2020北京清华附中高一（上）期末数学（教师版）

这是一份2020北京清华附中高一（上）期末数学（教师版），共16页。

2020北京清华附中高一（上）期末
数 学
一.选择题（每小题4分，共40分）.
1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝tanx C．y＝0.5x D．y＝lgx
3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（　　）
A．a B．b C．c D．d
5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，+∞） B．[﹣1，0）∪（0，+∞）
C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　）
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每小题5分，共30分）.
11．（5分）已知幂函数f（x）＝xm经过点（2，），则f（）＝　 　．
12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝　 　．
13．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为　 　．

14．（5分）关于函数f（x）＝sinx与g（x）＝cosx有下面三个结论：
①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：
②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；
③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．
其中全部正确结论的序号为　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为　 　．
16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是　 　．
三、解答题（共6小题，共80分）.
17．（13分）计算：
（1）log64+2log63．
（2）×
（3）cos120°+tan135°．
18．（13分）已知＝．
（1）若α为第三象限角，求cosα的值；
（2）求tan（α+）的值；
（3）求cos2α的值．
19．（13分）已知函数f（x）＝|logax|（a＞0，a≠1）．
（1）若f（2）＝，求实数a的值；
（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；
（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．
20．（13分）已知函数f（x）＝4cosxsin（x+）．
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：
（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．
21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．
（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；
①f（x）＝sin2πx；
②g（x）＝cosπx．
（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；
（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．
22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；
（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；
（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．

2020北京清华附中高一（上）期末数学
参考答案
一.选择题（每小题4分，共40分）.
1．【答案】C
【分析】化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出．
【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，
四个选项中，只有0∈A，
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，y＝tanx，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，y＝0.5x，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
对于D，y＝lgx，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性即可，属于基础题．
3．【答案】A
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．
【解答】解：∵点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．【答案】B
【分析】分别判断三个数的大小，进行比较即可．
【解答】解：a＝log30.1＜0，b＝tan＝1，c＝2∈（0，1），d＝sin2＜1，
则最大的是b＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，分别判断四个数的取值范围是解决本题的关键．比较基础．
5．【答案】A
【分析】sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，可得β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．即可判断出结论．
【解答】解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，
∴β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．
化为：α+β＝+2kπ，k∈Z，或β﹣α＝﹣+2kπ，k∈Z，
∴“α+β＝+2kπ，k∈Z“是“sinα＝cosβ“的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【答案】C
【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决
【解答】解：经计算f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+log23﹣5＝log23﹣2＜0，f（4）＝4+2﹣5＝1＞0，
故函数的零点所在区间为（3，4），
故选：C．
【点评】本题考查函数零点判定定理，属于基础题．
7．【答案】A
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，
即x＞﹣1且x≠0，
故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
8．【答案】B
【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值
【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当时，f（x）取得最小值、
可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B．
【点评】本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．
9．【答案】D
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．
【解答】解：∵θ＝（0，），sin2θ＝，
∴sinθ﹣cosθ＜0，
∴sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10．【答案】D
【分析】根据已知条件把问题转化为函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点，结合图象即可得到结论
【解答】解：由定义可得：；
函数f（x）为“可相反函数”，即函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点．
结合图象可得：只有②③④符合要求；
故选：D．

【点评】本题考查可相反函数的判断，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题
二、填空题（每小题5分，共30分）.
11．【答案】见试题解答内容
【分析】把点的坐标代入幂函数解析式求出m的值，求出解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝xm经过点（2，），
即2m＝，解得m＝﹣2，
所以f（x）＝x﹣2；
所以f（）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】由已知结合同角平方关系可求cosθ，然后结合诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为θ为第二象限角，且sinθ＝，
所以cos，
则sin（θ+）＝cosθ＝﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角平方关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，
可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝π．
再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（π•x+）．
令2kπ﹣≤π•x+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，
故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z，
故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：对于①，由于f（x）＝sinx＝cos（x+），所以函数f（x）＝sinx的图象可由函数g（x）＝cosx的图象向左平移个单位得到；①正确；
对于②，函数f（x）＝sinx在（，π）上为减函数，函数g（x）＝cosx在（，π）上为减函数；②正确；
对于③，若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|＝|sint﹣cost|＝|sin（t﹣）|≤．故③错误；
故正确结论序号为①②；
故答案为：①②．
【点评】本题考查三角函数的性质，图象及三角变换，属于中档题．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】题目等价于函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可
【解答】解：条件等价于方程f（x）＝k有2个不等实根，也即函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，
作出函数f（x）的图象如图：

由图象可知，﹣1＜k＜0或1≤k≤3，
故k∈（﹣1，0）∪[1，3]，
故答案为（﹣1，0）∪[1，3]．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，
则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，
若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．
则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．
对称轴：x＝﹣．
①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．
②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
【点评】本题考查了新定义、二次函数的性质、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共80分）.
17．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可得解．
（2）利用指数的运算即可求解．
（3）利用诱导公式化简根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：（1）log64+2log63＝

（2）×＝2+2+2＝2＝21＝2．
（3）cos120°+tan135°＝cos（180°﹣60°）+tan（180°﹣45°）＝﹣cos60°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣．
【点评】本题主要考查了对数，指数的运算，考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．
（2）由题意利用两角和的正切公式，求得所给式子的值．
（3）由题意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2α的值．
【解答】解：（1）∵已知＝＝，∴tanα＝3＝．
∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，且 sin2α+cos2α＝1．
求得sinα＝﹣，cosα＝﹣．
（2）由以上可得，tan（α+）＝＝＝﹣2．
（3）cos2α＝2cos2α﹣1＝2•﹣1＝﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式、二倍角公式的余弦公式的应用，属于基础题．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）代入直接求解即可；
（2）计算可知loga（x1x2）＝0，由此得到x1x2＝1；
（3）分析可知函数f（x）在[，3]的最大值为2，讨论即可得解．
【解答】解：（1）依题意，，即或，
解得a＝4或；
（2）依题意，|logax1|＝|logax2|，又0＜x1＜x2，故logax1+logax2＝0，即loga（x1x2）＝0，故x1x2＝1；
（3）显然当x＝1时，函数f（x）＝|logax|取得最小值为0，则函数f（x）在[，3]的最大值为2，
若，解得或；
若f（3）＝|loga3|＝2，解得或；
结合（2）可知，只有或满足题意．
【点评】本题主要考查对数函数的图象及性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用已知条件求解即可．
（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称轴求得f（x）的最小正周期和对称轴即可．
（3）求出函数f（0）的值，然后求解函数在（0，π）的范围内，求出x的值等于f（0），即可得到m的最大值．
【解答】解：（1）f（x）＝4cosxsin（x+）．
f（）＝0．
（2）依题意，得函数f（x）＝4cosxsin（x+）＝4cosx•（sinx+cosx）＝sin2x+2cos2x﹣1+1
＝2（sin2x+cos2x）+1＝2sin（2x+）+1．
它的最小正周期为＝π．
函数f（x）的图象的对称轴方程
令2x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z．
（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，
f（0）＝4cos0sin＝2．
2sin（2x+）+1＝2，可得x＝时，f（）＝2，
所以0＜m≤．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，两角和与差的三角函数，函数的最值的求法，正弦函数的周期性和对称性，属于中档题．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据P（1）的定义可知，该函数的周期为1，利用公式可分别求出它们的周期；
（2）根据P（2）、P（3）的性质，合理变换x的取值，结合性质，可构造出关于f（x）的方程解出f（x）；
（3）采用构造法，将P（1.01）的性质转化为，让函数值随着x后面累加1.01，绝对值逐渐缩小，再利用赋值法求得符合题意的x0．
【解答】解：（1）令T＝1，则f（x+1）＝f（x），即该函数的周期为1，
∵f（x）＝sin2πx的周期为＝1，故f（x）满足性质P（1），
②g（x）＝cosπx的周期为＝2，故g（x）不满足性质P（1），
（2）函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），
∴f（x+2）＝2f（x），f（x+3）＝3f（x），
∴f（x+3）＝f（x+1+2）＝2f（x+1）＝3f（x）①
又f（x+2）＝f（x﹣1+3）＝3f（x﹣1）＝2f（x）②
结合f（x+1）＝f（x﹣1+2）＝2f（x﹣1）③，联立①②③消去f（x+1）、f（x﹣1）
解得f（x）＝0．
（3）因为f（x+1.01）＝1.01f（x），所以f（x）＝f（x+1.01），
所以f（x﹣1.01）＝，取x＝0，，，……，
f（﹣n×1.01）＝，（n∈N+）
易知＜0.001，且随着n的增大|f（﹣n×1.01）|的值递减．
对两边取常用对数得：﹣nlg1.01+lg|f（0）|＜﹣3
整理后得，取大于的整数n时，对应的x0＝﹣n×1.01满足|f（x0）|＜0.001．
所以，存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．
【点评】本题考查了抽象函数及其应用，重点考查学生的逻辑推理能力，属较难的题目．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；
（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；
（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值．
【解答】解：（1）根据题意，由A＝{﹣1，1}，则A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；
（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，
所以A﹣中也只包含四个元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，
剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；
（3）设 A＝{a1，a2，…ak} 满足题意，其中 a1＜a2＜…＜ak，
则 2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak﹣1+ak＜2ak，
∴|A+|⩾2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜ak﹣a1，∴|A﹣|⩾k，
∵A+∩A﹣＝∅，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|⩾3k﹣1，
A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2ak，
∴|A+∪A﹣|⩽2ak+1，
∴3k﹣1⩽2ak+1⩽4041（k∈N*），
∴k≤1347，
实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，证明如下：
设 A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，
则 A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，
依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，
故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，
即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．
【点评】本题考查的知识点是新定义，正确理解集合A+，A﹣的定义是解答的关键．