2023北京五十五中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2023北京五十五中高一（上）期中数学（教师版），共8页。试卷主要包含了解答题6小题，共80分等内容，欢迎下载使用。

一、选择题8小题，每小题5分，共40分
1. 设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（ ）
A. ，有B. ，有
C. ，使得D. ，使得
2. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D. ，或
3. 已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 若幂函数在单调递减，则（ ）
A. 3B. C. D.
7. “关于x的方程有实数根”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
8. 已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题6小题，每小题5分，共30分
9.已知集合，，则____．
10. 函数定义域为___________.
11. 函数的最大值是__________．
12. 不等式的解集为________．
13. 化简：= ______．（用分数指数幂表示）.
14. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为__.
三、解答题6小题，共80分
15. 已知，．
（1）求集合；
（2）求，．
16. 已知函数．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在上的最小值为1，求实数的值．
17. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
18. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并证明结论；
（2）证明函数在上是减函数；
（3）求函数在上的最值．
19. 已知二次函数．
（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）解关于的不等式（其中）．
20. 记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”.
（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；
（2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M.
参考答案
一、选择题8小题，每小题5分，共40分
1. 【答案】B
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中，
而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误．
故选：B
2. 【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；
【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；
故选：C
3.【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A；举反例即可判断B，C，D.
【详解】由，且，可得，A正确；
取，满足条件，但，B错误；
取，满足条件，但，，C，D错误；
故选：A
4. 【答案】B
【分析】
当时可将其代入时的解析式求出，再通过奇偶性将其转化为即可.
【详解】设，则.
可得，又函数f(x)是奇函数．
∴，
∴.
故选：B.
5. 【答案】B
【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案.
【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误；
对B，和的定义域均为R，且，则B正确；
对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误；
对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误.
故选：B.
6. 【答案】D
【分析】由幂函数的区间单调性有，求参数值即可.
【详解】由题设，则，可得.
故选：D
7. 【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义，结合根与系数关系判断条件间的关系即可.
【详解】若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立；
若，则，即方程有实数根，必要性成立；
所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件.
故选：B
8. 【答案】B
【分析】
由函数的单调性及定义域可得不等式，即可得解.
【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，考查了运算求解能力，属于基础题.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题6小题，每小题5分，共30分
9. 【答案】
【分析】根据并集的概念运算即得.
【详解】因为集合，，
所以.
故答案为：.
10. 【答案】且
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
故答案为：且.
11. 【答案】##
【分析】方法一：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值，方法二：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值.
【详解】方法一：，
∵，∴，，
∴，当且仅当，即时取等号．
故当时，．
方法二：由知，∴，
当且仅当，即时取等号．
故当时，．
故答案为：
12. 【答案】
【分析】由分式不等式可得，解一元二次不等式求解集.
【详解】由题设，
所以不等式解集为.
故答案为：
13. 【答案】
【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】因为
.
故答案为：.
14. 【答案】
【分析】
由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解不等式.
【详解】解：是定义在，上的偶函数，
，
，
在，上为增函数，
在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，
由可得，且，，
解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
三、解答题6小题，共80分
15.【答案】（1）
（2）或，或
【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合即可；
（2）由集合的交集与补集的运算求解即可.
【小问1详解】
因为，所以解不等式可得：
，故集合
【小问2详解】
由（1）可知：，又，
所以，所以或.
或，或.
16. 【答案】（1）最大值为12，最小值为-4
（2）
【分析】（1）配方后利用二次函数的性质求解即可.
（2）根据对称轴的位置，分类讨论，,求其最小值并为1，得到的值.
【小问1详解】
当时，，
又，所以，，
所以函数的最大值为12，最小值为-4.
【小问2详解】
的对称轴为，开口向上，
① 当，即时，
，即，符合题意；
② 当，即时，
，即，不符合题意；
③ 当，即时，
，无解，不符合题意；
综上，可得.
17. 【答案】将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
【分析】设底面长为，宽为，由容积为，可得，列出水池的总造价关于的函数关系可得，借助均值不等式即得解
【详解】设底面长为，宽为
则
水池的总造价：

（元）
当且仅当时，等号成立.
所以，将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
18. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）证明见解析； （3）无最大值，最小值为.
【分析】（1）应用奇偶性定义证的奇偶性；
（2）应用单调性定义证的单调性；
（3）根据（1）（2）的结论确定区间最值即可.
【小问1详解】
函数为奇函数，证明如下：
由知：函数定义域为R，
，
所以为奇函数，得证.
【小问2详解】
令，则，
所以，
而，，，则，
所以，故函数在上是减函数，得证.
【小问3详解】
由（1）（2）知：在上是减函数，
且，易知趋向时函数值趋向于0，
所以，无最大值.
19. 【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【分析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；
(2)不等式化为，讨论的取值，从而求出对应不等式的解集．
【小问1详解】
不等式即为：，
当时，不等式可变形为：，
因为，
当且仅当时取等号，所以，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
不等式，
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得；
当时，方程的两根为，，
②当时，可得，解不等式得或；
③当时，因为，解不等式得；
④当时，因为，不等式的解集为；
⑤当时，因为，解不等式得；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为．
20. 【答案】（1）E不是，F是
（2）不存在，理由见解析
（3）
【分析】（1）根据新定义计算即可判断；
（2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得，求解后，检验，进而可判断；
（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分、、三种情况求解即可.
【小问1详解】
因为，所以E不是“谐调集”，
因为，所以F是“谐调集”；
【小问2详解】
若存在符合题意的实数z，则，
所以，即，解得或或，
当时，则，，不符合题意；
当时，，，
由此，x、y是方程的实数解.
但，方程无实数解，所以不符合题意；
当时，同理，可得不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数z；
【小问3详解】
不妨设A中所有元素满足，
则，
于是，，
即，
当时，则，∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，
当时，则，∴，，，∴，
当时，∵，，，均为正整数，∴，，，.
∴，
又，∴，即，
但当时，，矛盾.
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为.
【点睛】关键点睛：
本题第三问关键是能够由，结合正整数的特点得到，再分、、三种情况求解.