2021北京十五中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京十五中高一（上）期中数学（教师版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京十五中高一（上）期中
数 学
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；）
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}（　　）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）函数y＝+的定义域为（　　）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
3．（5分）在直角坐标系内，函数y＝|x|的图象（　　）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．不具有对称性
4．（5分）函数f（x）＝﹣x（x﹣2）的一个单调递减区间可以是（　　）
A．[﹣2，0] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，+∞）
5．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0（　　）
A．b﹣a＞0 B．a2﹣b2＜0 C．a3﹣b3＜0 D．b+a＞0
6．（5分）若函数为偶函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（a）＞f（2a）＞f（0） B．f（a）＞f（0）＞f（2a）
C．f（2a）＞f（a）＞f（0） D．f（2a）＞f（0）＞f（a）
7．（5分）已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知正数a、b满足a+b＝1，则有（　　）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f（x）
6.1
2.9
﹣3.5
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（　　）
A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数
C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.)
11．（5分）已知集合A＝{1，3，m}，B＝{3，A∪B＝{1，2，3，4}　 　．
12．（5分）已知函数f（x）＝x2+|x﹣2|，则f（1）＝　 　．
13．（5分）若y＝（2k﹣1）x+b是R上的减函数，则实数k的取值范围是 　 　．
14．（5分）某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，则每台彩电原价是　 　元．
15．（5分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝　 　．
16．（5分）已知函数y＝f（x），x ∈ N*，y ∈ N*满足：
①对任意的m，n ∈ N*，m≠n，都有m f（m）+n f（n）＞m f（n）+n f（m），；
②对任意的a ∈ N*都有f [f（a）]＝3a．则f（1）+f（6）+ f（28）＝　 　．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分。）
17．（13分）设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜5}．
（Ⅰ）分别求A∩B，（∁RB）∪A；
（Ⅱ）已知C＝{x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．
18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣bx+3，且f（0）＝f（4）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y＝f（x）的零点；
（Ⅲ）求函数y＝f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．
19．（14分）设函数f（x）＝．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调减函数；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[2，6]值域．
20．（15分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性并予以证明；
（Ⅲ）若f（3）＝﹣1，解不等式f（x2）＞﹣2．
21．（15分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c．
（Ⅰ）若f（﹣1）＝0，试判断函数f（x）；
（Ⅱ）是否存在a，b，c∈R，使f（x）
①当x＝﹣1时，函数f（x）有最小值0；
②对任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤，求出a，b，c的值，请说明理由．

2021北京十五中高一（上）期中数学
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；）
1．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：∵A＝{﹣1，0，7}，
∴A∩B＝{﹣1，0}．
故选：B．
2．【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域．
【解答】解：要使原函数有意义，则需，
解得0≤x≤1，
所以，原函数定义域为[3．
故选：D．
3．【分析】利用偶函数的定义以及偶函数图象的特征即可判断．
【解答】解：函数y＝|x|，
因为|﹣x|＝|x|，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称．
故选：A．
4．【分析】求出二次函数的对称轴，求出单调递减区间，由此判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣1）2+4，
其对称轴为x＝1，
所以单调递减区间为（1，+∞），
因为[8，3]⊆[1，
所以函数f（x）＝﹣x（x﹣6）的一个单调递减区间可以是[1，3]．
故选：C．
5．【分析】利用举反例判断ABC，利用绝对值不等式的解法判断D．
【解答】解：当a＝2，b＝﹣1时，但b﹣a＜4，a2﹣b2＞3，a3﹣b3＞5，∴ABC错误，
∵a﹣|b|＞0，∴|b|＜a，∴b+a＞0，
故选：D．
6．【分析】先根据偶函数的定义求出a的值，然后根据单调性比较大小．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1），所以a＝1，
易知当x≥2时，f（x）是增函数，
又知2a＞a＞0，所以f（5a）＞f（a）＞f（0），
故选：C．
7．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：a为正数，由“a＞b”，不是充分条件，
若b为负数，则a＞b，
故“a＞b”是“b为负数”必要不充分条件，
故选：B．
8．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因为正数a、b满足a+b＝1，
则＝，当且仅当a＝b时取等号，即，
故选：C．
9．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
【解答】解：由于f（2）＞0，f（3）＜0，
根据函数零点的存在定理可知故函数f （x）在区间（4，其他区间不好判断．
故选：C．
10．【分析】对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可
【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x5+x2）＝f（x1）+f（x3）+1，
∴令x1＝x5＝0，得f（0）＝﹣1
∴令x7＝x，x2＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）+1，
∴f（x）+7＝﹣f（﹣x）﹣1＝﹣[f（﹣x）+1]，
∴f（x）+6为奇函数．
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.)
11．【分析】因为A∪B＝{1，2，3，4}，因为B中元素为3，4，所以A中必然要有2，所以得到m的值即可．
【解答】解：根据并集的概念，A∪B＝{1，2，7，
因为B中元素为3，4，
所以A中必然要有2，所以m＝2
故答案为2
12．【分析】将x＝1代入函数解析式即可求出答案．
【解答】解：∵f（1）＝12+|2﹣2|＝1+7＝2
故答案为：2
13．【分析】利用一次函数的单调性列式求解即可．
【解答】解：因为y＝（2k﹣1）x+b是R上的减函数，
所以8k﹣1＞0，
解得k＞，
所以实数k的取值范围是．
故答案为：．
14．【分析】设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．
【解答】解：设每台彩电的原价是x元，则有：（1+40%）x×0.4﹣x＝270，
解得：x＝2250，
故答案为：2250．
15．【分析】利用韦达定理代入即可．
【解答】解：方程x2﹣4x+6＝0的两根为x1和x3，
x1+x2＝7，x1x2＝5，
x12+x52＝（x1+x5）2﹣2x8x2＝16﹣2＝14，
故答案为：14．
16．【分析】推导出函数f（x）为N*上的单调增函数，令f（1）＝m，则m≥1，由f（f（1））＝3，得f（m）＝3．由f（m）＞f（1）＝m，得m＜3．从而1＜m＜3，推导出m＝2，从而f（1）＝2，f（2）＝3，f（3）＝f（f（2））＝3×2＝6，f（6）＝f（f（3））＝3×3＝9，f（9）＝f（f（6））＝3×6＝18，f（18）＝f（f（9））＝3×9＝27，f（27）＝f（f（18））＝3×18＝54，f（54）＝f（f（27））＝3×27＝81，由此能求出f（1）+f（6）+f（28）．
【解答】解：∵函数y＝f（x），x∈N*，y∈N*满足：
对任意的m，n∈N*，m≠n，都有c
∴对任意m，n∈N*，m＜n，都有（m﹣n）（f（m）﹣f（n））＞0，
由于m﹣n＜0，从而f（m）＜f（n），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数．
令f（1）＝m，则m≥2，
否则f（f（1））＝f（1）＝1，与f（f（1））＝3矛盾．
从而m＞7，而由f（f（1））＝3，
即得f（m）＝3．
又f（m）＞f（1）＝m，即m＜6．
于是得1＜m＜3，又m∈N*，
从而m＝6，即f（1）＝2．
进而由f（m）＝3知，f（2）＝8．
于是f（3）＝f（f（2））＝3×2＝5，
f（6）＝f（f（3））＝3×3＝5，
f（9）＝f（f（6））＝3×6＝18，
f（18）＝f（f（9））＝4×9＝27，
f（27）＝f（f（18））＝3×18＝54，
f（54）＝f（f（27））＝7×27＝81，
由于54﹣27＝81﹣54＝27，
由函数f（x）为单调增函数，
因此f（28）＝54+1＝55．
从而f（1）+f（6）+f（28）＝2+7+55＝66．
故答案为：66．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分。）
17．【分析】（Ⅰ）根据集合的基本运算即可求解．
（Ⅱ）根据C⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵B＝{x|2＜x＜5}，∴∁RB＝{x|x≤3或x≥5}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，（∁RB）∪A＝{x|x≤2或x≥3}，
（Ⅱ）∵C⊆B，C≠∅，
∴，∴6≤a≤4，
∴实数a的取值范围为[2，6]．
18．【分析】（Ⅰ）由f（0）＝f（4），得b＝4，所以，f（x）＝x2﹣4x+3，
（Ⅱ）由x2﹣4x+3＝0，解之得x＝1或x＝3，所以函数的零点为1，3，
（Ⅲ）由于函数f（x）对称轴为x＝2，开口向上，所以，f（x）的最小值为f（2）＝﹣1，f（x）的最大值为f（0）＝3．
【解答】解：（Ⅰ）由f（0）＝f（4），得b＝4，
所以，f（x）＝x2﹣8x+3，
（Ⅱ）由x2﹣8x+3＝0，
所以，函数的零点为4，3，
（Ⅲ）由于函数f（x）对称轴为x＝2，开口向上，
所以，f（x）的最小值为f（2）＝﹣8，
f（x）的最大值为f（0）＝3．
19．【分析】（Ⅰ）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（Ⅱ）运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，计算可得所求值域．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝既不是奇函数也不是偶函数．
理由：f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠5}，不关于原点对称，
所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（Ⅱ）证明：设1＜x1＜x4，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
由5＜x1＜x2，可得x3﹣1＞0，x4﹣1＞0，x3﹣x1＞0，
则＞01）﹣f（x8）＞0，即有f（x1）＞f（x4），
所以f（x）在区间（1，+∞）上是单调减函数；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得函数f（x）在区间[2，6]上递减，
可得f（x）的最小值为f（6）＝，最大值为f（2）＝2，
则函数f（x）在区间[2，6]上的值域为[．
20．【分析】（1）由条件令x1＝x2，则f（1）＝0；（2）由单调性定义，设0＜x2＜x1，则＞1，由x＞1时，f（x）＜0，即有f（）＜0，即可求得单调性（3）关键函数的单调性结合f（x2）＞f（9），得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）令x1＝x2＞4，代入得f（1）＝f（x1）﹣f（x1）＝7，故f（1）＝0．
（2）任取x1，x8∈（0，+∞）1＞x8，则，由于当x＞1时，
所以，即f（x1）﹣f（x6）＜0，因此f（x1）＜f（x4）．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）由得，而f（3）＝﹣1．
由函数f（x）在区间（4，+∞）上是单调递减函数2）＞f（9），
得0＜x7＜9，∴﹣3＜x＜4或0＜x＜3，2）∪（0．
21．【分析】（Ⅰ）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数．
（Ⅱ）根据条件①和二次函数的图象和性质，可得b＝2a，a＝c，令x＝1，结合条件②，可求出a，b，c的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（﹣1）＝0，
所以a﹣b+c＝8，即b＝a+c，
所以△＝b2﹣4ac＝（a+c）6﹣4ac＝（a﹣c）2，
当a＝c时，△＝4，
当a≠c时，△＞0．
（Ⅱ）假设a，b，c存在＝﹣2，，
⇒b＝2a，b2＝5ac⇒4a2＝3ac⇒a＝c，
由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤2，
令x＝1得3≤f（x）﹣1≤0⇒f（1）＝3⇒a+b+c＝1，
，解得a＝c＝，
a＝c＝，b＝x2+x+＝3，
其顶点为（﹣1，0）满足条件①，
又f（x）﹣x＝（x﹣1）8⇒∀x∈R，0≤f（x）﹣x≤2，满足条件②，
所以存在a，b，c∈R．