2023北京清华附中高一（上）期末数学（非马班）（教师版）

2023北京清华附中高一（上）期末

数学（非马班）

（清华附中高22级）

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若点在角的终边上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 计算：（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A. 向左平移个单位长度  B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

5. 已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 下列区间包含函数零点的为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为（    ）

A.  B. 0 C.  D.

9. 已知实数，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

①时，的最大值为；

②时，方程在上有且只有三个不等实根；

③时，为奇函数；

④时，的最小正周期为

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数的定义域为___________.

12. 已知，则___________．

13. 已知函数经过点，则不等式的解集为___________．

14. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为___________．

15. 已知，给出下列四个结论：

①若，则或2；

②若，且，则；

③不存正数k，使得恰有1个零点；

④存在实数，使得恰有3个零点．

其中，所有正确结论的序号是___________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16 已知二次函数，其中．

（1）若的最小值为0，求m的值；

（2）若有两个不同零点，求证：．

17. 已知函数的图象过点，相邻的两个对称中心之间的距离为.

（1）求的解析式；

（2）求单调递增区间和对称中心．

18 已知函数，其中且．

（1）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；

（2）若，求的最小值；

（3）若在区间上的最大值为2，求a的值．

19. 已知函数．

（1）求，并求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值，并求相应的x值．

20. 如图，在函数图像任取三点，满足，，，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F．

（1）当时，求梯形ADEB的周长；

（2）用a表示的面积S，并求S的最大值．

21. 已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为．若且，则称是是中的一个等距序列．

（1）若，判断是否是中的一个等距序列？

（2）设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；

（3）设是中的等距序列，且，，．求m的最小值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 【答案】D

【解析】

【分析】首先解指数不等式得到，再求即可.

【详解】，，

则.

故选：D

2. 【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.

【详解】点为坐标原点，.

根据三角函数的概念可得，.

故选：C.

3. 【答案】B

【解析】

【分析】由对数的运算法则化简即可求得.

【详解】由对数运算法则化简得

故选：B

4. 【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.

【详解】因为，

所以由函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象，

故选：C

5. 【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到，，，即可得到答案.

【详解】，即.

，即.

，即.

所以.

故选：C

6. 【答案】B

【解析】

【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，可得出结论.

【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A错误；

对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，

因为在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；

对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，

因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；

对于D选项，函数的最小正周期为，故D错误.

故选：B.

7. 【答案】C

【解析】

【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.

【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，

函数在上单调递增，

因为，

所以，函数零点在区间 内，

故选：C.

8. 【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的奇偶性求出,再根据对称轴使得取到最大值,计算即可.

【详解】若函数是奇函数,所以.

所以,

当取到最大值时,,即,可得，

当时, .

故选:.

9. 【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数性质进行求解即可.

【详解】当时，，

当时，，

，或，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

10. 【答案】D

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.

【详解】因为，

所以当时，，此时函数的最大值为，命题①为真命题；

当时，，方程可化为，

当时，，故，由正弦函数性质可得方程在上有两个解，

当时，原方程可化为，方程在上无解，

所以方程在上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；

当时，，，

，所以，所以不为奇函数，命题③为假命题；

当时，，

所以的最小正周期为，命题④正确；

故选：D.

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.

【详解】函数需满足 ，

解得 且 ，

故函数的定义域为，

故答案为：

12. 【答案】

【解析】

【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

13. 【答案】

【解析】

【分析】首先代入求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.

【详解】由题意得，解得，故，

则即为，

根据在上为单调增函数，则有，

解得，故解集为，

故答案为：.

14. 【答案】1

【解析】

【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值.

【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知，是函数的最大值，

当时，，，

解得：，，

所以当k=0时，取最小值为1.

故答案为：1

15. 【答案】①②

【解析】

【分析】对于①，解即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得，由对数的运算可判断；对于③，分与讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判断.

【详解】对于①，若，则，解得或2，故①正确；

对于②，若，且，则，

则，解得，故②正确；

对于③，当，易知与的图象有一个交点，

当时，与的图象在上没有交点，

此时恰有1个零点，故③错误；

对于④，当时，，

易知与的图象在上有一个交点，

因为与的图象关于对称，且没有交点，

故恰有1个零点，故④错误.

故答案为:①②.

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到，再解方程即可.

（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式的性质求解即可.

【小问1详解】

，

因为，，解得.

【小问2详解】

因为有两个不同零点，所以，

又因为，所以.

因为，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

因为，所以，即证.

17. 【答案】（1）   

（2）的增区间为，对称中心为

【解析】

【分析】（1）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；

（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.

【小问1详解】

由函数的图象过点，，则，由，则，

由相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的周期，解得，

故.

【小问2详解】

由（1）可知，，

令，解得，

则函数的增区间为；

令，解得，则函数的对称中心为.

18. 【答案】（1）；   

（2）；   

（3）3.

【解析】

【分析】（1）求出即可得出结果；

（2）由已知，令，，可得，即可求出最小值；

（3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值．

【小问1详解】

因为，所以定点坐标为.

【小问2详解】

当时，.

令，.

则，当，即时，函数有最小值.

【小问3详解】

令，则.

①当时，可知在上单调递减，所以.

又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，

所以在处取得最大值.

由已知可得，，解得或.

因为，所以两个数值均不满足；

②当时，可知在上单调递增，所以.

又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，

所以在处取得最大值.

由已知可得，，解得或（舍去），所以.

综上所述，.

19. 【答案】（1），   

（2）时，；时，.

【解析】

【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解；

(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.

【小问1详解】

，

，

.

小问2详解】

由(1)知，

令得,

当时，，

，

令得,

与区间无交集，

又，

，

故时，；时，.

20. 【答案】（1）；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】对于（1），由题可得，.，据此可得答案；

对于（2），设与BE交点为P，则S，据此可得答案.

【小问1详解】

由题可得，，.

，则梯形ADEB的周长为；

小问2详解】

设与BE交点为P，则S.

又，且，E为DF中点，则

由梯形中位线定理得（若，变为三角形中位线，结论不变.），

则

则S，

其中.因，则函数在上单调递增，

得当时，.

当且仅当时取等号.又函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号.

即的面积，其中；

当且仅当时，的面积有最大值.

21. 【答案】（1）不是中的一个等距序列   

（2）见解析    （3）7

【解析】

【分析】（1）算出与验证不相等；

（2）结果为来讨论；

（3）分析从变成经过变换次数的规律，根据知道每次需要变换几个对应坐标.

【小问1详解】

所以不是中的一个等距序列

【小问2详解】

设

把分别称作的第一个，第二个，第三个坐标，若则中有个对应坐标不相同，

例如当时，说明中有个对应坐标不相同，其中

就是符合的一种情况.

①    当得，所以是偶数

②    当，

则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，

所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.

③    当

则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，

所以中有或个对应坐标不相同，当有个对应坐标不相同时，即则，当有个对应坐标不相同时，，都满足为偶数.

④    当

则中有个对应坐标不相同，并且中有个对应坐标不相同，

所以中有个对应坐标不相同，即则，满足为偶数.

综上：A，B，C是中的等距序列，则为偶数

【小问3详解】

根据第二问可得，则说明中有个对应坐标不相同

由变换到需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从变成经过奇数次变化，

所以从变到至少经过次变换，每个坐标变换5次，故的最小值为.