2006年，，可求得，将代入上式，即可求解．

根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．

【解答】解：且2006年，，

，

当时，，

故该市2006年2环处的人口密度为1.7．

年①，

年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，

②，

联立①②可得，，两边同时取对数可得，，解得，

故该环是这个城市的4环．

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．

21．【分析】（Ⅰ）令，，即可求解；

（Ⅱ）是偶函数，令，为任意实数，可得，即可得证；

（Ⅲ）若（1），根据已知条件可得是以4为周期的周期函数，由偶函数的性质可得，从而可得的所有零点．

【解答】解：（Ⅰ）令，，则，

可得，因为对任意，，，

所以．

（Ⅱ）是偶函数，证明如下：

令，为任意实数，则，

即，所以是偶函数．

（Ⅲ）若（1），令，则（1），

即，

则，，

所以是以4为周期的周期函数，

又（1），

所以的所有零点为，．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查奇偶性与周期性的判断，考查赋值法的应用，属于中档题．