2023北京清华附中高一（上）期末考试数学试卷（教师版）

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这是一份2023北京清华附中高一（上）期末考试数学试卷（教师版），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={y|y=lg2x,x>2}，B={y|y<4}，则A∩B=( )
A. {y|02. 命题“∀x>0，x2−2x+1≥0”的否定是( )
A. ∃x>0，x2−2x+1<0B. ∀x>0，x2−2x+1<0
C. ∃x≤0，x2−2x+1<0D. ∀x≤0，x2−2x+1<0
3. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )
A. y=−1xB. y=3x−3−xC. y=tanxD. y=x
4. 已知a=(12)3.1,b=3.112,c=lg12，则a，b，c的大小关系为( )
A. c5. 函数f(x)=x|x|+lnx2的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数f(x)=ax2−x−14,x≤1lgax−1,x>1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为( )
A. [14,12)B. [14,12]C. (0,12]D. [12,1)
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π，f(x)≤f(π8)，下列说法正确的是( )
A. f(x)的一个零点为−π8B. f(x+π8)是偶函数
C. f(x)在区间(3π8,7π8)上单调递增D. f(x)的一条对称轴为x=−3π8
8. 定义域和值域均为[−a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，其中a>c>b>0，下列四个结论中正确有( )
A. 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C. 方程f[f(x)]=0有且仅有八个解D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
9. 函数f(x)=lg(x−2)+1x−3的定义域是______ ．
10. 把函数y=csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移π4个单位，则所得图象对应的函数解析式为______．
11. 若α的终边过点(−1,2)，则tanα= ______ ．sin(π−α)sin(π2+α)−cs(π+α)= ______ ．
12. 设函数f(x)=lgax(x>0)2x(x≤0)，若f(12)=12，则实数a= (1) ，f(f(2))= (2) ．
13. 已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，方程f(x)=k有两个实数解，则k的范围是．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题12.0分)
已知集合A={x|x−4x+3>0}，集合B={x|a−2≤x≤2a+1}．
(Ⅰ)当a=3时，求A和(∁RA)∪B；
(Ⅱ)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
15. (本小题12.0分)
已知α∈(π2,π)，tanα=−34．
(Ⅰ)求tan2α的值；
(Ⅱ)求sinα+2csα5csα−sinα的值；
(Ⅲ)求sin(2α−π6)的值．
16. (本小题12.0分)
函数f(x)=2x−b2x+1+a是R上的奇函数，a，b是常数．
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，求实数k范围．
参考答案
1.【答案】C
【解析】解：∵A={y|y>1}，B={y|y<4}，
∴A∩B={y|1故选：C．
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由已知得，命题“∀x>0，x2−2x+1≥0”的否定是：
∃x>0，x2−2x+1<0．
故选：A．
全称量词命题的否定，一是量词变成存在量词，二是否定结论，据此解决问题．
本题考查全称量词命题的否定方法，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
结合基本初等函数的单调性和奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
【解答】
解：根据反比例函数的性质可知，y=−1x在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)内不单调，不符合题意；
由于y=3x−13x为奇函数且在R上单调递增，符合题意；
根据正切函数的性质可知，y=tanx在定义域内不单调，不符合题意；
根据幂函数的性质可知，y=x定义域[0,+∞)不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵a=(12)3.1∈(0,1)，b=3.112>1，c=lg12<0，
∴c故选：A．
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a，b，c的取值范围，从而可得结果．
本题主要考查指数函数与对数函数的关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=x|x|+lnx2在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故排除AD；
因为f(−1)=−1，f(1)=1，所以f(−1)≠f(1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除C．
故选：B．
根据函数的单调性排除A D；根据f(−1)≠f(1)排除C．
本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对数函数、二次函数的单调性，分段函数单调性的判断，以及减函数的定义，属于基础题．
根据题意可讨论a：a>1时，可看出f(x)在(1,+∞)上单调递增，而f(x)在(−∞,1]上不是增函数，显然不合题意；0【解答】
解：①a>1时，f(x)在(1,+∞)上是增函数；
∴f(x)在R上是增函数；
显然f(x)在(−∞,1]上不是增函数；
∴a>1的情况不存在；
②0∴f(x)在R上是减函数；
∴12a≥1a−1−14≥−1；
解得14≤a≤12；
综上得，实数a的取值范围为[14,12]．
故选：B．

7.【答案】ABD
【解析】解：因为函数f(x)的周期为π，则ω=2，
又f(x)≤f(π8)，则f(x)=max=f(π8)，所以2×π8+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π4+2kπ,k∈Z，
所以f(x)=sin(2x+π4)，
选项A：因为f(−π8)=sin[2×(−π8)+π4]=sin0=0，故A正确；
选项B：因为f(x+π8)=sin[2×(x+π8)+π4]=sin(2x+π2)=cs2x，而cs(−2x)=cs2x，故B正确；
选项C：当x∈(3π8,7π8)时，2x+π4∈(π,2π)，此时函数f(x)不单调，故C错误；
选项D：因为f(−3π8)=sin[2×(−3π8)+π4]=sin(−π2)=−1=f(x)min=sin(−π2)=−1=f(x)min，故D正确，
故选：ABD．
由函数的周期求出ω的值，再由为f(x)≤f(π8)可得f(π8)为函数的最大值，由此求出φ的值，进而可以求出函数f(x)的解析式，然后对应各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了三角函数的周期性以及最值问题，考查了正弦函数的性质以及学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设t=g(x)，则由f[g(x)]=0，即f(t)=0，当t=0时，则t=g(x)有三个不同值，由于y=g(x)是减函数，所有三个解，A正确；
对于B，设t=f(x)，若g[f(x)]=0，即g(t)=0，则t=b，所以f(x)=b，因为c>b>0，所以对应f(x)=b的解有3个，B正确；
对于C，设t=f(x)，若f[f(x)]=0，即f(t)=0，t=−b或t=0或t=b，则f(x)=−b，或f(x)=0，或f(x)=b，
因为a>c>b>0，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，C错误；
对于D，设t=g(x)，若g[g(x)]=0，即g(t)=0，所以t=b，则g(x)=b，因为y=g(x)是减函数，所以方程g(x)=b只有1解，D正确；
故选：ABD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于中档题．
9.【答案】(2,3)∪(3,+∞)
【解析】解：要使原函数有意义，需要x−2>0x−3≠0解得：x>2且x≠3．
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．
故答案为(2,3)∪(3,+∞)．
函数解析式含有对数式和分式，由对数式的真数大于0和分式的分母不等于0取交集．
本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．
10.【答案】y=−sin2x
【解析】解：函数y=csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到y=cs2x，
把图象向左平移π4个单位，得到y=cs[2(x+π4)]=cs(2x+π2)=−sin2x
故答案为：y=−sin2x
函数y=csx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)x的系数变为原来的2倍，然后根据平移求出函数的解析式．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．准确理解变换规则是关键．
11.【答案】−2 −1
【解析】解：∵α的终边过点(−1,2)，∴tanα=2−1=−2；
则sin(π−α)sin(π2+α)−cs(π+α)=sinαcsα+csα=sinα2csα=12tanα=12×(−2)=−1．
故答案为：−2；−1．
由已知利用正切函数的定义求得tanα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求sin(π−α)sin(π2+α)−cs(π+α)．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
12.【答案】14
22

【解析】解：函数f(x)=lgax(x>0)2x(x≤0)，若f(12)=12，
可得lga12=12，解得a=14；
f(2)=lg142=−12．
f(f(2))=f(−12)=2−12=12=22．
故答案为：14；22．
利用分段函数的解析式通过f(12)=12，求解a的值，利用分段函数逐步求解f(f(2))即可．
本题考查分段函数的应用，函数值的求法函数解析式的求法，考查计算能力．
13.【答案】{k|k=−4或k>−3}
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的图象及应用，方程的解的个数问题，考查数形结合的思想方法，属于基础题．
画出函数f(x)的图象，作出直线y=k，观察图象，即可得解．
【解答】
解：函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0的图象如图，
作出直线y=k，观察图象，k=−4或k>−3时，直线y=k与函数f(x)有两个交点，即方程f(x)=k有两个实数解，
故实数k的取值范围是{k|k=−4或k>−3}．
故答案为：{k|k=−4或k>−3}．

14.【答案】解：
(Ⅰ)集合A={x|x−4x+3>0}，
整理得：A={x|x>4或x<−3}，∁RA={x|−3≤x≤4}，
集合B={x|a−2≤x≤2a+1}．
当a=3时，B={x|1≤x≤7}．
所以(∁RA)∪B={x|−3≤x≤7}．
(Ⅱ)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
所以B⫋A，
当B=⌀时，a−2>2a+1，解得a<−3；
当B≠⌀时，a−2≤2a+1a−2>4或a−2≤2a+12a+1<−3，
整理得a>6或−3≤a<−2；
综上所述：a的取值范围为{a|a>6或a<−2}．
【解析】本题主要考查集合的交、并，补集的混合运算，必要不充分条件，以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
(Ⅰ)首先求出集合A，再求出集合B，根据补集和并集的定义即可求出(∁RA)∪B；
(Ⅱ)由x∈A是x∈B的必要不充分条件，可得B⫋A，分B=⌀和B≠⌀讨论即可得解．
15.【答案】解：(Ⅰ)∵α∈(π2,π)，tanα=−34，
∴tan2α=2tanα1−tan2α=−247．
(Ⅱ)由tanα=−34，可得sinα+2csα5csα−sinα=tanα+25−tanα=−34+25+34=523．
(Ⅲ)∵sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=−2425，cs2α=cs2α−sin2αsin2α+cs2α=1−tan2αtan2α+1=1−916916+1=725，
∴sin(2α−π6)=sin2αcsπ6−cs2αsinπ6=−2425×32−725×12=−243+750．
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于基础题．
(Ⅰ)由题意利用倍角公式，求得tan2α的值;
(Ⅱ)由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sinα+2csα5csα−sinα的值;
(Ⅲ)先求得sin2α、cs2α的值，再利用两角差的正弦公式，求出sin(2α−π6)的值．
16.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2x−b2x+1+a是R上的奇函数，
所以f(0)=0f(−1)=−f(1)，即1−b2+a=02−1−b1+a=−2−b4+a，解得a=2b=1；
(2)由(1)知f(x)=2x−12x+1+2=12−12x+1，
设x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1)，
因为x1所以2x1−2x2<0，
又2x1+1>0,2x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)是R上的增函数，
因为不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，
所以不等式f(k⋅3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)对任意实数x恒成立，
所以不等式k⋅3x<−3x+9x+2对任意实数x恒成立，
所以不等式k<−1+3x+23x对任意实数x恒成立，
令g(x)=−1+3x+23x，
令 t=3x>0，
则由对勾函数的性质得：y=−1+t+2t≥22−1，
即g(x)的最小值为22−1，
所以k<22−1．
所以实数k的范围是(−∞,22−1)．
【解析】(1)根据函数f(x)是R上的奇函数，即可求解；
(2)由(1)知f(x)=12−12x+1，先利用单调性的定义证明f(x)是R上的增函数，再结合奇偶性，将不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)<0对任意实数x恒成立，转化为不等式k<−1+3x+23x对任意实数x恒成立求解．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
题号
一
二
三
四
总分
得分

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