2021北京清华附中高一（上）期中数学（教师版）

2021北京清华附中高一（上）期中

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合，，0，1，2，，则　　

A．，1， B．， C．，0， D．，，0，1，

2．（4分）命题“，使得”的否定是　　

A．，都有 B．，使得 

C．，都有 D．，使得

3．（4分）下列函数中，值域为且为奇函数的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）已知函数，那么等于　　

A． B． C． D．

5．（4分）若偶函数在，上是增函数，则　　

A．（2） B．（2） 

C．（2） D．（2）

6．（4分）已知函数满足，且（5）（3），则（4）　　

A．16 B．8 C．4 D．2

7．（4分）下列函数中，能说明“若函数满足（2）．则在内不存在零点”为假命题的函数是　　

A． B． C． D．

8．（4分）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

9．（4分）“ “是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．（4分）设，集合，，则　　

A．对任意实数， B．对任意实数， 

C．当且仅当时， D．当且仅当时，

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）函数的定义域是 　　．

12．（5分）若集合，，与集合，，相等，则实数　　．

13．（5分）函数的值域是 　　．

14．（5分）已知，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 　　．

15．（5分）对于集合，，定义，，下列命题：

①；

②；

③若，则；

④，则．

其中正确的命题是：　　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（14分）已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

17．（14分）求下列关于的不等式的解集：

（1）；

（2）．

18．（14分）已知函数，对于任意，有，．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间，上的最小值为，求的值．

19．（14分）已知函数．

（1）若为奇函数，求的值；

（2）当时，求函数在区间，上的最大值；

（3）若，函数的图象恒在图象下方，求实数的取值范围．

20．（14分）已知是定义在，，上的函数，满足下列两个条件：

①当时，恒成立；

②对任意的，，，，都有．

（1）求（1）和的值；

（2）证明：为奇函数，并且；

（3）若在区间，上单调递减，直接写出关于的不等式的解集．

21．（15分）设，集合，2，，．若个互不相同的非空集合，，，同讨满足下面两个条件，则称，，，是集合的“规范一子集组”．

（1），2，，；

（2）对任意的，，要么，要么，中的一个是另一个的子集．

（Ⅰ）直接写出集合的一个“规范2一子集组”；

（Ⅱ）若，，，是集合的“规范一子集组”，

（ⅰ）求证：，，，中至多有1个集合对，，满足且．

（ⅱ）求的最大值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】求出关于的不等式，求出、的交集即可．

【解答】解：，

，0，1，2，，

则，0，，

故选：．

【点评】本题考查了集合的交集的运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．

2．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．

【解答】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：

，都有，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．【分析】由值域的求法及常见函数的奇偶性逐一判断即可

【解答】解：对于，的值域为，且为偶函数，不符合题意；

对于，的值域为，但是非奇非偶函数，不符合题意；

对于，的值域为且为奇函数，符合题意；

对于，的值域为，，，不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断及值域的求法，属于基础题．

4．【分析】直接利用函数的解析式求解即可．

【解答】解：函数，那么．

故选：．

【点评】本题考查函数的解析式的求法，基本知识的考查．

5．【分析】由函数的奇偶性、单调性把（2）、、转化到区间，上进行比较即可．

【解答】解：因为在，上是增函数，

又，所以，

又为偶函数，所以（2）．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是灵活运用函数性质把（2）、、转化到区间，上解决．

6．【分析】根据关系式得到（4）（3）且（5）（4），进而求得结论．

【解答】解：因为函数满足，

所以：（4）（3）且（5）（4），

又（5）（3），

即（4）（4）；

则（4）；

故选：．

【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．

7．【分析】函数满足（2），但在内存在零点，由此可得答案．

【解答】解：满足（2），但在内存在零点，

故函数符合题意．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．

8．【分析】不等式等价于，再结合图象即可得解．

【解答】解：函数的定义域为，，，

因为恒成立，所以不等式等价于的解集，

由图可知，或，

所以不等式的解集为，，．

故选：．

【点评】本题考查函数的图象与性质，分式不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

9．【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．运用定义来做题目．

【解答】解：由，可得，

故，由，不能够推出，故，，是的不充分条件，

由，能够推出，故，，是的必要条件，

综上所述，，是的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件以及充要条件的判断，属于基础题．

10．【分析】假设，从而可得且，即可解得，再结合选项判断即可．

【解答】解：若，

则且，

解得，，

故当且仅当时，，

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合的关系应用及转化思想的应用，属于基础题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】求出使函数式中无理式和分式有意义的的取值集合，然后取交集．

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：且．

所以，原函数的定义域为，，．

故答案为，，．

【点评】本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．

12．【分析】由集合相等的概念求出的值，再检验即可．

【解答】解：由集合，，与集合，，相等，

则或，

解得：，，1，

当时，，0，与集合，0，相等，成立，

当时，集合，，，1，，不成立，

当时，集合，，，1，，，，，，，不成立，

实数，

故答案为：0．

【点评】本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的互异性，是基础题，也是易错题．

13．【分析】由基本不等式得，当且仅当，即时，取等号，再计算（1），（6），即可得出答案．

【解答】解：，

当且仅当，即时，取等号，

又（1），（6），

所以最小值为，最大值为8，

所以的值域为，．

故答案为：，．

【点评】本题考查函数的值域，解题关键是基本不等式的应用，属于中档题．

14．【分析】依题意，函数与直线的图象有且仅有一个交点，直线恒过定点，作出函数的图象，观察图象即可得到答案．

【解答】解：令，则，依题意，函数与直线的图象有且仅有一个交点，

注意直线恒过定点，作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，满足条件的直线应介于红色线和蓝色线之间，且不与黄色线重合，

，，，．

故答案为：，，，．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．

15．【分析】①根据新定义以及加法交换律得出；②根据新定义以及加法结合律得出；③举特例根据新定义说明结论不成立；④根据题意举例说明结论不成立．

【解答】解：①、集合、满足，，

，，，①正确；

②、，，

，，，，②正确；

③、当，，，，

由题意得，，，但，③不正确；

④、当，，，，，时，

满足，，，但不成立，④错误，

所以正确的命题是：①②，

故答案为：①②．

【点评】本题考查了新定义的集合的应用问题，解题时应理解集合的含义，理解新定义的内含与外延，是不易理解的题目．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（1）先求出集合，，然后由交集的定义求解即可；

（2）利用子集的定义，列式求解即可．

【解答】解：（1）当时，集合，集合或，

所以或；

（2）因为，则，

所以，解得，

所以实数的取值范围为．

【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集与子集的定义，属于基础题．

17．【分析】（1）将其转化为一元二次不等式，解之即可；

（2）分，和三种情况，结合二次函数的图象与性质，解之即可．

【解答】解：（1）原不等式等价于，

所以或，

故不等式的解集为或．

（2）原不等式可化为，

当时，不等式为，显然不成立，所以无解；

当时，，所以；

当时，，所以，

综上所述，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点评】本题考查分式不等式的解法，含参一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，运算求解能力，属于基础题．

18．【分析】（1）根据题意可得，结合可得，从而即可求出与的值，进一步即可确定的解析式；

（2）讨论区间，和对称轴的位置关系，结合函数的单调性即可求解．

【解答】解：（1）由函数满足，得的对称轴是，即①，

由，得②，联立①②解得，

所以；

（2）当，即时，函数在区间，上单调递减，

所以，解得或（舍去），

当时，函数在区间，上单调递增，

，解得或（舍去），

当，即时，（2）不符合题意，

综上所述，或．

【点评】本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．

19．【分析】（1）由函数为奇函数可得（1），由此建立关于的方程，解出再验证即可得出答案；

（2）将代入，并把函数化为分段函数的形式，分别求出，及，时的最大值，综合即可得出答案；

（3）对，恒成立，即恒成立，解绝对值不等式可得，由此建立关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）由于为奇函数，则（1），

，解得，

经检验，符合题意，故实数的值为0；

（2）当时，，

当，时，，此时的最大值为，

当，时，在，上单调递增，此时的最大值为（4），

综上，函数在区间，上的最大值为28；

（3）依题意，对，恒成立，即恒成立，

由得，

，解得，

实数的取值范围为．

【点评】本题考查绝对值函数的奇偶性，单调性及最值，同时还涉及了绝对值不等式的解法，考查转化思想、集合思想及运算求解能力，属于中档题．

20．【分析】（1）在中，令，即可求得（1），取，即可求得；

（2）取，得，取，，得（1），联立可得，则函数为奇函数，令，得，可得，得；

（3）利用函数单调性定义证明在，上单调递增，由，得，可得，求解可得关于的不等式的解集．

【解答】（1）解：令，得（1）（1）（1）（1），

（1）或（1）．

若（1），取，，则（1），

得，与时，矛盾，故（1）舍去．

取，则（1）（1），

得；

（2）证明：取，得，

将换为，换为1，得（1），

则（1），，

即，函数为奇函数．

令，得，

，

则，故；

（3）解：设，则，

由，且在区间，上单调递减，

，即，可得在，上单调递增，

由，得，

，，

解得．

关于的不等式的解集为，．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力及推理运算能力，训练了不等式的解法，属难题．

21．【分析】由集合的新定义写出即可，

应用反证法进行证明，假设不只是一个集合满足，且，再证明假设不成立即可．

用数学归纳法进行证明，得出的最大值即可．

【解答】解：，，

令，，，

，，且，

的一个“规范2—子集组”为，，

假设不只是一个集合满足，且，

，，，

若，，2，3，，

此时，，设，，3，，

，，当，，

设，，，，且，，

且，，满足条件，

故至多一个集合对满足条件不符，假设不成立，

故命题得证．

，2，3，，当时，

令，当时，

令，

这样取出的个集合满足依题意，

用数学归纳法证明：，

当时，可见结论成立，

假设时结论成立，

当时，考察，，中不为全集且元素个数最多的集合，

记为，并设中有个元素，则，

将，，分为三类，

①全集②不是全集且不为全集③与交集为全集，

由选取可知，③中子集全部是的子集且满足条件，

由归纳假设可知第二类的集合个数不超过，

第③中的集合都是或的子集，

由归纳假设知集合个数不超过，

因此，

所以当时，成立．

所以由归纳法得，对于任意元集合，都有，

所以综上：．

【点评】本题考查反证法与数学归纳法，属于综合题．